精品解析：广西南宁市凤岭南中学2025--2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

2025－2026秋季学期开学调研 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，5，3 B. 5，2，3 C. ，2， D. 2，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义． 根据一元二次方程的一般形式，直接确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程，其中二次项是，所以二次项系数； 一次项是，所以一次项系数； 常数项． 故答案为：D． 3. 下列各组数中，可以作为直角三角形三条边的长度的是（     ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，6，7 D. 8，9，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理判定直角三角形，根据勾股逆定理，判断各组数是否满足两边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不满足勾股定理； B、，满足勾股定理； C、，不满足勾股定理； D、，不满足勾股定理； 综上，只有选项B符合条件， 故选：B． 4. 下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：A、因为，所以y随x的增大而增大，故本选项符合题意； B、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； C、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； D、因为，所以y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握对于一次函数，当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小是解题的关键． 5. 如图，要测定被池塘隔开的两点的距离，可以在外选一点C，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵D、E分别、的中点，， ∴， ∴． 故选：B． 6. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 7. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】四边形是菱形， ， ， ， 故选：A． 8. 某班进行了一次英语听力测试，其中5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 28，29 B. 28，28 C. 28，28.5 D. 28，30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排列后处于中间位置的数. 【详解】解：将5名同学的成绩从小到大排列为：22，28，28，29，30； 中位数：数据个数为奇数，中间位置的数为第3个数，即28； 众数：数据中出现次数最多的数是28（出现2次）； 因此，众数和中位数均为28，对应选项B； 故选：B 9. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴． 故选：C 10. 生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ） A. 第5天的种群数量为300个 B. 前3天种群数量持续增长 C. 第3天的种群数量达到最大 D. 每天增加的种群数量相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意； B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：B． 11. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点求不等式解集，根据题意把交点代入得到，结合图形即可得到不等式的解集． 【详解】解：函数和的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 当时，函数的图象在函数的图象下方，即， 故选：A ． 12. 如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ） A. 18 B. C. 24 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴“希波克拉底月牙”的面积是：． 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 14. 将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移，求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减． 根据函数图象的平移规律，上加下减，可得答案． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向下平移3个单位长度， 则平移后的图象所对应的函数表达式为，即， 故答案为：． 15. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出关于的方程解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，矩形内有一点P，连接，延长交于点E，若，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长交于F，根据已知条件得到，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，进一步推出，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 三．解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算以及解一元二次方程，解题的关键是掌握相关运算法则和方程解法． （1）分别计算乘方、二次根式的乘法和除法，再进行加减运算； （2）利用因式分解法将方程化为两个一次因式的乘积，进而求解． 【详解】解：（1） ； （2）解方程： 则或． 所以方程的解为． 18. 如图，在中，分别是的中点，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1） 为所作，如图： （2） 证明：∵垂直平分， ， F是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 同理可证，， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、三角形中位线以及平行四边形的判定，解题的关键是平行四边形的判定定理． （1）分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线即为的垂直平分线，交于点； （2）先由垂直平分线的性质F分别是的中点系，再根据三角形中位线得出，，进而证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利．杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示： “滴滴”网约车司机月收入的频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 11千元 人数（个） 4 3 2 1 根据以上信息，整理分析数据如表： 平均月收入/千元 中位数 众数 方差 “美团” a 6 c 1.2 “滴滴” 6 b 4 6.2 （1）填空：a＝______；b＝______；c＝______． （2）杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？ 【答案】（1）6，5，6 （2）选美团，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用加权平均数、中位数、众数的意义分别计算后即可确定正确的答案； （2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， “美团”网约车司机月收入为6千元所占的百分比最大， ∴c=6， 把“滴滴”网约车司机月收入按从大到小排列后，位于正中间是5和5， ∴， 故答案为：6，5，6 【小问2详解】 解：选美团，理由如下： 因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定． ∴建议他的叔叔选择美团公司． 【点睛】本题考查频数分布表，方差、中位数、众数，能根据加权平均数、众数、中位数、方差的意义对本题进行分析是解题的关键． 20. 如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． （1）在图2中以格点为顶点画一个，使得，； （2）猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，即为所求作三角形．(答案不唯一) （2） 为等腰直角三角形 理由如下： 即为直角三角形． 又 ∴为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）直接利用勾股定理逆定理进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买了米的木栅栏，如图所示． （1）若，，直接写出y与x的函数关系式； （2）若要围出的矩形的面积为平方米，求的长为多少米？ （3）若要围出的矩形的面积为平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）的长为米 （3） 解：∵矩形的面积为平方米，列方程得： ， 整理得， ， 方程无实根， 因此他的想法不能实现． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由木栅栏长20米为等量关系可求解； （2）由矩形的面积为平方米为等量关系列出方程求解即可； （3）由矩形的面积为平方米为等量关系列出方程后，方程无解． 【小问1详解】 解：∵木栅栏长20米， ； 【小问2详解】 ∵矩形的面积为平方米，列方程得： 解得： 米； 【小问3详解】 略 22. 项目式学习 项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题： 选燃油车还是电动车？ 项目目的 经历收集、整理、描述、分析数据的过程，感知大数据时代特征. 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用（型电动车每百公里耗电15度电，每度电0.6元；型燃油车每百公里耗油8L，每升油8块钱） 注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 每公里耗能费用（元） 型电动车 135000 型燃油车 80000 数据描述 行驶公里数（公里） 用车费用（元） 型电动车 型燃油车 项目任务 在同一坐标系中画出、的草图并通过计算回答表中第一行的项目问题； 追加任务 追加任务目的 小明爸爸计划购买一辆型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，至少需要投入的多少费用？ 政策法规 行驶路程超过60万公里，网约车强制报废. 数据收集 网约车每年平均行程10万公里 电动车保险费：5000元/年 电动车保养费：120元/万公里 根据上述信息解答下列问题： （1）表中______、______、______、______； （2）请完成“项目任务”； （3）请计算“追加任务目的”中的费用. 【答案】（1），，， （2） 和的图象如图所示： 令， 解得：， 当时，燃油车用车费用更低，选择传统燃油车划算， 当时，燃油车用车费用与新能源电动车费用一样， 当时，新能源电动车费用更低，选择新能源电动车划算； （3）至少需要投入的费用是226200元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的实际应用，方案选择问题，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键： （1）根据每百公里的费用除以100求出a和b的值，由行驶路程乘以每公里的费用加上购车费用即可得到总费用y； （2）用两点法画出函数图象，再选择方案即可； （3）每年的费用乘以年限，加上购车费用，求出总费用即可 【小问1详解】 解：，， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知，使用年限为60万万年， 则有：. 答：至少需要投入的费用是226200元 23. 综合与探究 【问题背景】如图1，矩形中，，，G，H分别是，上的点，E，F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，． 【问题探究】（1）当G，H分别是，中点时， ①求证：； ②求证：四边形是平行四边形； ③已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为，若四边形为矩形，直接写出t的值； 【探究迁移】（2）如图2，在（1）的条件下，当G，H也以每秒1个单位长度的速度同时出发，分别向点D，B运动，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)①证明：∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴， ∴， ∵， ∴． ②证明：∵， ∴，， ∵, ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ③或8 ． (2) 【解析】 【分析】（1）①矩形中，可得，则，继而证明，由，即可证明； ②由，可得，，可得，证明，从而可得结论； ③连接，证明四边形是矩形，可得，求解，当点E，F相遇前，当点E，F相遇后，逐步分析解答即可； （2）如图，设M，N分别为和的中点，连接，，，令与相交于点O．证明四边形为菱形，可得，设，则，再利用勾股定理进一步求解即可． 【详解】解：（1）①略 ②略 ③连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 如图1，当点E，F相遇前， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， 解得； 如图2，当点E，F相遇后， ∵四边形是矩形， 又∵，， ∴， 解得．         综上所述，四边形为矩形时，或8． （2）如图，设M，N分别为和的中点，连接，，，令与相交于点O．如图，有，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则 由勾股定理，可得， 即， 解得． ∵，即， 当四边形为菱形时，t的值为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026秋季学期开学调研 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，5，3 B. 5，2，3 C. ，2， D. 2，， 3. 下列各组数中，可以作为直角三角形三条边的长度的是（     ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 5，6，7 D. 8，9，10 4. 下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，要测定被池塘隔开的两点的距离，可以在外选一点C，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 7. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 某班进行了一次英语听力测试，其中5名同学成绩（单位：分）分别为：22，30，29，28，28，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 28，29 B. 28，28 C. 28，28.5 D. 28，30 9. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 10. 生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（ ） A. 第5天的种群数量为300个 B. 前3天种群数量持续增长 C. 第3天的种群数量达到最大 D. 每天增加的种群数量相同 11. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，分别以的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ） A. 18 B. C. 24 D. 48 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 14. 将一次函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为________． 15. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 16. 如图，矩形内有一点P，连接，延长交于点E，若，则的长是________． 三．解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，在中，分别是的中点，连接． （1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 19. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利．杨林和数学兴趣小组的同学对“美团”和“滴滴”两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示： “滴滴”网约车司机月收入的频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 11千元 人数（个） 4 3 2 1 根据以上信息，整理分析数据如表： 平均月收入/千元 中位数 众数 方差 “美团” a 6 c 1.2 “滴滴” 6 b 4 6.2 （1）填空：a＝______；b＝______；c＝______． （2）杨林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是杨林，请从平均数、中位数，众数，方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并建议他的叔叔选择哪家公司？ 20. 如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． （1）在图2中以格点为顶点画一个，使得，； （2）猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 21. 在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买了米的木栅栏，如图所示． （1）若，，直接写出y与x的函数关系式； （2）若要围出的矩形的面积为平方米，求的长为多少米？ （3）若要围出的矩形的面积为平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由． 22. 项目式学习 项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题： 选燃油车还是电动车？ 项目目的 经历收集、整理、描述、分析数据的过程，感知大数据时代特征. 数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用（型电动车每百公里耗电15度电，每度电0.6元；型燃油车每百公里耗油8L，每升油8块钱） 注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！ 数据整理 购车费用（元） 每公里耗能费用（元） 型电动车 135000 型燃油车 80000 数据描述 行驶公里数（公里） 用车费用（元） 型电动车 型燃油车 项目任务 在同一坐标系中画出、的草图并通过计算回答表中第一行的项目问题； 追加任务 追加任务目的 小明爸爸计划购买一辆型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，至少需要投入的多少费用？ 政策法规 行驶路程超过60万公里，网约车强制报废. 数据收集 网约车每年平均行程10万公里 电动车保险费：5000元/年 电动车保养费：120元/万公里 根据上述信息解答下列问题： （1）表中______、______、______、______； （2）请完成“项目任务”； （3）请计算“追加任务目的”中的费用. 23. 综合与探究 【问题背景】如图1，矩形中，，，G，H分别是，上的点，E，F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，始终保持，连接，，，． 【问题探究】（1）当G，H分别是，中点时， ①求证：； ②求证：四边形是平行四边形； ③已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为，若四边形为矩形，直接写出t的值； 【探究迁移】（2）如图2，在（1）的条件下，当G，H也以每秒1个单位长度的速度同时出发，分别向点D，B运动，若四边形为菱形，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $