精品解析：2025年广东省韶关市中考数学联合模拟练习卷（七）

2025年韶关市九年级中考数学联合模拟练习卷（七） 一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2024年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 2. 有资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年15000000公顷的速度从地球上消失，用科学记数法表示15000000是（ ） A. B. C. D. 3. 化简：（ ） A. B. C. –30 D. 30 4. 下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 6. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2 7. 某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C D. 8. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，其中正确的结论个数为（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分,共15分. 11. 因式分解：_______． 12. 如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为________． 13. 已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 _____． 14. 计算：_____． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有___个． 三、解答题（一）:本大题共3小题,每小题7分，共21分. 16. 解下列分式方程： （1）； （2） 17. 如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点，． （1）求证：； （2）若，求扇形的面积． 18. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2）， （1）求抛物线的解析式．求支柱EF的长度． （2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由． 四、解答题（二）:本大题共3小题,每小题9分，共27分. 19. 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE． （1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍． 20. 生活垃圾的分类与回收利用可以减少污染，生活垃圾一般可分为四大类：可回收物（A）、厨余垃圾（B）、有害垃圾（C）和其他垃圾（D），某垃圾处理厂统计了居民日常生活垃圾的分类情况，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据上述统计图提供的信息，完成下列问题： （1）求在此次调查中，表示“其他垃圾（D）”部分的扇形的圆心角的度数； （2）请补全条形统计图； （3）研究发现，在“可回收物（A）”中废纸约占，某企业利用回收的1吨废纸可生产0.8吨纸，若该市每天生活垃圾为40000吨，那么该企业每天利用回收的废纸可以生产多少吨纸？ 21. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 理解】 （1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值（用含的代数式表示）； 【应用】 （2）如图2，在对垂四边形中，已知，点为线段上一点，且，求证：； 拓展】 （3）在对垂四边形中，已知，点为边上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的长． 五、解答题（三）:本大题共2小题, 第22小题13分,第23小题14分,共21分. 22. 阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 23. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年韶关市九年级中考数学联合模拟练习卷（七） 一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2024年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，根据相反意义的量进行求解即可． 【详解】解：∵公元前500年记作年， ∴公元前为“”， ∴公元后为“”， ∴公元2024年就是公元后2024年， ∴公元2024年应记作年． 故选：C． 2. 有资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年15000000公顷的速度从地球上消失，用科学记数法表示15000000是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将一个绝对值大于1的数改写成科学记数法的形式为，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 化简：（ ） A. B. C. –30 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【详解】． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．•，． 4. 下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的主视图解答即可． 【详解】A：主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形， B：主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形， C：主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形， D：主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 综上所述，A选项的主视图与其余选项不同， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键. 5. 如图，在中，，是边上中线，是的中位线，若，则（　　）​ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6​ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟记各性质定理是解题的关键．根据直角三角形斜边上的直线的性质得出的长，再根据三角形中位线定理得出结果． 【详解】解：在中，，是边上中线，， ∴， ∵是的中位线， ∴， 故选：D． 6. 一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 3和5 B. 2和5 C. 2和3 D. 3和2 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：将数据重新排列为2，2，3，4，5， 所以这组数据的众数为2，中位数3， 故选C． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 7. 某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当商品第一次降价x%时，其售价为173-173x%=173（1-x%）， 当商品第二次降价x%后，其售价为173（1-x%）-173（1-x%）x%=173（1-x%）2， ∴173（1-x%）2=127． 故选：C． 【点睛】考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 8. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，其中正确的结论个数为（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，路程、时间与速度的关系，正确理解函数图象得到相关信息并运用数形结合的思想是解题的关键．由图象所给信息对结论逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知当时，甲、乙两人在A、B两地还未出发， 故A，B之间的距离为，故①正确； 前为甲、乙的速度和行走了， 故， 由图象可知乙用了走完了， 则， 则， ，故②正确； 又∵两人相遇时停留了， ∴两人相遇后从开始继续行走，由图象时的拐点可知，到乙到达目的地， 则两人相遇后行走了，两人之间的距离为（米）， 则，故③正确； 从开始为甲独自行走， 则 ， 故，故④正确； 故选：A． 9. 2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，是实际应用类题目，需要同学们挖掘隐含的条件．根据自行车的构造，可得四边形是梯形，，从而求出与的度数，代入扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，四边形是梯形，， ，， ，， 车轮的直径为， 半径， 则， ∴那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴，垂足为D，通过解直角三角形可求得，根据已知易证，从而可得，，然后在中求出与的长，最后证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点C作轴，垂足为D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分,共15分. 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提取公因式法因式分解，利用提取公因式法因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积． 【详解】延长EG交CD于点H，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG， ∴AD∥EG， ∴四边形AEHD是平行四边形， ∴． ∵位似图形与原图形的位似比为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键． 13. 已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】因为矩形的长和宽分别为a、b，所以其周长和面积分别为2(a+b)和ab，设所求矩形的长为x，则宽为(a+b)-x，其面积为x[(a+b)-x]，根据题意得：x[(a+b)-x]=ab，因为存在另外一个矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，故该方程有解，即△≥0，得出不等式即可求解． 【详解】解：设所求矩形的长为x，则宽为(a+b)-x，其面积为x[(a+b)-x]， 根据题意得：x[(a+b)-x]=ab， 即 ， ∵存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一 ∴方程有解， ∴△= = =≥0 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题． 14. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有___个． 【答案】3 【解析】 【详解】设AP为x， ∵AB=10， ∴PB=10﹣x 分AD和PB是对应边，AD和BC是对应边两种情况： ①AD和PB是对应边时， ∵△APD与△BPC相似， ∴，即 整理得，x2﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8 ②AD和BC是对应边时， ∵△APD与△BPC相似， ∴，即 解得x=5 综上所述，当AP=2、5、8时，△APD与△BPC相似 ∴满足条件的点P有3个. 三、解答题（一）:本大题共3小题,每小题7分，共21分. 16. 解下列分式方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是先去分母，转化为整式方程，最后不要忘记检验． （1）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可； （2）两边同时乘以，再解整式方程最后检验即可． 【小问1详解】 解：， 两边同时乘以，得：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1，得， 检验：当时，， ∴是该方程的解； 【小问2详解】 解： 两边同时乘以，得 去括号得， 移项合并同类项得， 解得： 检验，当时， ∴是原方程的增根，原方程无解． 17. 如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点，． （1）求证：； （2）若，求扇形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由切线的性质得到，推出，得到，得出，即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，求出的半径，得到． 【小问1详解】 证明：是的切线， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：平分， ， ， ，是的直径， 的半径， ． 18. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2）， （1）求抛物线的解析式．求支柱EF的长度． （2）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由． 【答案】（1）抛物线的表达式，支柱EF的长度是5.5米 （2）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车，利用见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．再把代入抛物线的解析式求解 可求出支柱MN的长度． （2）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解． 【小问1详解】 解：根据题目条件A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6）， 设抛物线解析式为， 将B，C坐标代入， 得 解得 所以抛物线的表达式． 当 时， 从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米． 【小问2详解】 如图， 设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和， 则G点坐标是（7，0）． 过G点作GH垂直AB交抛物线于H， 则． 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【点睛】本题考查的是待定系数法求抛物线的解析式、点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解本题的关键． 四、解答题（二）:本大题共3小题,每小题9分，共27分. 19. 已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别为BC，AB的中点，连接DE，CE，点F在DE的延长线上，连接AF，且AF＝AE． （1）如图1，求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）如图2，当∠B＝30°时，连接CF交AB于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四条线段，使每条线段的长度都等于线段DE的长度的倍． 【答案】（1）见解析；（2）FG，CG，CD，DB 【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理可证得DE∥AC，由直角三角形斜边中线定理得到CE＝AB，根据平行线的性质定理和等腰三角形的性质证得∠F＝∠CED，进而得到AF∥CE，根据平行四边形的判定即可证得四边形ACEF是平行四边形； （2）根据直角三角形的性质得到AC＝AB，由（1）知CE＝AB，求得AC＝CE，推出四边形ACEF为菱形，得到AE⊥CF，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵BD＝CD，BE＝AE， ∴DE∥AC， ∴∠AEF＝∠EAC，∠CED＝∠ECA， ∵∠ACB＝90°，BE＝AE， ∴CE＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵AF＝AE， ∴∠F＝∠AEF， ∴∠F＝∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形ACEF是平行四边形； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴AC＝AB， 由（1）知CE＝AB， ∴AC＝CE＝BE， 又∵四边形ACEF为平行四边形 ∴四边形ACEF为菱形， ∴AE⊥CF， ∵CE＝BE， ∴∠B＝∠DCE＝30°， ∴∠BED＝∠BAC＝60°， ∵DF∥AC， ∠BDE＝∠ACB＝∠CDE＝90°， ∴BD＝CD＝DE， ∵∠DEB＝∠FEG＝∠CEG＝60°， ∴∠CED＝60°， ∴∠FEG＝∠CED， ∵EF＝CE，∠EGF＝∠CDE＝90°， ∴△EFG≌△ECD（AAS）， ∴EG＝DE，FG＝CD， ∴FG＝DE， ∵CG＝FG， ∴CG＝DE， ∴等于线段DE的长度的倍的线段是FG，CG，CD，DB． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质以及直角三角形的性质，是解题的关键． 20. 生活垃圾的分类与回收利用可以减少污染，生活垃圾一般可分为四大类：可回收物（A）、厨余垃圾（B）、有害垃圾（C）和其他垃圾（D），某垃圾处理厂统计了居民日常生活垃圾的分类情况，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图． 请你根据上述统计图提供的信息，完成下列问题： （1）求在此次调查中，表示“其他垃圾（D）”部分的扇形的圆心角的度数； （2）请补全条形统计图； （3）研究发现，在“可回收物（A）”中废纸约占，某企业利用回收的1吨废纸可生产0.8吨纸，若该市每天生活垃圾为40000吨，那么该企业每天利用回收的废纸可以生产多少吨纸？ 【答案】（1） （2）60吨，见解析 （3）1200吨 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形统计图中扇形的圆心角，样本估计总体等知识； （1）根据两幅图中“可回收物（A）”的数量及占比，可求得垃圾的总重量，根据“其他垃圾（D）”的重量即可求得“其他垃圾（D）”的圆心角度数； （2）求出“厨余垃圾（B）”的重量，即可补充条形统计图； （3）根据40000吨生活垃圾中，“可回收物（A）”占，“可回收物（A）”中废纸约占15%，回收的1吨废纸可生产0.8吨纸，即可计算． 【小问1详解】 解：由题意得垃圾的总重量：（吨）， ∴表示“其他垃圾（D）”部分的扇形的圆心角的度数； 答：在此次调查中，表示“其他垃圾（D）”部分的扇形的圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：表示“厨余垃圾（B）”的重量（吨）， ∴补全统计图如下所示： 【小问3详解】 解：由题意得：（吨）， 答：该企业每天利用回收的废纸可以生产1200吨纸． 21. 综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】 （1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值（用含的代数式表示）； 【应用】 （2）如图2，在对垂四边形中，已知，点为线段上一点，且，求证：； 【拓展】 （3）在对垂四边形中，已知，点为边上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和求解即可； （2）由题得出，进而可证，进而得证； （3）由题证点五点共圆，当在点上方时，可得，再解四边形即可；当在点下方时，可得，再解四边形即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵， ， ∵， ， 由折叠性质可知， ， 如图，当在上方时， ， ∴点、、、四点共圆， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴点、、、、五点共圆， ∵， ， ， 如简化图，过作于点， 在中，， ， ， 在中，， ∵是顶角为的等腰三角形， ； 如简化图，当在点下方时， 同理可得点、、、、五点共圆， ， ， ， 如简化图，过作于点， 在中，， ， ， 在中，， ∵是顶角为的等腰三角形， ； 综上，的长为线． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆的基本性质、解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识，正确做出辅助线是解题的关键． 五、解答题（三）:本大题共2小题, 第22小题13分,第23小题14分,共21分. 22. 阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 【答案】（1）；（2）；（3）2020 【解析】 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案； （3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ 故答案为：； （2） 故答案为：； （3）（+…+）×（+1） ＝（+…+）×（+1） ＝（）×（+1） ＝ ＝2020． 【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解． 23. 问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可知点是中点，由中点坐标公式可得，由双曲线过点E可得，由此即可求出该双曲线的解析式； （2）由点、在双曲线的图象上可得，由矩形的性质可得，，进而可得，由比例的性质可得，再结合，于是结论得证； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， 点是中点， 又，， ， 双曲线过点E， ， ， 该双曲线的解析式为， 故答案为：，； （2）点，在双曲线的图象上， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ； （3）分三种情况讨论： ①当时， 四边形是矩形， ， ， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ②当时， 此时点与点重合， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ③当时， 设， 将矩形向右平移个单位长度， ，， ， ， 解得：， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：， ， 与题意不符，故舍去； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标，求反比例函数解析式，比例的性质，相似三角形的判定，已知两点坐标求两点距离，坐标与图形变化—平移，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $