1.2.3 课时2 充要条件 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

1.2.3 课时2 充要条件 【学习目标】 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义.(数学抽象) 2.会判断和证明充要条件，会求某些简单问题的充要条件.(逻辑推理) 3.理解数学定义与充要条件的关系.(数学抽象) 【自主预习】 1.在初中我们学过“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”，则“两直线平行”和“同位角相等”互为什么条件? 2.我们知道“a=b=1”能够推出“a+b=2”，那么“a+b=2”是否也能推出“a=b=1”?为什么? 3.通过阅读教材内容，我们可以知道“a=b=1”是“a+b=2”的什么条件?“a+b=2”又是“a=b=1”的什么条件? 4.你还能找出生活中或我们初中学过的充分不必要条件或必要不充分条件的例子吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件. (　　) (2)若p是q的充分不必要条件，则q也是p的充分不必要条件. (　　) (3)若p是q的必要不充分条件，则q是p的充分不必要条件. (　　) (4)若p是q的充分不必要条件，则􀱑q也是􀱑p的充分不必要条件. (　　) 2.唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年.今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，由此推断，后一句中“是仙”是“到蓬莱”的(　　). A.必要条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知“x>a”是“2<x<3”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.  4.已知集合A为数集，则“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的______条件.  【合作探究】 探究1　充要条件的判断 　　老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因有事不能到场，老张说：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去. 问题1：张三为什么走了? 问题2：李四为什么走了? 问题3：若p是q的充要条件，则p和q相互等价，这种说法对吗? 问题4：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里? 　　充要条件 (1)如果“若p，则q”和“若q，则p”均是真命题，即既有______，又有______，那么记作______.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为______.  (2)当p是q的充要条件时，q也是p的______条件.  (3)p是q的充要条件也常常说成“p成立______q成立”或“p与q______”.  　　特别提醒：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)若p⇔q，则称p是q的充要条件. (3)若p⇒q，且q⇒/ p，则称p是q的充分不必要条件. (4)若p⇒/ q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件. 例1　下列各题中，p是q的什么条件?(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答) (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC. (2)p：m<-2或m>6，q：方程mx2+2x+1=0有两个不同的实根. (3)已知A⊆U，B⊆U，p：A∩B=A，q：UB⊆UA. (4)已知x，y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0. 【方法总结】充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 (1)定义法： ①分清命题的条件和结论； ②找推式，判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假； ③根据推式及条件得出结论. (2)集合法：写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断. (3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题. 已知p：1+a<0，q：a<-1，则p是q的(　　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.以上说法均不正确 已知m，n∈R，则“-1=0”是“m-n=0”成立的(　　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 探究2　利用充要条件确定参数的取值范围 　　已知条件p：4x+m<0，条件q：x>2或x<-1. 问题1：是否存在实数m，使得p是q的充分条件?如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由. 问题2：是否存在实数m，使得p是q的必要条件?如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由. 问题3：设p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，则满足A⊆B时，m的取值范围与问题1中m的取值范围是否相同?是否存在实数m，使得B⊆A? 1.设p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现： A=B⇔p是q的充要条件； A⫋B⇔p是q的充分不必要条件； A⫌B⇔p是q的必要不充分条件； A⊈B，B⊈A⇔p是q的既不充分也不必要条件. 2.已知命题间的关系，求参数的取值范围，应用转化的思想把命题间的关系正确地转化为集合间的关系，建立关于参数的不等式(组)求解. 例2　已知条件p：1≤x≤a(a≥1)，条件q：1≤x≤2，当a为何值时， (1)p是q的充分不必要条件? (2)p是q的必要不充分条件? (3)p是q的充要条件? 【方法总结】利用条件的充要性求解参数问题，关键是观察条件属性，找出适当的解题思路，如数集类问题，一般是将命题之间的关系转化为集合间的包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解. 设集合A={x|2≤x≤6}，非空集合B={x|2m≤x≤m+3}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______.  探究3　充要条件的证明 　　已知关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2. 问题1：由m≥2得到方程x2+mx+1=0有两个负实根，这个过程是证明“充分性”还是“必要性”? 问题2：由方程x2+mx+1=0有两个负实根，得到m≥2，这个过程是证明“充分性”还是“必要性”? 问题3：互为充要条件中条件和结论是相对的，在充要条件问题的证明中，条件是确定的吗? 　　充要条件的证明一般分为两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面.解题时要避免将充分性当作必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若“条件”⇒“结论”，则是证明充分性，若“结论”⇒“条件”，则是证明必要性. 例3　证明：一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0. 【方法总结】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性. 已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0. 【随堂检测】 1.已知a，b∈R，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的(　　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　). A.0， B.0， C.0， D.0， 3.设集合A={x|-1<x<3}，B={x|-1<x<m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是______.  4.已知四个电路图，如图所示.条件A：开关S1闭合.条件B：灯泡L亮.能得出A是B的充要条件的图为______.  参考答案 1.2.3 课时2 充要条件 自主预习·悟新知 预学忆思 1.充分必要条件(简称为充要条件). 2.不能.因为当a+b=2时，a，b的值有无数组.例如：a=0，b=2；a=-1，b=3；a=2 024，b=-2 022等. 3.充分不必要条件，必要不充分条件. 4.能.例如：①“若两个角是对顶角，则它们相等”，“两个角是对顶角”是“它们相等”的充分不必要条件； ②“若小李是北京人，则他是中国人”，“小李是中国人”是“小李是北京人”的必要不充分条件. 自学检测 1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.B　【解析】由“是仙”可以推出“到蓬莱”，而“到蓬莱”不一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条件.故选B. 3.(-∞，2]　【解析】因为“x>a”是“2<x<3”的必要不充分条件，所以(2，3)⫋(a，+∞)，所以a≤2.故实数a的取值范围是(-∞，2]. 4.必要不充分　【解析】A∩{0，1}={0}⇒/ A={0}；反之，A={0}⇒A∩{0，1}={0}.故“A∩{0，1}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：“该来的没有来”的等价命题是“来了的都不该来”，张三觉得自己是不该来的. 问题2：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的. 问题3：正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 问题4：“p是q的充要条件”说明p是条件，q是结论；“p的充要条件是q”说明q是条件，p是结论. 新知生成 (1)p⇒q　q⇒p　p⇔q　充要条件　(2)充要　(3)当且仅当　等价 新知运用 例1　【解析】(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，∴p是q的充要条件. (2)方程mx2+2x+1=0有两个不同的实根⇔Δ=4-4m>0且m≠0⇔m<1且m≠0， ∴p是q的既不充分也不必要条件. (3)A∩B=A⇔A⊆B⇔UB⊆UA，∴p是q的充要条件. (4)∵p对应的集合为A={(1，2)}，q对应的集合为B={(x，y)|x=1或y=2}，∴A⫋B，∴p是q的充分不必要条件. 巩固训练1　C　【解析】∵1+a<0⇔a<-1， ∴p是q的充要条件. 巩固训练2　A　【解析】由-1=0，得由m-n=0，得m=n.因为“-1=0”⇒“m-n=0”，且“m-n=0”⇒/ “-1=0”，所以“-1=0”是“m-n=0”成立的充分不必要条件. 探究2　情境设置 问题1：存在.由4x+m<0得x<-.由题意知，当x<-时，x>2或x<-1成立，则-≤-1，解得m≥4.故存在实数m，使得“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件，此时m的取值范围为[4，+∞). 问题2：不存在，理由如下：若p是q的必要条件，则q是p的充分条件，即q⇒p，而q：x>2或x<-1，p：x<-；∵{x|x>2或x<-1}⊈xx<-，∴不存在符合条件的实数m. 问题3：相同；不存在. 新知运用 例2　【解析】设集合A={x|1≤x≤a(a≥1)}，B={x|1≤x≤2}. (1)因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，故1≤a<2. (2)因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A，故a>2. (3)因为p是q的充要条件，所以A=B，故a=2. 巩固训练　{m|1≤m≤3}　【解析】由题意知B⫋A，且B≠⌀，则或解得1≤m≤3. 故实数m的取值范围是{m|1≤m≤3}. 探究3　情境设置 问题1：充分性；“m≥2”是条件，“方程x2+mx+1=0有两个负实根”是结论. 问题2：必要性；“方程x2+mx+1=0有两个负实根”是条件，“m≥2”是结论. 问题3：条件是确定的. 新知运用 例3　【解析】充分性：∵ac<0，∴Δ=b2-4ac>0，<0. ∴方程ax2+bx+c=0有两个实数根. 设方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1，x2， 则x1·x2=<0， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根. 必要性：∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根，∴Δ=b2-4ac>0，x1·x2=<0， ∴ac<0. 故一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0. 巩固训练　【解析】充分性：(a+b-1)(a2+b2-ab)=(a+b-1)a-2+b2=0. ∵ab≠0，∴a-2+b2>0，∴a+b=1. 必要性：∵a+b=1，∴(a+b-1)(a2+b2-ab)=0. ∴a+b=1的充要条件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】“a>0且b>0”可以推出“a+b>0且ab>0”，反之也是成立的.故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的充要条件. 2.B　【解析】∵p是q的充分不必要条件， ∴或解得0≤a≤. 3.(2，+∞)　【解析】因为A={x|-1<x<3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以A⫋B，所以m+1>3，解得m>2. 4.乙　【解析】对于图甲，开关S1闭合，灯泡L亮，反过来灯泡L亮，也可能是开关S2闭合，∴A是B的充分不必要条件. 对于图乙，只有一个开关，灯泡L如果要亮，开关S1必须闭合，∴A是B的充要条件. 对于图丙，∵灯泡L亮必须S1和S2同时闭合，∴A是B的必要不充分条件. 对于图丁，∵灯泡L亮跟开关S1没有关系，∴A是B的既不充分也不必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $