精品解析：辽宁省鞍山海城市西部集团2020——2021学年九年级上学期期中考试数学试题

2020-2021学年度上学期期中考试 九年级数学试卷 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点关于原点对称的点是第二象限内的点，则满足（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 5. 已知⊙O的半径r=2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6=0的解，则直线l与⊙O的位置关系是（   ） A. 相切 B. 相交 C. 相切或相交 D. 相切或相离 6. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A. 36 B. 63 C. 36或63 D. 或 7. 如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②a+b+c＞0；③5a-c=0；④当x＜或x＞6时，y1＞y2，其中正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第_____象限． 10. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为_______________ 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 12. 平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为___________． 13. 将含有 30°角的直角三角板 OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在 x轴上，若 OA＝2，将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75°，则点 A 的对应点 A′ 的坐标为___________． 14. 已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为______． 15. 如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6cm，PO=10cm，则△PDE的周长是______cm． 16. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2018次变换后所得的A点坐标是_____． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17. 用适当的方法解方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0 （2）2x（x﹣1）＝（x﹣1） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请画出旋转中心P． 四、解答题（每小题10分，共60分） 19. 一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？ 20. 汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变． （1）求年平均增长率； （2）求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？ 21. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点M是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 22. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长． 24. 星星童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每件售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？ 五、解答题（本题满分12分） 25. 已知四边形和四边形都是正方形，且． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 六、解答题（本题满分14分） 26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在线段上运动（不含O、B），过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）求四边形面积的最大值； （3）设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年度上学期期中考试 九年级数学试卷 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 考点：（1）中心对称图形；（2）轴对称图形 2. 若点关于原点对称的点是第二象限内的点，则满足（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，各象限内点的坐标符号特征，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数求出点关于原点对称的点的坐标，再根据第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数列出关于的不等式组，解不等式组即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点坐标为， ∵点是第二象限内的点， ∴， 解得， 故选：． 3. 已知点，，都在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点的坐标可分别代入抛物线解析式，可求得相应的函数值，可比较其大小． 【详解】∵点(−1,y1)，(2,y2)，(−3,y3)都在函数y=x2的图象上， ∴y1=(−1)2=1，y2=22=4，y3=(−3)2=9， ∴y1<y2<y3， 故答案选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象上点的坐标特征. 4. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像与x轴交点的特点可知，的判别式Δ≥0，即可求解； 【详解】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键． 5. 已知⊙O的半径r=2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6=0的解，则直线l与⊙O的位置关系是（   ） A. 相切 B. 相交 C. 相切或相交 D. 相切或相离 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程，根据距离d与r的大小关系得出：直线与圆的位置关系． 【详解】解：x2-5x+6=0， （x-3）（x-2）=0， x=3或2， 当d=3时，则d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离； 当d=2时，则d=r，所以直线l与⊙O的位置关系是相切； 则直线l与⊙O的位置关系是：相切或相离； 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法及直线与圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系时：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 6. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A. 36 B. 63 C. 36或63 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位数字为x，则个位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两位数是，即可得出这个两位数是36或63． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得． 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故选：C． 7. 如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，连接，根据圆心角、弧、弦的关系得，再证明，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【详解】解：连接、， ∵， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确， 综上正确，共4个， 故选：D． 8. 抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②a+b+c＞0；③5a-c=0；④当x＜或x＞6时，y1＞y2，其中正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a0，b0，c0，则abc0，则①正确； 根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-=3，则b=-6a，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确； 根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确. 点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a大于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与x轴交于正半轴，则c大于零，如果函数与x轴交于负半轴，则c小于零；对于出现a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第_____象限． 【答案】一 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程x2-2x-m=0无实数根， ∴△=4+4m＜0， 解得m＜-1， ∴m+1＜0，m-1＜0， ∴一次函数y=（m+1）x+m-1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为：一． 10. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图像的平移法则：上加下减、左加右减.根据平移法则就可以得到函数解析式. 【详解】解：由题意得，平移后的函数表达式为： 故答案为: . 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算该等腰三角形的周长． 【详解】解：由得到， ， ∴或， ∴，， ∵， ∴等腰三角形只能腰为5，底边为2， ∴该等腰三角形的周长为． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的定义． 12. 平面上一点Ｍ到上的最长距离为，最短距离为，那么的半径长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点M在圆内或圆外进行讨论． 【详解】解：当点M在圆内时，的直径长为，半径为； 当点M在圆外时，的直径长为，半径为； 即的半径长为或， 故答案为：或． 13. 将含有 30°角的直角三角板 OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在 x轴上，若 OA＝2，将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75°，则点 A 的对应点 A′ 的坐标为___________． 【答案】（，） 【解析】 【分析】过A′作A′C⊥x轴于C，根据旋转得出∠AOA′=75°，OA=OA′=2，求出∠A′OC=45°，推出OC=A′C，解直角三角形求出OC和A′C，即可得出答案． 【详解】 如图,过A′作A′C⊥x轴于C， ∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°， ∴∠AOA′=75°,OA=OA′=2， ∵∠AOB=30°， ∴∠A′OC=45°， ∴OC=A′C=OA′sin45°=2×=， ∴A′的坐标为(,-). 故答案为（，）. 【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形变化-旋转，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形变化-旋转. 14. 已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为______． 【答案】4cm 【解析】 【分析】连接OA，交BE与G,连接OF，OB，求出，设OA=AF=a，分别表示出BF，AG，利用面积公式即可求解． 【详解】解：连接OA，交BE与G,连接OF，OB， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴ , OA⊥BF，, ∴ , ∴, ∵, ∴是等边三角形， ∵, ∴ ， 设OA=AF=a， 则AG=，FG=， ∵ OA⊥BF， ∴BF=2FG=， ∴ 即， ∴ 故答案为：D 【点睛】本题考查正多边形和圆，熟知正六边形的性质，得出面积是解题的关键． 15. 如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6cm，PO=10cm，则△PDE的周长是______cm． 【答案】16 【解析】 【分析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得BD=CD，CE=AE，PA=PB，从而求解． 【详解】连接OA． ∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点， ∴BD=CD，CE=AE，PA=PB，OA⊥AP． 在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP=8， ∴△PDE的周长为2AP=16． 故选答案为16cm． 【点睛】本题考查了切线长定理和勾股定理，是基础知识比较简单． 16. 如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2018次变换后所得的A点坐标是_____． 【答案】（﹣a，b） 【解析】 【分析】观察不难发现，3次变换为一个循环组依次循环，用2018÷3=672余2，推出经过第2018次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第二象限，从而得解． 【详解】点A第一次关于x轴对称后在第四象限， 点A第二次关于原点对称后在第二象限， 点A第三次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每3次对称为一个循环组依次循环， ∵2018÷3=672余2， ∴经过第2018次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（-a，b）． 故答案为（-a，b）． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17. 用适当的方法解方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0 （2）2x（x﹣1）＝（x﹣1） 【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣；（2）x1＝1，x2＝ 【解析】 【分析】（1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法计算即可． 【详解】解：（1）x2﹣2x＝4， x2﹣2x+1＝5， （x﹣1）2＝5， x﹣1＝±， 所以x1＝1+，x2＝1﹣； （2）2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0， （x﹣1）（2x﹣1）＝0， x﹣1＝0或2x﹣1＝0， 所以x1＝1，x2＝． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，准确计算是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的； （2）平移，若A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； （3）若将绕某一点旋转可以得到，请画出旋转中心P． 