1.1.3 课时2 空间直角坐标系 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.3 课时2 空间直角坐标系 【学习目标】 1.了解空间直角坐标系.(直观想象) 2.理解空间直角坐标系的知识形成过程和原理，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握空间向量的坐标表示.(直观想象、数学运算) 3.会用空间向量的坐标解决空间直角坐标系中两点之间的距离与有关中点坐标公式的问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.类比平面直角坐标系中坐标的运算，在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则的坐标是什么? 2.类比平面两点间的距离公式，在空间直角坐标系中，两点间的距离公式是什么? 3.类比平面直角坐标系中线段两点的中点坐标公式，在空间直角坐标系中，已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标是多少? 4.若=(a，b，c)，则的坐标是多少? 5.在平面直角坐标系中以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同，在空间直角坐标系中是否相同? 6.类比平面直角坐标系中的对称问题，在空间直角坐标系中找对称点的坐标有何规律? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，x轴上点的横坐标x=0，竖坐标z=0. （ ） (2)在空间直角坐标系中，zOx平面上点的坐标满足z=0. （ ） (3)关于平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐标相反. （ ） (4)在空间直角坐标系Oxyz中，x轴上的点的坐标一定是(0，b，c). （ ） (5)在空间直角坐标系中，zOx平面上的点的坐标为(a，0，c). （ ） 2.在空间直角坐标系中，点P(1，3，-5)关于平面xOy对称的点的坐标是（ ）. A.(-1，3，-5) B.(1，3，5) C.(1，-3，5) D.(-1，-3，5) 3.与A(3，4，5)，B(-2，3，0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是（ ）. A.10x+2y+10z-37=0 B.5x-y+5z-37=0 C.10x-y+10z+37=0 D.10x-2y+10z+37=0 4.(人教B版选择性必修第一册P28习题1-1BT9改编)如图，在长方体OABC-O'A'B'C'中，OA=6，OC=8，OO'=6，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. (1)写出点B'的坐标； (2)求的坐标. 【合作探究】 探究1空间直角坐标系 小明放学后步行回家，路过田野，走到路边的一座废旧工厂时，在墙角处发现一只飞行的小蜜蜂，他拿出画本画出简图，如图所示. 问题1：墙角的三条交线两两垂直吗? 问题2：如何确定小蜜蜂在空间的位置? 问题3：若小蜜蜂到平面AOC，平面AOB，平面BOC的距离分别为1，1，1，请建立坐标系，写出小蜜蜂的坐标. 1.空间直角坐标系的定义 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过点O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz. 2.空间直角坐标系的相关概念 在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两相互垂直的，它们都称为坐标轴；通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面、yOz平面、zOx平面，它们把空间分成八个部分. 3.z轴的正方向的确定 z轴的正方向一般按如下方式确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合. 4.空间直角坐标系的画法 在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直. 5.空间点的坐标表示 空间一点M的位置完全由有序实数组(x，y，z)确定，因此将(x，y，z)称为点M的坐标，记作M(x，y，z)，此时，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标). 例1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在线段BC1上，且BM=2MC1，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标. 【方法总结】由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标.所以可以总结步骤如下： (1)过该点分别作x轴、y轴和z轴的垂面； (2)确定该点在坐标轴上的射影的坐标； (3)得到该点的坐标. 如图，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=5，OC=4，OD'=3，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.分别写出D'，C，A'，B'四点的坐标. 探究2空间中两点间的距离公式与中点坐标公式 小明利用棱长为1的正方体，建立空间直角坐标系，如图所示，他根据这个图形，设计了如下问题，你能给出问题的答案吗? 问题1：写出图中各点的坐标. 问题2：如何求向量，，的坐标? 问题3：上述问题中，如何求AC中点的坐标? 对于空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， (1)=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)； (2)空间A，B两点间的距离公式为AB=||=； (3)线段AB的中点坐标公式为. 例2：如图，OA，OB，OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2，M为OB的中点，点N在AC上，AN=2NC. (1)求MN的长以及MN中点的坐标； (2)若点P在线段BC上，设=λ，当AP⊥MN时，求实数λ的值. 【方法总结】利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤： (改编)已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则AF的最大值为（ ）. A. B. C. D.1 【随堂检测】 1.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E在边A1B1上，B1E=A1B1，则=（ ）. A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中，P(3，4，5)，Q(3，-4，-5)两点的位置关系是（ ）. A.关于x轴对称 B.关于xOy平面对称 C.关于坐标原点对称 D.以上都不对 3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为______. 4.已知点P(1，0，1)与点Q(4，3，-1). (1)求P，Q两点之间的距离； (2)求z轴上的一点M，使MP=MQ. 参考答案 1.1.3 课时2 空间直角坐标系 自主预习·悟新知 预学忆思 1.=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 2.若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则AB=||==. 3.P. 4.=(-a，-b，-c). 5.相同. 6.空间直角坐标系中的点P(x，y，z)的对称点的坐标如表所示： 对称轴(或对称中心或对称平面) 点P的对称点的坐标 xOy平面 (x，y，-z) yOz平面 (-x，y，z) zOx平面 (x，-y，z) 原点 (-x，-y，-z) x轴 (x，-y，-z) y轴 (-x，y，-z) z轴 (-x，-y，z) 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ 2.B　【解析】点P(1，3，-5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1，3，5). 3.A　【解析】由MA=MB，得(x-3)2+(y-4)2+(z-5)2=(x+2)2+(y-3)2+z2，化简得10x+2y+10z-37=0.故选A. 4.【解析】设=i，=j，=k. (1)因为OA=6，OC=8，OO'=6，所以=6i+8j+6k=(6，8，6)， 所以点B'的坐标为(6，8，6). (2)由题图知=-=+-=-6i+8j+6k=(-6，8，6). 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：两两垂直. 问题2：以墙角的三条交线为坐标轴，建立空间直角坐标系，确定它的位置. 问题3：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则小蜜蜂的坐标是(1，1，1). 新知运用 例1　【解析】如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1. 由BM=2MC1，知MM1=CC1=，M1C=BC=. 因为M1M∥DD1，所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同，点M的竖坐标为，所以M，M1. 由N1为DM1的中点，知N1. 因为N1N与z轴平行，且N1N==， 所以N. 巩固训练　【解析】点D'的坐标就是的坐标，因为点D'在z轴上，且OD'=3，所以点D'的坐标是(0，0，3). 同理，点C的坐标就是的坐标，所以点C的坐标是(0，4，0). 过点A'垂直于x轴、y轴和z轴的平面分别为平面A'ABB'，平面A'AOD'，平面A'B'C'D'，所以点A'在x轴、y轴和z轴上的射影分别是A，O，D'，它们在坐标轴上的坐标分量分别是5，0，3，所以点A'的坐标是(5，0，3). 同理，过点B'垂直于x轴、y轴和z轴的平面分别为平面A'ABB'，平面B'BCC'，平面A'B'C'D'，所以点B'在x轴、y轴和z轴上的射影分别是A，C，D'，它们在坐标轴上的坐标分量分别是5，4，3，所以点B'的坐标是(5，4，3). 探究2　情境设置 问题1：O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，O'(0，0，1)，A'(1，0，1)，B'(1，1，1)，C'(0，1，1). 问题2：根据向量运算求解.=(1，1，1)，=-=(-1，1，0)，=-=(-1，1，1). 问题3：由A(1，0，0)，C(0，1，0)，可得AC的中点坐标为. 新知运用 例2　【解析】(1)由题意，以OA，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3). 由M为OB的中点，点N在AC上，AN=2NC，可得M(0，1，0)，N(1，0，2)， ∴MN==，MN的中点坐标为. (2)设P(0，y，z)，∵=λ，且点P在线段BC上， ∴=λ，∴P. ∵AP⊥MN，=，=(1，-1，2)， ∴·=0，∴-3-+=0，解得λ=. 巩固训练　B　【解析】如图所示，以C1为坐标原点，C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设E(2，2，x)，F(2，y，2)，x，y∈[0，2]， 则=(2，2，x)，=(0，y-2，2-x). 由C1E⊥EF，可得2y-4+2x-x2=0， 则AF=2-y==-(x-1)2+≤，当且仅当x=1时取等号，所以AF的最大值为. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E=A1B1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，E， ∴=-=-(1，1，0)=. 2.A　【解析】因为P(3，4，5)与Q(3，-4，-5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以P，Q两点关于x轴对称. 3.　【解析】由题图得A(0，0，0)，B1(1，0，1)，所以对角线的交点即AB1的中点，由中点坐标公式，可得正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为. 4.【解析】(1)PQ==. (2)设点M的坐标为(0，0，z)， 则MP=，MQ=， 由MP=MQ，解得z=-6，∴点M的坐标为(0，0，-6). 学科网（北京）股份有限公司 $