第二十七章 相似 全章知识点过关复习 课件 2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似　 全章知识点梳理 人教版数学九年级下册 一､选择题 1. 下列四组线段中，成比例线段的一组是 ( ) A. a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B. a＝1，b＝ ，c＝ ，d＝ C. a＝5，b＝6，c＝7，d＝8 D. a＝4，b＝6，c＝6，d＝8 B 2. 下列图形中，不一定是相似图形的是 ( ) A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个长方形 D. 两个圆 C 3. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为 ( ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 10 B 4. 如图，已知直线a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，则BF的值是 ( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 B 5. 如图，有三个矩形，其中是相似图形的是 ( ) A. 甲和乙 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 甲､乙和丙 B 6. 已知△ABC∽△DEF，且 ，若△ABC的周长是6，则△DEF的周长是 ( ) A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 C 7. 若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大 ( ) A. 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍 A 8. 如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( ) D 9. 如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是 ( ) A. B. ∠B＝∠D C. ∠C＝∠AED D. D 10. 如图，已知△ABC，D，E分别是边AB，AC上的点，AD＝3 cm，AB＝8 cm，AC＝10 cm. 若△ADE与△ABC相似，则AE的值为 ( ) A. cm B. cm或 cm C. cm或 cm D. cm C 11. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为 ( ) A. 3 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm C 12.如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标是 ( ) A. (1，－1) B. (－1，－1) C. (0，0) D. (0，－1) D 13. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则四边形DECB的面积为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 B 14. 在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(4，1)，以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是 ( ) A. (1，2) B. (4，8)C. (8，2)或(－8，－2) D. (4，8)或(－4，－8) D 15. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是 ( ) A. ∠ABP＝∠C B. ∠APB＝∠ABC C. D. D 二､填空题 1. 已知实数a，b满足 ，则 的值为___. 2. 上海与杭州的实际距离约200 km，在比例尺为1∶5 000 000的地图上，上海与杭州的图上距离约为___cm. 2 4 3. 如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝______，m＝____. 125° 12 4. 如图，已知AB∥CD∥EF， ，则 ＝___. 5. 如图，在边长为1的方格纸中，点A，B，C，D都在方格纸的交点处，线段AB与CD相交于点E，△ADE∽△BCE，则 的值为___. 6. 已知 (b－d≠0)，则 的值为____. 7. 如果两个相似三角形的面积的比是4 ∶9，那么它们对应的角平分线的比是______. 2 ∶3 8. 如图，在九年级颁奖典礼上，舞台AB的长为20 m，主持人站在点C处. 已知点C是线段AB上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为___________m. (30－10 ) 9. 如图，AD是△ABC的高，AD＝3，点R在边AC上，点S在边AB上，SR⊥AD，垂足为E. 当SR＝ BC时，则DE＝___. 2 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶3，若S△AEF＝1，则△CDF的面积为____. 16 11. 已知两个相似三角形的周长之比是2∶3，面积之差是50，那么这两个三角形中较小的三角形的面积是____. 12. 如图，在测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是 ____毫米. 40 13. 如图，△OAB和△OCD位似，位似比为2∶1，位似中心是原点O，点B的坐标为(6，2)，则点D的坐标为______. (3，1) 14. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是___m. 1 15. 如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝4. 5 m，小明的影子B′C′＝1. 5 m. 已知小明的身高A′B′＝1. 7 m，则树高AB＝_____m. 5. 1 三､解答题 1. 如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上的点(不与点B，C重合)，连接DE并延长，交AB的延长线于点F. 求证：△CDE∽△AFD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AF，∠C＝∠A. ∴∠CDE＝∠F. ∴△CDE∽△AFD. 2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝4， ，求AD的长. 解：设AD＝x. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB. 经检验，x＝8是原方程的解，∴AD＝8. ∴△ADE∽△ABC. ∴ . 又∵BD＝4，∴ ，解得x＝8. 3. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且 ≠0，若△ABC的周长为60，求各边的长. ∵a＋b＋c＝60， ∴5x＋4x＋6x＝60，解得x＝4. ∴a＝5x＝20，b＝4x＝16，c＝6x＝24， 即△ABC三边的长分别为20，16，24. 解：设 ＝x，则a＝5x，b＝4x，c＝6x. 4. 如图所示是某学校的矩形草坪，长40米，宽20米，沿草坪四周外围有1米宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？请说明理由. 解：不相似. 理由如下： ∴两矩形不相似. 依题意，得两矩形的长的比为40 ∶(40＋2)＝ ， 宽的比为20 ∶(20＋2)＝ ， ∵ ， 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA>OB. (1)直接写出：OA＝___，OB＝___； 4 3 解：(1)解方程x2－7x＋12＝0，得x1＝3，x2＝4， ∵OA>OB， ∴OA＝4，OB＝3. 故答案分别为4，3. (2)若E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO，求此时点E的坐标. 设点E的坐标为(m，0)，则OE＝|m|. ∵△AOE∽△DAO，∴ . ∴ ＝ . ∴|m|＝ . ∴m＝± . ∴点E的坐标为 . 解：(2)如图，连接OD， 6. 如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，AD＝4，AC＝6. 求BD的长. 解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴BD＝AB－AD＝5. ∴△ACD∽△ABC. ∴ . ∵AD＝4，AC＝6，∴AB＝ ＝9. 7. 如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE. (1)求证：△ABC∽△DAE； (1)证明：∵DE∥AB，. ∴∠ADE＝∠BAC. ∵∠B＝∠DAE， ∴△ABC∽△DAE (2)若AB＝4，AD＝3，AE＝6，求BC的长. (2)解：∵△ABC∽△DAE， ∵AB＝4，AD＝3，AE＝6， ∴BC＝8. ∴ . ∴ . 8. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点P在BC上，且∠APD＝90°. 求证：△ABP∽△PCD. 证明：∵∠APD＝90°，∠B＝∠C＝90°， ∴∠APB＋∠CPD＝90°，∠BAP＋∠APB＝90°. ∴∠BAP＝∠CPD. 又∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCD. 9. 如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空：∠ABC＝______，BC＝______ . (2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论. 135° 2 解：(2)△ABC∽△DEF. 证明如下： ∵在4×4的正方形方格中，∠ABC＝135°， ∠DEF＝90°＋45°＝135°， ∴∠ABC＝∠DEF. ∴△ABC∽△DEF. ∵AB＝2，BC＝2 ，FE＝2，DE＝ ， ∴ . 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E是边BC的中点，连接DE. (1)求证：DE是⊙O的切线； (1)证明： 如图，连接OD，CD， ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°. ∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°. ∴∠CDB＝180°－∠ADC＝90°. ∴∠DCE＝∠CDE. ∴∠ODC＋∠CDE＝90°. ∴∠ODE＝90°. ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线 . ∵E是边BC的中点，∴DE＝CE＝ BC. (2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径. (2)解：∵AD＝4，BD＝9， ∴AB＝AD＋BD＝4＋9＝13. ∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A， ∴△ACB∽△ADC. ∴ . ∴AC2＝AD·AB＝4×13＝52. ∴AC＝2 . ∴⊙O的半径为 . 11. 如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠C＝∠E. 求证：△ABC∽△DAE. 证明：∵DE∥AB， ∴∠CAB＝∠EDA. 又∵∠C＝∠E， ∴△ABC∽△DAE. 12. 按下列要求在如图所示的平面直角坐标系中作图： (1)作出△ABC关于原点成中心对称的图形△A′B′C′； (2)以点B为位似中心，作出△ABC放大2倍的图形△BA″C″. 解：(2)如图所示，△BA″C″即为所求. 解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求. 13. 小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20米. 当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B. 已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度. (注：入射角＝反射角) 解：由反射定律知∠FEB＝∠FED， ∴∠BEA＝∠DEC. ∵∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴AB＝12.8米 . ∴大楼AB的高为12.8米 . ∴△BAE∽△DCE. ∴ . ∵CE＝2.5米，DC＝1.6米，∴ . 14. 一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝4. 用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D，E，F分别在AC，AB，BC上. 要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？ 解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，∴BC＝2. ∵四边形CDEF是矩形，∴EF∥AC. ∴△BEF∽△BAC. ∴EF ∶AC＝BE ∶BA. ∴AC＝ . 设AE＝x，则BE＝4－x，EF＝ (4－x). ∴点E应选在AB的中点处. 在Rt△ADE中，DE＝ AE＝ x. 矩形CDEF的面积S＝DE·EF＝ x· (4－x) ＝－ x2＋ x(0<x<4). 当x＝ ＝2时，S有最大值， 15. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，DE∥AC，EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC； (1)证明：∵DE∥AC，EF∥AB， ∴∠DEB＝∠C，∠B＝∠FEC. ∴△BDE∽△EFC. (2)设 ，①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积. ∵DE∥AC，EF∥AB， ∴四边形ADEF是平行四边形. ∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠DEB＝∠C. (2)解：①∵ ，∴FC＝2AF. ∴AC＝AF＋FC＝3AF. ∴ . ∴DE＝AF. ∴ . ∴△BDE∽△BAC.∴ . ∵EF∥AB，∴∠CFE＝∠A，∠FEC＝∠B. 又∵BC＝12，∴BE＝ BC＝ ×12＝4. ②∵ ，∴AF＝ FC. ∴AC＝AF＋FC＝ FC. ∴ . ∴△FEC∽△ABC.∴ . ∴S△ABC＝S△EFC· ＝20× ＝45. $