1.3 第2课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系建立、点的坐标与对称及空间向量坐标应用，通过引用吴文俊先生“形与数”论述导入，结合思考问题类比平面到空间的位置刻画，搭建从平面直角坐标系到空间的学习支架。 其亮点在于采用类比迁移（平面到空间向量坐标）、实例建模（长方体中点坐标求解）和分层训练（即时练、跟踪训练），培养空间观念、推理能力与应用意识。课堂小结梳理知识脉络，学生通过具体问题掌握方法，教师可提升教学效率。

第2课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 新课导入 学习目标 　　我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法．”我们应如何理解吴文俊先生的这段话？ 1.会建立适当的空间直角坐标系，并求点的坐标． 2.掌握空间中两点间的距离公式和中点坐标公式，会利用空间向量的坐标运算解决相关的问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习探究 1 1 课堂巩固自测 2 新知学习探究 第一部分 4 [提示]　在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置． 思考2　如何准确表示空间中的点的位置呢？ [提示]　建立空间直角坐标系，利用三个坐标变量来表示空间中的点的位置． 返回导航 [知识梳理] 1．空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系______，然后过O作一条与__________________的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作______． (1)x轴、y轴、z轴是两两互相______的，都称为________． (2)通过每两个坐标轴的平面都称为__________，分别记为__________、__________、__________． xOy xOy平面垂直 Oxyz 垂直 坐标轴 坐标平面 xOy平面 yOz平面 zOx平面 返回导航 (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为____________，z轴与y轴(或x轴)______．如图1，图2所示． 135°(或45°) 垂直 返回导航 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的________，且x称为点M的______(或______)，y称为点M的______(或______)，z称为点M的______(或______). 坐标分量 横坐标 x坐标 纵坐标 y坐标 竖坐标 z坐标 返回导航 × × √ √ 返回导航 2．点A(1，2，－1)在坐标平面yOz内的射影的坐标是(　　) A．(1，0，－1) B．(0，2，－1) C．(1，2，0) D．(－1，2，0) 解析：点A(1，2，－1)在坐标平面yOz内的射影即由A作平面yOz的垂线，垂足的坐标为(0，2，－1). B 返回导航 3．(对接教材例5)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝4，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标． 返回导航 解：由于D为坐标原点，所以D(0，0，0)， 因为AB＝BC＝2，D1D＝4，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，C1(0，2，4)， 因为点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，所以N(2，1，0)，M(1，2，4). 返回导航 确定点的坐标的常用方法 (1)垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线，注意坐标符号． (2)公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式等求出坐标． (3)方程(组)法：利用向量平行或共线相等关系，设出所求点的坐标，建立方程(组)求解． 感悟提升 返回导航 [提示]　分别为(x，－y)，(－x，y)，(－x，－y). 返回导航 [例1] 在空间直角坐标系中，已知点P(2，3，－1)， 求：(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标； 【解】　设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2，3，1). 同理，点P关于yOz，zOx坐标平面的对称点的坐标分别为(－2，3，－1)，(2，－3，－1). 返回导航 (2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标； 【解】　设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3，1). 同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(－2，3，1)，(－2，－3，－1). (3)点P关于坐标原点对称的点的坐标． 【解】　点P(2，3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3，1). 返回导航 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 感悟提升 返回导航 [跟踪训练1] (1)在空间直角坐标系中，点A(9，8，5)关于y轴对称的点的坐标为(　　) A．(9，8，－5) B．(9，－8，5) C．(－9，8，5) D．(－9，8，－5) 解析：点A(9，8，5)关于y轴对称的点的坐标为(－9，8，－5).故选D. D 返回导航 (2)在空间直角坐标系Oxyz中，点A(2，－2，2)关于zOx平面的对称点的坐标为______________________． 解析：A(2，－2，2)关于zOx平面的对称点的特征为x，z坐标不变，y取相反数，故所求坐标为(2，2，2). (2，2，2) 返回导航 返回导航 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 返回导航 返回导航 D 返回导航 返回导航 (2)已知点A(1，2，1)，B(3，3，2)，C(1，4，3)，若点D在线段AB上，且 满足CD⊥AB，则点D的坐标为______________． 返回导航 返回导航 母题探究　本例(2)中的“若点D在线段AB上，且满足CD⊥AB”变为“点D使四边形ABCD为平行四边形”，则顶点D的坐标为________________． (－1，3，2) 返回导航 返回导航 返回导航 利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为夹角与距离问题． 感悟提升 返回导航 [跟踪训练2] (1)在空间直角坐标系中，已知点A(2，3，0)，B(－1，2，3)，C(8，x，y)，若A，B，C三点共线，则BC的长为________． 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固自测 第二部分 35 ABD 返回导航 返回导航 －9 返回导航 3．在空间直角坐标系中，A(1，－2，a)，B(0，3，1)，C(b，－1，2)，若A，B，C三点共线，则ab＝________． 返回导航 返回导航 (2)若2ka－b与a＋kb互相垂直，求实数k的值． 返回导航 课堂小结 1．已学习：空间直角坐标系的概念、空间点的坐标及空间向量的坐标． 2．须贯通：求空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标，要观察该点在坐标轴的正方向或负方向上距离原点的距离． 3．应注意：混淆空间点的坐标和向量的坐标的概念，只有始点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同． 返回导航 eq \a\vs4\al(知识点一　空间直角坐标系) 思考1　我们如何刻画点在直线上、平面内的位置？ [即时练] 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　) (2)空间直角坐标系中，在坐标平面zOx内的点的坐标一定是(a，0，0)的形式．(　　) (3)点P(－2，0，3)位于zOx平面内．(　　) (4)空间直角坐标系中，点(2， eq \r(3) ，3)到坐标平面xOy的距离为3.(　　) eq \a\vs4\al(知识点二　空间中点的对称问题) 思考　在平面直角坐标系中，设P(x，y)，则P关于x轴、y轴、原点的对称点的坐标是什么？ eq \a\vs4\al(知识点三　空间向量坐标的应用) 思考　在平面直角坐标系中，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你知道 eq \o(AB,\s\up17(→)) 的坐标如何表示吗？类比平面向量，你能推出空间直角坐标系中，已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， eq \o(AB,\s\up17(→)) 的坐标吗？ [提示]　平面直角坐标系中 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(x2－x1，y2－y1)，空间直角坐标系中 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). [知识梳理] 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间直角坐标系中的两点，则 eq \o(OA,\s\up17(→)) ＝(x1，y1，z1)， eq \o(OB,\s\up17(→)) ＝(x2，y2，z2)，所以 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up17(→)) － eq \o(OA,\s\up17(→)) ＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝________________________，因此，AB＝| eq \o(AB,\s\up17(→)) |＝　________________________________________ 这就是空间直角坐标系中两点之间的距离公式．上面的推导过程也说明，空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标． eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2) 设线段AB的中点为M(x，y，z)，则 eq \o(OM,\s\up17(→)) ＝(x，y，z)，又因为 eq \o(OM,\s\up17(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(OA,\s\up17(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up17(→)) )＝ eq \f(1,2) (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))) ，所以M的坐标为________________________．这就是空间直角坐标系中的中点坐标公式． ( eq \f(x1＋x2,2) ， eq \f(y1＋y2,2) ， eq \f(z1＋z2,2) ) 角度1　解决平行与垂直问题 [例2] (1)(对接教材例6)若 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(1，－1，2)， eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝(a－1，－2，b＋3)，A，B，C三点共线，那么a＋b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由于A，B，C三点共线，所以 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(1，－1，2)与 eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝(a－1，－2，b＋3)共线， 所以 eq \f(a－1,1) ＝ eq \f(－2,－1) ＝ eq \f(b＋3,2) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1，)) 所以a＋b＝4，故选D. 【解析】　设点D的坐标为(x，y，z)， 则 eq \o(CD,\s\up17(→)) ＝(x－1，y－4，z－3)， eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(2，1，1)， eq \o(AD,\s\up17(→)) ＝(x－1，y－2，z－1)， 因为点D在线段AB上，且满足CD⊥AB， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(8,3)，\f(5,3))) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(CD,\s\up17(→))⊥\o(AB,\s\up17(→))，,\o(AD,\s\up17(→))∥\o(AB,\s\up17(→))，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x－1）＋（y－4）＋（z－3）＝0，,\f(x－1,2)＝\f(y－2,1)＝\f(z－1,1)，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(7,3)，,y＝\f(8,3)，,z＝\f(5,3)，)) 所以点D的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(8,3)，\f(5,3))) . 解析：设顶点D的坐标为(x，y，z)，因为四边形ABCD为平行四边形， 故 eq \o(AD,\s\up17(→)) ＝ eq \o(BC,\s\up17(→)) ， 即(x－1，y－2，z－1)＝(－2，1，1)， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝－2，,y－2＝1，,z－1＝1，)) 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝3，,z＝2，)) 即顶点D的坐标为(－1，3，2). 角度2　求空间两点间的距离 [例3] 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是AC与BD的交点．