专题02 空间向量的应用（期中真题汇编，内蒙古专用）高二数学上学期人教A版

专题02 空间向量的应用 8大高频考点概览 考点01 点到平面的距离问题 考点02 异面直线的夹角问题 考点03 直线与平面的夹角 考点04 平行和垂直关系的证明及空间距离问题 考点05 异面直线夹角的综合应用 考点06 直线与平面的夹角的综合应用 考点07 平面与平面夹角的综合应用 考点08 折叠问题和探索性问题的综合应用 地 城 考点01 点到平面的距离问题 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂 足．若，则到平面的距离等于 A． B． C． D．1 2．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 5．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 地 城 考点02 异面直线的夹角 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，点在底面上的射影为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 5．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ． 6．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为 ． 7．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)已知空间三点，，，则与的夹角的大小是 . 8．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 9．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为 . 地 城 考点03 直线与平面的夹角 1．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，为的重心，则与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 平行和垂直关系的证明及空间距离问题 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD＝AD，E为AD的中点. （1）求证：PA⊥CD． （2）求证：平面PBD⊥平面PAB． 2．(24-25高二上·内蒙古科左中旗民族职专�实验高中·期中)如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，点E是的中点，. (1)证明：平面. (2)求点B到平面的距离. 地 城 考点05 直线与平面的夹角综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线所成角的余弦值． 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 3．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)如图，正方体的棱长为2.    (1)用空间向量方法证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 5．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知平面四边形ABCD中，，，且．以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且，平面平面ABCD． (1)证明：平面PAC； (2)若M是线段PD上一点，且平面MAC； ①求三棱锥的体积； ②求直线PD与平面PBC夹角余弦值． 地 城 考点06 二面角的综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.    (1)若P是的中点，证明：； (2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 2．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的正弦值. 3．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)如图，在三棱锥中，，且. (1)证明：平面平面； (2)若棱上存在不同于，的动点，满足，使二面角的余弦值为，求的值. 4．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)如图，三棱柱的所有棱长均相等为的中点．    (1)证明：AB⊥平面CDC1； (2)设·，求二面角的正弦值． 地 城 考点07 平面与平面的夹角综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古科左中旗民族职专�实验高中·期中)如图，正四棱柱中，，点在上且．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面DEB夹角的余弦值． 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)如图，四棱锥中，底面 ，. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 3．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 4．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小． 5．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离： (3)求平面和平面夹角的余弦值. 6．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 7．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧．    (1)证明：平面平面． (2)若，，，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值． 8．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. (1)求证：平面BDE； (2)若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； (3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 地 城 考点08 翻折问题和探索性问题的综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 2．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形．    (1)求证：平面； (2)若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 4．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. (1)求二面角的余弦值； (2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 5．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的应用 8大高频考点概览 考点01 点到平面的距离问题 考点02 异面直线的夹角问题 考点03 直线与平面的夹角 考点04 平行和垂直关系的证明及空间距离问题 考点05 异面直线夹角的综合应用 考点06 直线与平面的夹角的综合应用 考点07 平面与平面夹角的综合应用 考点08 折叠问题和探索性问题的综合应用 地 城 考点01 点到平面的距离问题 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂 足．若，则到平面的距离等于 A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】如图，在平面内过点作于点． 因为为直二面角，，所以，从而可得．又因为，所以面，故的长度就是点到平面的距离． 在中，因为，所以 因为，所以．则在中，因为，所以．因为，所以，故选C 2．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得： 因为，为中点 所以 又，与交于点A，平面，平面 所以平面 以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故， 所以 所以 又，，设平面的法向量，则 令，则，，所以.点到平面的距离为，解得或（舍） 故选：A. 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直三棱柱中，， 以A为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则． 由于，所以，解得， 所以线段的长度为． 故选：A． 4．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)在棱长为2的正方体中，点，分别是底面、侧面的中心，点分别是棱，所在直线上的动点，且，当取得最小值时，点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】如图所示,建立空间直角坐标系，    则,设, 则， 因为,所以,即， 所以,又, 则， 当时,取得最小值， 此时,即， 所以, 设平面的一个法向量为， 则即, 令,解得,所以, 则点到平面的距离为 故答案为：. 5．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)如图，已知正三棱柱的所有棱长均为1，动点在线段上，则面积的最小值为 . 【答案】/ 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因动点在线段上，则令， 即有点，所以，则， 从而， 因此点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号， 所以线段上的动点P到直线的距离的最小值为， 又因为， 所以面积的最小值. 地 城 考点02 异面直线的夹角 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线交于， 以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 因为直三棱柱中，，，， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以. 故选：C. 2．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则. 故选：D 【点睛】 3．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，点在底面上的射影为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设的中点为，连接、、，   ，知即为异面直线与所成的角（或其补角） 设三棱柱的侧棱与底面边长均为1， 则，，， 由余弦定理，得 故选：D. 4．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，则和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为2， 则，，，， ， ， 所以和所成角的余弦值为， 故选：B． 5．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，则直线和夹角的余弦值为 ．若分别是上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 /0.25；． / 【详解】连接，如下图， 由题意，，，正方形中，， 正方形中，平面，平面，平面平面， 就是二面角的平面角，则， 向量与向量夹角为，且， ①，，， ， ， 直线和夹角的余弦值为； ②设，则， 且由题意， ， ， 令，,，图象开口向上，且对称轴为， 当时，取得最小值，又， ，即的最小值是． 故答案为：；． 6．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)如图，圆台中，上、下底面半径比为，为圆台轴截面，母线与底面所成角为，上底面中的一条直径满足，则夹角余弦值为 ． 【答案】0 【详解】如图，过点作直线，过点作直线与点 设 由题意可知：，∴ 在圆台中， ∴以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设夹角为，则 故答案为：0. 7．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)已知空间三点，，，则与的夹角的大小是 . 【答案】/ 【详解】因为空间三点，，，所以， 则，又，所以. 故答案为： 8．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 【答案】 【详解】设正三棱锥的棱长均为2， 取的中点，连接， 则，且， 可知二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 则， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：. 9．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，    不妨设，则， ，于是， 所以与所成角的余弦值为. 故答案为： 地 城 考点03 直线与平面的夹角 1．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，为的重心，则与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图分别以所在直线为轴､轴､轴建立直角坐标系， 由已知，得， 则重心，因而， 设与底面所成的角为，则 . 故选：A. 2．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)在四棱锥中，底面，底面是正方形，.则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在四棱锥中，平面，且四边形为正方形， 以为坐标原点，分别以，，为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，， 从而，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 故选：A    地 城 考点04 平行和垂直关系的证明及空间距离问题 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD＝AD，E为AD的中点. （1）求证：PA⊥CD． （2）求证：平面PBD⊥平面PAB． 【详解】（1）因为平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB， 又因为PA⊥AB，所以PA⊥平面ABCD. 则PA⊥CD. （2）由已知，BC//ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形， 又CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形BCDE是正方形， 连接CE，所以BD⊥CE， 又因为BC//AE，BC＝AE，所以四边形ABCE是平行四边形， 所以CE//AB，则BD⊥AB. 由（1）知PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD， 又因为PA∩AB＝A，则BD⊥平面PAB，且BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB. 2．(24-25高二上·内蒙古科左中旗民族职专�实验高中·期中)如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，点E是的中点，. (1)证明：平面. (2)求点B到平面的距离. 【详解】（1）证法一:以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 设是平面的法向量， 则令，得. 因为，所以， 所以平面. 证法二： 设，的中点为，连接，，. 在和中，有，. 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面. 因为平面，，所以平面. （2）由题意得，， 点B到平面的距离. 地 城 考点05 直线与平面的夹角综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线所成角的余弦值． 【详解】（1）因为为矩形，所以， 又因为平面平面，所以， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以， 则有， 所以， 所以点到直线的距离． （2）因为， 所以， 所以异面直线所成角的余弦值． 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）因为四边形为正方形， 底面，所以，，两两相互垂直， 如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面，所以平面. （2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）以为原点，的方向分别作为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 设直线与所成的角为， 则， 即直线与所成角的余弦值是． （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为，则 取，得，所以平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 4．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)如图，正方体的棱长为2.    (1)用空间向量方法证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：    易知， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则可得，即； 又，即， 又平面， 所以平面； （2）易知，则， 由（1）知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 5．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知平面四边形ABCD中，，，且．以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且，平面平面ABCD． (1)证明：平面PAC； (2)若M是线段PD上一点，且平面MAC； ①求三棱锥的体积； ②求直线PD与平面PBC夹角余弦值． 【详解】（1）以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且，则， 由平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 由，，则为直角梯形，故， 由，即为等腰直角三角形，故，且， 所以为等腰直角三角形，故， 由都在平面内，则平面. （2）由（1）平面，，构建如图示空间直角坐标系， 所以， ①若，则， 所以，， 令是平面的一个法向量，则， 取，则，而， 由平面MAC，则，可得， 所以是靠近的三等分点，则， 而， ，， 所以； ②由上，，是平面的一个法向量， 所以，取，则，而， 所以，则直线PD与平面PBC夹角余弦值为. 地 城 考点06 二面角的综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.    (1)若P是的中点，证明：； (2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 【详解】（1）以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 设，其中，， 若P是的中点，则，，， 于是，∴，即. （2）由题设知，，是平面内的两个不共线向量. 设是平面的一个法向量， 则取，得. 又平面的一个法向量是， ∴， 而二面角的余弦值为，因此， 解得或（舍去），此时. 设（），而，由此得点，， ∵平面，且平面的一个法向量是， ∴，即，解得，从而. 将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高， 故四面体的体积. 2．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求二面角的正弦值. 【详解】（1）    取的中点，连接，显然， 由正三棱柱的特征可知底面，所以底面， 又底面，所以 ， 因为是中点，易得， 所以可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， ， 故异面直线的夹角余弦值为； （2）由上可知， 设面的一个法向量为， 则， 取，即， 易知面的一个法向量为， 由图象可知二面角为钝角，设其为， 所以， 则. 3．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)如图，在三棱锥中，，且. (1)证明：平面平面； (2)若棱上存在不同于，的动点，满足，使二面角的余弦值为，求的值. 【详解】（1）证明：由，且，所以， 取的中点，连接，可得， 再由，可得，即， 因为，且为的中点，可得， 又因为，且面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）可知，，又由， 以为坐标原点，以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 所以，， 令，其中，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以； 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，其中，则上式可化为，即， 解得或舍去，所以，解得. 4．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)如图，三棱柱的所有棱长均相等为的中点．    (1)证明：AB⊥平面CDC1； (2)设·，求二面角的正弦值． 【详解】（1）证明：由， 得由余弦定理，得 因为为的中点，所以又 所以又平面所以平面 （2）由（1）知，平面又平面所以 又所以则四边形为正方形． 由得 又所以 则所以四棱锥为正四棱锥． 连接则设连接易证平面 以为原点OB，OB1，OC所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则 所以 设平面的法向量为 由取解得 所以设平面的法向量为 由取解得所以 所以故二面角的正弦值为    地 城 考点07 平面与平面的夹角综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古科左中旗民族职专�实验高中·期中)如图，正四棱柱中，，点在上且．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面DEB夹角的余弦值． 【详解】（1）在正四棱柱中，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， . ， ，即，又平面， 所以平面. （2）由（1）知为面的一个法向量， 设向量是平面的法向量，则，令，得， 则， 所以平面与平面DEB夹角的余弦值为． 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)如图，四棱锥中，底面 ，. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：已知底面，且底面， 所以. 由，可得 又平面， 所以平面. （2）取的中点.由 ，可得， 又因为，所以三角形是正三角形， 故. 在中，，所以. 可建立如图所示的空间直角坐标系， 求得， 由（1）可知，是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 即， 令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．(24-25高二上·内蒙古包头第六中学·期中)如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 4．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小． 【详解】（1）解法一：因为底面是正方形，侧棱底面， 以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 依意得，，，， 所以，， 因为，所以， 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 解法二：底面是正方形，， 底面，且平面，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，E为中点，， ，平面，平面， 平面，平面，， 由已知，且，平面，平面， 所以平面. （2）解法一：依题意得，且，， 设平面的一个法向量为， 则，即取， 因为，，设平面的一个法向量为， 则即取， 设平面与平面的夹角为，则， 又，所以，所以平面与平面的夹角为． 解法二：由（1）知平面，， 又，平面，平面， 为平面与平面所成角， ，E为中点，，， 平面，平面，， 直角三角形中，，所以， 所以平面与平面的夹角为 5．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离： (3)求平面和平面夹角的余弦值. 【详解】（1）平面，以为原点，分别以､ 的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，点是的中点， ， ， 则. 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 平面. （2）， 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . 则， 点到平面的距离为. （3）设平面与平面的夹角为， 平面的法向量为，平面的法向量为， ， 平面和平面夹角的余弦值等于. 6．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特和林格尔县民族中学·期中)如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则. 又，可得，因为平面，所以平面. （2）因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离. 易知，则点A到平面的距离为. （3）易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则. 设平面与平面的夹角为， 则 故平面与平面的夹角的余弦值为. 7．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)如图，平面，平面，四边形为正方形，，位于平面的两侧．    (1)证明：平面平面． (2)若，，，求平面与平面夹角（锐角）的余弦值． 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 所以点四点共面， 因为平面，平面， 所以， 因为四边形为正方形， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）因为平面，平面， 所以，， 因为四边形为正方形，所以， 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，故， 令，可得，， 故为平面的一个法向量， 因为平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 所以. 所以平面与平面夹角（锐角）的余弦值为.    8．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. (1)求证：平面BDE； (2)若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； (3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 【详解】（1）连接，因为在平面ABC内的射影为， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为菱形，故⊥， 因为D，E分别是线段，的中点，所以， 故⊥， 因为，平面， 所以⊥平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为⊥，D是线段的中点， 所以由三线合一可得， 又，故为等边三角形， ， 由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为， 点到平面BDE的距离； （3）点F为线段上的动点（不包括端点），设， ，则，故，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 又平面的一个法向量为， 故， 令， 则， 因为，故， ， 平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是. 地 城 考点08 翻折问题和探索性问题的综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期中)如下图，在中，，，D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且；将沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥； (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求二面角的正切值； (3)当时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以，即平面， 平面，平面， 所以 （2）因为二面角是直二面角， 所以平面平面，平面平面，平面，平面，    以分别为轴建立空间直角坐标系， 设平面法向量为， 设平面法向量为 ， 令，得，所以， 设二面角为， . ， （3）分别以反方向和方向分别为轴，过F做的垂线为z轴， 设，，显然， ， ，得出，则，则， 根据翻折后勾股定理得， 化简得，因为构成直角三角形，则，且，解得， 设平面的法向量为， 设直线PE与平面ABC所成角为， ， 则， 令，，令，则，且， ， 根据对勾函数在上单调递减，且恒大于0， 则函数在单调递增，则，即， 则，即正弦值的取值范围. 2．(24-25高二上·内蒙古赤峰元宝山区第一中学·期中)如图，在矩形中，，，点分别在 上，且 ，沿 将四边形折成四边形．    (1)求证：平面； (2)若点在平面上的射影在直线上，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，设点在线段上，平面与平面所成锐二面角的平面角为．若，求． 【详解】（1），平面，平面． 平面， 由，同理可得平面， 又，平面，平面， 平面平面，平面， 平面； （2）    如图所示， 过作，过作平面， 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． 在平面上的射影在直线上， 设， ， 因为，且，； ，解得，， 而， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值； （3）    设，， 因为，， 所以， 所以， 从而， 设平面的法向量为， 所以， 设，解得，即， 由（2）可知平面的一个法向量是，， 由题意可知平面与平面所成锐二面角的余弦值 ， 整理得，，解得， 即. 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)如图，在四棱台中，底面ABCD是正方形，，平面 (1)证明：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)棱BC上是否存在一点P，使得二面角的余弦值为若存在，求线段BP的长;若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为底面ABCD是正方形，所以 又因为平面ABCD，平面ABCD，所以 因为，且，平面， 所以平面 （2）因为平面，平面， 所以，， 又底面ABCD是正方形，，故AB，AD，两两垂直， 以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 故 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为 （3）若存在点P满足题意，则可设点，其中， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故 易得平面的一个法向量为， 所以，解得或舍去， 故棱BC上存在一点P，当时，二面角的余弦值为 4．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. (1)求二面角的余弦值； (2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）设是中点，为正三角形，则. 因为平面平面ABCD，平面平面， 又平面PAD，所以面ABCD. 又因为，， 所以为正三角形，所以， 以为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，. 设平面PEC的法向量为， 由即可取. 平面EBC的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则 由图知为为钝角，所以二面角的余弦值为. （2）设，则， ，， 所以， 解得或0（舍），所以存在点M使得. 5．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且. (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数. 【详解】（1）证明：因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以， 所以点的曲率为，得， 因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 设，则， 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为， 所以在中，， 所以二面角的余弦值为； （3）证明：设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号， 设第号（）多边形有条边， 则多面体共有条棱， 由题意，多面体共有个顶点， 号多边形的内角之和为， 所以所有多边形的内角之和为， 所以多面体的总曲率为 所以简单多面体的总曲率为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $