1.2.3充分条件、必要条件（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充分条件、必要条件”核心知识点，从生活俗语“天下雨，地就湿”切入分析逻辑关系，结合数学命题举例引出主题，衔接命题概念与集合包含关系，搭建学习支架。 其亮点在于通过生活实例到数学抽象的过程，以互动探究、集合法等培养逻辑推理，用“⇒”“⇔”及集合语言表达，体现数学眼光、思维和语言。典例分析与小结梳理核心方法，助力学生提升逻辑能力，教师可高效开展教学。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2.3充分条件、必要条件 1.2常用逻辑用语 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 理解充分条件、必要条件的概念，能正确判断命题中条件与结论之间的逻辑关系。 理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的含义。 能将充分条件、必要条件与集合的包含关系联系起来，体会数形结合思想。 通过对具体命题的分析，经历从特殊到一般的抽象过程，培养逻辑推理能力。 学会用”⇒“符号表示条件关系，提升数学语言表达能力。 从生活俗语开始 “俗话说’天下雨，地就湿’。如果’天下雨’成立，那么’地湿’一定成立吗？反过来，如果’地湿’，一定是因为’天下雨’吗？” 天下雨 ⇒ 地湿（一定成立） - 地湿 ⇏ 天下雨（可能是洒水车） 给几个大家熟悉的数学命题： 若 x>2，则 x>1 > ； 若 =1，则 x=1 >；若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等 请同学们分析：条件能否推出结论？结论成立时条件是否一定成立？ 这些命题中条件与结论之间的关系，就是我们今天要学习的——充分条件与必要条件。 日常用语中的充分与必要 “充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语， 你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗 (1)“不断出现的数据让禁放派理由更加充分” (2)“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密” (3)“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会” (4)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质” 接下来，我们从数学逻辑的角度来研究命题中条件与结论间的充分必要性。 目标一：充分条、必要条件 1.推出(⇒) 知识讲解 互动探究 新课引入 在“如果p,那么q”形式的命题中,p称为命题的条件,q称为命题的结论. 若“如果p,那么q”是一个真命题,则称由p可以推出q,记作p⇒q,读作“p推出q”; 否则称由p推不出q,记作p⇏q, (只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”) 读作“p推不出q”. 6 用符号“⟹”与“⇏”填空： (1) x-5=0 ______ (x-3)(x-5)=0； (2) A∩B=⌀ ______ A=⌀； (3) a,b 都是偶数 ______ a+b 是偶数； (4) 在直角三角形中,一个锐角等于______这个锐角所对的直角边等于斜边的一半. 对点体验 解析 (1) 若 x-5=0, 则 x=5, 则 (x-3)(x-5)=0, 即 x-5=0⟹(x-3)(x-5)=0. （2）命题”若 A∩B=⌀, 则 A=⌀“是假 命题, 故 A∩B=⌀⇏A=⌀. (3)命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”是真命题,故a,b都是偶数⇒a+b是偶数. (4)命题“在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半”是真命题,故在直角三角形中,一个锐角等于这个锐角所对的直角边等于斜边的一半. 2.充分条件、必要条件 知识讲解 互动探究 新课引入 当 p⇒q 时,我们称 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 p⇏q 时,我们称 p 不是 q 的充分条件,q 不是 p 的必要条 如何理解”充分”与”必要”? 充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了. 例如:两个三角形全等⇒两个三角形相似,为了得到结论”两个三角形相似”,条件”两个三角形全等”已足够充分,所以”两个三角形全等”是”两个三角形相似”的充分条件. 8 2.充分条件、必要条件 知识讲解 互动探究 新课引入 （2）对必要条件的理解 必要条件是在充分条件的基础上得出的，q 是 p 的必要条件说明 q是 p 成立的必不可少的条件，但有 q 未必一定有 p. 如“两个三角形相似”推不出“两个三角形全等”，但如果“两个三角形不相似”，那么“两个三角形一定不全等”，所以“两个三角形相似”是“两个三角形全等”的必要条件. 9 用充分条件、必要条件填空： (1)x>3 是 x>5 的__________； (2)x∈N 是 x∈Q 的__________； (3)|x|<2 是 x<2 的__________； (4)“我是中国人”是“我是山东人”的__________. 对点体验 解析(1) ∵(5,+∞)⊆(3,+∞), ∴x>3 是 x>5 的必要条件. (2) x∈N 是 x∈Q 的充分条件. (3) ∵(-2,2)⊆(-∞,2),∴|x|<2 是 x<2 的充分条件. (4) ∵{"山东人"}⊆{"中国人"},∴ “我是中国人”是”我是山东人”的必要条件. 3、数学中的定理与充分条件、必要条件的关系 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,数学中的每一个判定定理都给出了使相应数学结论成立的一个充分条件. (1)判定定理与充分条件 温故知新 初中学过平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 其中,“一组对边平行且相等”是”四边形是平行四边形”的一个充分条件,而平行四边形的判定定理不止一个,由此可见:对于给定结论,使它成立的充分条件是不唯一的. 11 3、数学中的定理与充分条件、必要条件的关系 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,数学中的每一个性质定理都给出了使相应数学结论成立的一个必要条件. (2)性质定理与必要条件 温故知新 初中学过平行四边形的性质:平行四边形的对边相等. 其中,“对边相等”是”四边形是平行四边形”的一个必要条件,而平行四边形的性质有很多,由此可见:对于给定条件,由它推出的结论是不唯一的. 12 目标二：充要条件 四种组合 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)一般地,如果 p⇒q 且 q⇏p,则称 p 是 q 的充分不必要条件. (2)如果 p⇏q 且 q⇒p,则称 p 是 q 的必要不充分条件 (3)如果 p⇒q 且 q⇒p,则称 p 是 q 的充分必要条件(简称为充要条件),记作 p⇔q,读作“p 与 q 等价”“p 当且仅当 q”. 当然,p 是 q 的充要条件时,q 也是 p 的充要条件. (4)如果 p⇏q 且 q⇏p,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 14 判断下列说法是否正确.若不 正确,请说明理由. (1)x∈A是x∈A∪B的必要不充分条件; (2)x∈A是x∈A∩B的充要条件; (3)x,y为无理数是x+y为无理数的充 分不必要条件. 对点体验 解析 (1)错误,因为 x∈A⇒x∈A∪B, x∈A∪B⇏x∈A,所以 x∈A 是x∈A∪B 的充分不必要条件.(2)错误,因为 x∈A⇏x∈A∩B,x∈A∩ B⇒x∈A,所以 x∈A 是 x∈A∩B 的必要 不充分条件.(3)错误,当x=,y=-时,x+y= 0∈Q,反过来,当 x+y=+2 时,+ 2 是无理数,此时 x 可以为,y 可以为,2∈Q,所以 x,y 为无理数是x+y 为无 理数的既不充分也不必要条件. 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地,一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件;反之,数学对象的任意一个充要条件都可以作为这个对象的定义. 充分条件与数学定义的关系 两点补充 充分条件与必要条件的传递性 (1)若 p⇒q,q⇒s,则有 p⇒s(充分条件的传递性); (2)若 q⇒p,s⇒q,则有 s⇒p(必要条件的传递性); (3)若 p⇔q,q⇔s,则有 p⇔s(充要条件的传递性). 16 目标三：从集合角度看充要条件 四种类型对应集合关系 知识讲解 互动探究 新课引入 我们把使命题p为真命题的变量x的取值集合记作A={x∣p(x)},同理有B={x∣q(x)},则       关系 且 图示 结论 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 互为充要条件 是的既不充分也不必要条件 简记:小范围⇒大范围,大范围⇏小范围,即”充小必大”. 18 设 p:x<3,q:-1<x<3,则 p 是 q 的 ( ) 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 对点体验 解析 因为 {x∣-1<x<3}⫋{x∣x<3},所以 p 是 q 的必要不充分条件. 答案 C 目标四：典型例题 题型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断 例1 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答). (1)p:两个三角形全等,q:两个三角形的周长相等; (2)p:m-n=0,m,n∈R,q:=1, m,n∈R,且m≠0. 典例分析 牛刀小试 解析 (1)p⇒q,但q⇏p ,故p是q的充分不必要条件. (2)由=1得n=m,即m-n=0, 反之,当m=n=0时,满足m-n=0,但=1不成立,即p是q的必要不充分条件. 本题解答用的是定义法 题型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断 例3 p:一个四边形是平行四边形,q:一个四边形是正方形,则q是p的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 典例分析 牛刀小试 解析 令A={x∣x是一个平行四边形},B={x∣x是一个正方形}.用维恩图表示A,B的关系,如图1.2.3-1所示. 由图可知B⫋A,所以q是p的充分不必要条件. 答案 A 本题解答用的是集合法 题型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断 例4 设a,b是实数,则“a>b”是“>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 典例分析 牛刀小试 解析:令a=1,b=-1,满足a>b,但不满足,即”a>b “;再令a=-1,b=0,满足,但不满足a>b,即” ⇏a>b“,所以”a>b“是”“的既不充分也不必要条件. 答案D 思路点拨:可以用定义法求解,但是作为选择题,本题也可以考虑利用特殊值法求解. 题型1 充分条件、必要条件、充要条件的判断 例5 已知 p,q 都是 r 的充分条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件. 那么: (1)s 是 q 的什么条件? (2)r 是 q 的什么条件? (3)p 是 q 的什么条件? 典例分析 牛刀小试 解析 作图表示 p,q,r,s 的关系,如图 因为 q⇒r⇒s,（充分条件的传递性）所以 q⇒s, 又 s⇒q, 所以 s 是 q 的充要条件. 因为 r⇒s⇒q, 所以 r⇒q, 又 q⇒r, 所以 r 是 q 的充要条件. 因为 p⇒r⇒s⇒q, 所以 p 是 q 的充分条件. 用的是传递性 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 方法 步骤/说明 定义法 (1) 分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论。 (2) 判断“若p，则q”(及)“若q，则p”的真假。 (3) 得出结论。 集合法 写出集合，利用集合之间的关系判断 等价转化法 将命题转化为另一个与之等价且便于判断真假的命题。 传递法 若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的“推式图”，根据图中推式的传递性进行判断。 特殊值法 对于选择、填空题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件（结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题。 题型2 充分、必要、充要条件关系的探求 例7 2x-4≥0 成立的一个充分不必要条件是（ ） A. x<2 B. x≤0 或 x≥2 C. x∈{2,3,5} D. x≥2 典例分析 牛刀小试 解析 : 由 2x-4≥0 得 x≥2,所以选项中只有 {2,3,5}⫋{x|x≥2},故只有 C 选项中的条件是使不等式 2x-4≥0 成立的一个充分不必要条件. 答案 C 易错警示 ▶ 本题易错的地方是颠倒充分性和必要性,根据 {x|x≥2}⫋{x|x≥2" 或 " x≤0},误选 B. 事实上,“不等式 2x-4≥0 成立”为结论 q,我们只需找到条件 p 使 p⇒q 且 q⇏p 即可. 注意:在求解此类问题时,一定要明确哪个是条件,哪个是结论. 探求充分、必要条件的方法 探求充分、必要条件问题，首先应确立“条件”与“结论”及寻找“结论”的什么条件，其解题的通法是先推导出“结论”的充要条件，将充要条件“放大”即得“结论”的必要不充分条件，将充要条件“缩小”即得“结论”的充分不必要条件. 需注意的是:在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个“子集”即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个“真子集”. 题型3 求参 例8 是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x>2 或 x<-1”的充分条件？如果存在，求出 p 的取值范围；否则,说明理由. 典例分析 牛刀小试 解析： 存在. 令 M={x|4x+p<0}={x|x<-}， N={x|x>2 或 x<-1}. 假设存在实数p,使“4x+p<0”是“x>2 或 x<-1”的充分条件,则 M⊆N,即 -p/4≤-1,解得 p≥4. 故当 p≥4 时,“4x+p<0”是“x>2 或 x<-1”的充分条件. 题型3 求参 例9 是否存在实数 p,使“4x+p<0”是“x>2 或 x<-1”的必要条件？如果存在,求出 p 的取值范围;否则,说明理由. 典例分析 牛刀小试 解析： 不存在. 令 M={x∣4x+p<0}={x∣x<-p/4},N={x∣x>2或x<-1}. 假设存在实数 p, 使“4x+p<0”是“x>2 或 x<-1”的必要条件, 则 N⊆M, 显然 {x∣x<-1" 或 " x>2}⊆{x∣x<-p/4} 不成立. 故不存在实数 p, 使“4x+p<0”是“x>2 或 x<-1”的必要条件. 根据充分、必要、充要条件求参数的取值范围的步骤 记集合 M={x|p(x)},N={x|q(x)}. (2) 根据题中条件将问题转化为集合之间的关系: 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 M⫋N;若 p 是 q 的必要不充分条件,则 N⫋M;若 p 是 q 的充要条件,则 M=N. (3) 根据集合间的关系列关于参数的不等式(组). (4) 解不等式(组)即可得参数的取值范围. 目标五：针对练习 举一反三 1.x，y均为整数是xy为整数的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若 x，y 为整数，则 xy 为整数，故充分性成立； 若 x=y=√2，则 xy 为整数，但 x，y 不为整数，故必要性不成立， 故 x，y 均为整数是 xy 为整数的充分不必要条件.故选：A. 举一反三 2、“a≠0” 是 “ab≠0” 的(A). A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：判断充分性：若 a≠0，当 b=0 时，ab=0，因此 a≠0 无法推出 ab≠0， 不是充分条件； 判断必要性：若 ab≠0，则 a 和 b 都不能为 0，可推出 a≠0，因此是必要条件. 综上，“a≠0”是“ab≠0”的必要条件.故选：A. 举一反三 3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：依题意，“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故选：B 举一反三 4.已知集合A={2,3,a}，B={,b}，则“a=0”是“A∩B≠⌀”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若 a=0，则 A={2,3,0},B={0,b}，满足 A∩B≠⌀，所以充分性成立； 若 A∩B≠⌀，当 a=1 时也满足条件，因此必要性不成立； 所以“a=0”是“A∩B≠⌀”的充分不必要条件.故选:A 5. 设α:-1≤x<3,β:x<a，若α 是β 的充分条件，则实数a的取值范围是 ▁. 解析：设A={x|-1≤x<3},B={x|x<a}.因为α 是β 的充分条件，所以A⊆B， 所以a≥3.故答案为：a≥3. 目标五：小结 学海拾贝 核心概念 若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 四种情况：充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要。 判断方法 直接法：判断 p⇒q 和 q⇒p 是否成立。 集合法：设 A={x∣p(x)}，B={x∣q(x)}，则： A⊆B ⟺ p 是 q 的充分条件 B⊆A ⟺ p 是 q 的必要条件 学海拾贝 注意点 “充分”意味着”有它就够了” “必要”意味着”没它不行” 判断时要分清谁是条件、谁是结论 思想方法 逻辑推理：培养”双向思考”的习惯 集合观点：用包含关系理解条件关系 等价转化：将复杂命题化归为基本形式 学海拾贝 课后思考 尝试用充分条件、必要条件的语言重新表述初中所学的定理（如：勾股定理的逆定理），体会逻辑用语的简洁之美。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $