1.1.3 课时1 空间向量运算的坐标表示 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.3 课时1 空间向量运算的坐标表示 【学习目标】 1.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算) 2.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(数学抽象、数学运算) 3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.类比平面向量的坐标运算，推广空间向量的加法、减法、数乘和数量积运算.推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示的，即a=(x，y).问：在空间中向量该如何表示? 2.若a=xe1+ye2+ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗? 3.若向量=(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗? 4.类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么? 5.类比平面向量，空间中两个向量垂直的充要条件是什么? 6.你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗?它们是否成立?为什么? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，a∥b，则==. （ ） (2)若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同. （ ） (3)若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. （ ） (4)以原点为始点的向量的坐标和点P的坐标相同. （ ） 2.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，则3a+b=（ ）. A.(-2，-3，-2) B.(2，3，2) C.(-2，3，2) D.(4，3，2) 3.已知向量=(2-x，y-2，2)与=(-2，4-y，-4)共线，则x+y=（ ）. A.1 B.-1 C.0 D.2 4.已知向量a=(2，1，0)，b=(1，-2，4)，则(a+2b)·a=______. 【合作探究】 探究1空间向量的坐标 如图，在四面体O-ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1. 问题1：如何用基底{，，}表示向量? 问题2：若向量，，是两两垂直的单位向量，则在基底{，，}下的坐标是什么? 1.单位正交基底 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底. 2.空间向量的坐标表示 在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p=xe1+ye2+ze3，那么称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p=(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 例1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中，E，F，G分别为棱DD'，D'C'，BC的中点，以{，，}为基底，求向量，，，，，的坐标. 【变式设问】本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标. 【方法总结】基向量的选择和使用方法： (1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底. (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘. 我们给出空间向量坐标的广义定义：设{a，b，c}为空间的一组基底，若m=xa+yb+zc，则我们定义m在{a，b，c}下的坐标为(x，y，z).已知向量{a，b，c}是空间向量的一组基底，向量{a+b，a-b，c}是空间向量的另外一组基底，若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为（ ）. A. B. C. D. 探究2空间向量运算的坐标表示 已知i，j，k是两两垂直的单位向量，=2i+3j-k，=2i+5j+3k，=i+j-3k. 问题1：如何求向量的坐标? 问题2：如何求·? 设a=(x1，x2，x3)，b=(y1，y2，y3)，u，v是两个实数. 空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a+b=(x1+y1，x2+y2，x3+y3) 减法 a-b=(x1-y1，x2-y2，x3-y3) 数乘加法 ua+vb=(ux1+vy1，ux2+vy2，ux3+vy3) 数量积 a·b=x1y1+x2y2+x3y3 例2：已知a=(2，-1，-2)，b=(0，-1，4)，求a+b，a-b，a·b，2a·(-b)，(a+b)·(a-b). 【方法总结】关于空间向量坐标运算的两类问题：(1)直接计算问题，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量的坐标，首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标. 已知a=(1，1，0)，b=(0，1，1)，c=(1，0，1)，p=a-b，q=a+2b-c，则p·q=（ ）. A.-1 B.1 C.0 D.-2 探究3空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设{i，j，k}为单位正交基底，即i=(1，0，0)，j=(0，1，0)，k=(0，0，1)，在此基底下，a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，即a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k. 问题1：根据向量线性运算与数量积运算的定义及运算律，能得出|a|及cos<a，b>(a≠0且b≠0)的坐标表示吗? 问题2：若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a∥b一定有==成立吗? 设a=(x1，x2，x3)，b=(y1，y2，y3)，则 (1)|a|==； (2)cos<a，b>==(a≠0且b≠0)； (3)当a≠0时，a∥b⇔b=λa⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时，a∥b⇔==； (4)a⊥b⇔a·b=0⇔x1y1+x2y2+x3y3=0. 例3：已知=(-2，-1，2)，=(1，1，0)，=(-1，0，2).设a=，b=. (1)若|c|=3，c∥，求向量c； (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值. 【方法总结】向量平行与垂直问题主要有两种题型： (1)平行与垂直的判断. (2)利用平行与垂直求参数或求解其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，b≠0，可设a=λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 已知关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根，a=(-1，1，3)，b=(1，0，-2)，c=a+tb. (1)当|c|取最小值时，求实数t的值. (2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值. 【随堂检测】 1.已知空间向量m=(1，3，x)，n=(x2，-1，2)，则“x=1”是“m⊥n”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(多选题)设向量a=(1，λ，2)，b=(2，-1，2)，若cos<a，b>=，则实数λ的值可能为（ ）. A.-2 B.2 C. D.- 3.已知=(-2，-1，3)，=(-1，3，-2)，则与的夹角θ的大小是______. 4.已知a=(1，1，0)，b=(-1，0，1). (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a+3b|. 参考答案 1.1.3 课时1 空间向量运算的坐标表示 自主预习·悟新知 预学忆思 1.a=(x，y，z). 2.不一定，当{e1，e2，e3}是一组单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是. 3.不一定，当点A与原点重合时，点B的坐标是(x，y，z)，否则不是. 4.若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔ 5.若a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0. 6.假设空间中两个向量a，b满足a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则有以下结论： (1)a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)； (2)若u，v是两个实数，则ua+vb=(ux1+vx2，uy1+vy2，uz1+vz2)； (3)a·b=x1x2+y1y2+z1z2； (4)|a|==； (5)当a≠0且b≠0时，cos<a，b>==. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.B　【解析】3a+b=3(1，1，0)+(-1，0，2)=(3，3，0)+(-1，0，2)=(2，3，2). 3.A　【解析】由已知得==，解得x=1，y=0，故x+y=1.故选A. 4.5　【解析】∵a+2b=(2，1，0)+2(1，-2，4)=(2，1，0)+(2，-4，8)=(4，-3，8)，∴(a+2b)·a=(4，-3，8)·(2，1，0)=4×2+(-3)×1+8×0=5. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：由已知得==(+)= =+[(-)+(-)]=++. 问题2：由=++，可知的坐标表示为. 新知运用 例1　【解析】=+=+=， =+=+=， =++=++=， =-=-=+=， =-=-=--=， =-=+-=-=. 变式设问　提示：=+=-+=， =+=+=-+=， =+=. 巩固训练　B　【解析】设向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc， 所以解得 故p在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为. 探究2　情境设置 问题1：因为i，j，k是两两垂直的单位向量，所以=(2，3，-1)，=(2，5，3)，类比平面向量，=+=(2i+3j-k)+(2i+5j+3k)=(2，3，-1)+(2，5，3)=(4，8，2). 问题2：同上可知·=(i+j-3k)·(2i+5j+3k)=(1，1，-3)·(2，5，3)=1×2+1×5+(-3)×3=-2. 新知运用 例2　【解析】a+b=(2，-1，-2)+(0，-1，4)=(2+0，-1-1，-2+4)=(2，-2，2)； a-b=(2，-1，-2)-(0，-1，4)=(2-0，-1+1，-2-4)=(2，0，-6)； a·b=(2，-1，-2)·(0，-1，4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7； 2a·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14； (a+b)·(a-b)=(2，-2，2)·(2，0，-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8. 巩固训练　A　【解析】因为p=a-b=(1，0，-1)，q=a+2b-c=(0，3，1)，所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1.故选A. 探究3　情境设置 问题1：把向量a的模看成长方体的一条体对角线长，可得|a|=. 由数量积的定义得cos<a，b>==. 问题2：当b1，b2，b3均不为0时，==成立. 新知运用 例3　【解析】(1)∵=(-2，-1，2)且c∥， ∴设c=λ=(-2λ，-λ，2λ)(λ∈R)，∴|c|==3|λ|=3， 解得λ=±1，∴c=(-2，-1，2)或c=(2，1，-2). (2)∵a==(1，1，0)，b==(-1，0，2)， ∴ka+b=(k-1，k，2)，ka-2b=(k+2，k，-4). ∵(ka+b)⊥(ka-2b)，∴(ka+b)·(ka-2b)=0， 即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0，解得k=2或k=-. 巩固训练　【解析】(1)因为关于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有两个实根， 所以Δ=[-(t-2)]2-4(t2+3t+5)≥0，即-4≤t≤-. 又c=a+tb=(-1，1，3)+t(1，0，-2)=(-1+t，1，3-2t)， 所以|c|==. 因为当t∈时，上述|c|关于t的函数单调递减， 所以当t=-时，|c|取得最小值，最小值为. (2)由(1)知，当t=-时，c=， 所以cos<b，c>===-=-. 随堂检测·精评价 1.A　【解析】空间向量m=(1，3，x)，n=(x2，-1，2)， 当m⊥n时，有1·x2+3×(-1)+2x=0，解得x=-3或x=1， 所以“x=1”是“m⊥n”的充分不必要条件. 故选A. 2.AC　【解析】由题意可得cos<a，b>====， 即55λ2+108λ-4=0，解得λ=或λ=-2. 故选AC. 3.120°　【解析】因为=(-2，-1，3)，=(-1，3，-2)， 所以·=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)=-7，||=，||=，所以cos θ=cos<，>==-，则θ=120°. 4.【解析】(1)由题意得a·b=-1+0+0=-1，|a|=，|b|=， ∴cos θ===-. ∵0≤θ≤π，∴θ=. (2)|a+3b|===. 学科网（北京）股份有限公司 $