若D1A1＝2，D1C1＝2，D1D＝3，则B1M的长为________. eq \r(11) 【解析】　以D1为坐标原点， eq \o(D1A1,\s\up17(→)) ， eq \o(D1C1,\s\up17(→)) ， eq \o(D1D,\s\up17(→)) 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，0)，B1(2，2，0)，D(0，0，3)， B(2，2，3)，M(1，1，3)， 所以 eq \o(B1M,\s\up17(→)) ＝(－1，－1，3)， 所以| eq \o(B1M,\s\up17(→)) |＝ eq \r(（－1）2＋（－1）2＋32) ＝ eq \r(11) ， 即B1M的长为 eq \r(11) . 解析：由题意可知， eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(－3，－1，3)， eq \o(BC,\s\up17(→)) ＝(9，x－2，y－3)， 若A，B，C三点共线，则 eq \o(AB,\s\up17(→)) ∥ eq \o(BC,\s\up17(→)) ， 可得 eq \f(9,－3) ＝ eq \f(x－2,－1) ＝ eq \f(y－3,3) ，解得x＝5，y＝－6， 则 eq \o(BC,\s\up17(→)) ＝(9，3，－9)，可得| eq \o(BC,\s\up17(→)) |＝ eq \r(92＋32＋（－9）2) ＝3 eq \r(19) ， 所以BC的长为3 eq \r(19) . 3 eq \r(19) (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝ eq \f(1,4) CD，点H为C1G的中点． ①证明： eq \o(EF,\s\up17(→)) ⊥ eq \o(B1C,\s\up17(→)) ； ②求| eq \o(FH,\s\up17(→)) |. 解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， 则有D(0，0，0)，E eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2))) ， F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)) ， C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)， G eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0)) ，H eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2))) . ①证明： eq \o(EF,\s\up17(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2))) ， eq \o(B1C,\s\up17(→)) ＝(－1，0，－1)， 所以 eq \o(EF,\s\up17(→)) · eq \o(B1C,\s\up17(→)) ＝－ eq \f(1,2) ＋0＋ eq \f(1,2) ＝0， 所以 eq \o(EF,\s\up17(→)) ⊥ eq \o(B1C,\s\up17(→)) ． ② eq \o(FH,\s\up17(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2))) ， 所以| eq \o(FH,\s\up17(→)) |＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(41),8) . 1．(多选)(教材P29T12改编)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(－4，3，－6)，则(　　) A． eq \o(OA,\s\up17(→)) 在x轴上的投影向量的坐标为(－4，0，0) B. eq \o(OA,\s\up17(→)) 在y轴上的投影向量的坐标为(0，3，0) C． eq \o(OA,\s\up17(→)) 在z轴上的投影向量的坐标为(0，0，6) D．点A在坐标平面xOy内的射影的坐标为(－4，3，0) 解析： eq \o(OA,\s\up17(→)) 在x轴上的投影向量的坐标为(－4，0，0)， eq \o(OA,\s\up17(→)) 在y轴上的投影向量的坐标为(0，3，0)， eq \o(OA,\s\up17(→)) 在z轴上的投影向量的坐标为(0，0，－6)，点A在坐标平面xOy内的射影的坐标为(－4，3，0).故选ABD. 2．(2026·北京期中)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(0，2，－1)，B(1，0，1)，C(－1，4，－3)，则 eq \o(AB,\s\up17(→)) · eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝________． 解析：因为点A(0，2，－1)，B(1，0，1)，C(－1，4，－3)， 所以 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(1，－2，2)， eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝(－1，2，－2)， 则 eq \o(AB,\s\up17(→)) · eq \o(AC,\s\up17(→)) ＝1×(－1)＋(－2)×2＋2×(－2)＝－9. 解析：由题得 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝(－1，5，1－a)， eq \o(BC,\s\up17(→)) ＝(b，－4，1)，因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得 eq \o(AB,\s\up17(→)) ＝λ eq \o(BC,\s\up17(→)) ， 即(－1，5，1－a)＝λ(b，－4，1)， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λb＝－1，,－4λ＝5，,λ＝1－a，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝\f(4,5)，,λ＝－\f(5,4)，)) 所以ab＝ eq \f(9,5) . eq \f(9,5) 4．(教材P29 T10改编)已知空间中三点A(2，－1，1)，B(1，1，0)，C(4，－3，3).设a＝ eq \o(AB,\s\up17(→)) ，b＝ eq \o(AC,\s\up17(→)) . (1)求|2a－b|； 解：由题意知，a＝(－1，2，－1)， b＝(2，－2，2)， 于是2a－b＝(－2，4，－2)－(2，－2，2)＝(－4，6，－4)， 所以|2a－b|＝ eq \r(（－4）2＋62＋（－4）2) ＝2 eq \r(17) . 解：因为2ka－b＝(－2k，4k，－2k)－(2，－2，2)＝(－2k－2，4k＋2，－2k－2)， a＋kb＝(－1，2，－1)＋(2k，－2k，2k)＝(2k－1，2－2k，2k－1)， 又2ka－b与a＋kb互相垂直， 所以(2ka－b)·(a＋kb)＝0， 即(－2k－2)(2k－1)＋(4k＋2)(2－2k)＋(－2k－2)(2k－1)＝0， 所以k2＝ eq \f(1,2) ，解得k＝± eq \f(\r(2),2) . $