【答案】（1） 如图所示； （2） 如图所示； （3） 点P即为所求 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B绕点C旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接、、C即可； （2）先根据平移后的坐标为，确定平移的方式，再找出平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据旋转的定义结合图形，连接两对对应点，交点即为旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平移，A的对应点的坐标为，， ∴向右平移3个单位，向下平移6个单位， ∵，， ∴，， 【小问3详解】 解：如图，连接、交于点P， 四、解答题（每小题10分，共60分） 19. 一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？ 【答案】水面上升的高度为10cm或70cm． 【解析】 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB 由垂径定理得：BC＝AB＝30cm， 在Rt△OBC中，OC＝＝40cm， 当水位上升到圆心以下时 水面宽80cm时， 则OC′＝＝30cm， 水面上升的高度为：40﹣30＝10cm； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm， 综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 20. 汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变． （1）求年平均增长率； （2）求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？ 【答案】（1） （2）125 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设年平均增长率为x，根据该品牌汽车2008年及2010年的年产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据该品牌汽车2011年的年产量2010年的年产量（增长率），即可求出结论． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x， 依题意，得， 解得：（不合题意，舍去）． 答：年平均增长率为． 【小问2详解】 解：（万辆）． 答：该品牌汽车2011年的年产量为125万辆． 21. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点M是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 【答案】（1）y=x2-2x-3，（1，-4）；（2）M（1，-2） 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标； （2）直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值． 【详解】解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-3上， ∴b=-2， ∴抛物线解析式y=x2-2x-3， ∵抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴顶点D的坐标（1，-4）； （2）对于y=x2-2x-3， 当x=0时，y=-3， ∴C（0，-3）， 当y=0时，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1， ∴B（3，0）， 由抛物线的性质可知：点A和B是对称点， ∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM=BC为最小值，而AC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小， 设直线BC的表达式为y=mx+n，则， 解得：， 故直线BC的表达式为y=x-3， 当x=1时，y=-2，故点M（1，-2）． 【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是本题解题的关键． 22. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围即可； （2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系可知：，， ∵， ∴，即， ∴或， ∵； ∴． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若OB=10，CD=8，求BE的长． 【答案】 （1）证明：连接OD， ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠1=∠2， ∵OB=OD， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴OD∥BC， ∵∠C=90°， ∴∠ODA=90°， ∴AC为⊙O的切线； （2）12． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直角，即可得证； （2）过O作OG⊥BC，可得出四边形ODCG为矩形，在Rt△OBG中，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE＝2BG． 【详解】（1）略 （2）解：过O作OG⊥BC，连接OE， ∵∠C=∠ODC=90°， ∴∠C=∠ODC=∠OGC=90°， ∴四边形ODCG为矩形， ∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8， 在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG＝6， ∵OG⊥BE，OB＝OE， ∴BE＝2BG＝12． 【点睛】此题考查了切线的判定，矩形的判定和性质，勾股定理以及垂径定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 24. 星星童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每件售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？ 【答案】（1） （2）当每件售价为50元时，每星期获得的利润最大，最大利润是4000元 （3）每星期至少要销售该款童装170件 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，列函数关系式，正确立即题意列出每星期利润关于x的函数关系式是解题的关键． （1）根据每降价1元，每星期可多卖10件列式求解即可； （2）根据每星期的利润等于单件利润乘以销售量列出每星期利润关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）求出利润为3910元时x的值，再由二次函数的增减性确定x的取值范围，进而确定y的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：每星期的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当，即时，w有最大值，最大值为4000， ∴当每件售价为50元时，每星期获得的利润最大，最大利润是4000元； 【小问3详解】 解：由（2）可知每星期的利润， ∴当时，w随x增大而增大，当时，w随x增大而减小， 当时，解得或， ∵该店每星期想要获得不低于3910元的利润， ∴， ∵， ∴， ∴每星期至少要销售该款童装170件． 五、解答题（本题满分12分） 25. 已知四边形和四边形都是正方形，且． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形和四边形为正方形， ∴． ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴； （2）①② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可以得出，再由证明就可以得出结论； （2）①连接，根据平行线的性质可以得出，可以得出，由证得，得出，证得为正三角形即可以得出结果； ②延长交于点H，过点G作于N，由证明，得出，得出，，由勾股定理求出的值，得出的值，证出是等腰直角三角形，得出，由三角形面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接，如图2所示： 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②延长交于点H，过点G作于N，如图3所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 六、解答题（本题满分14分） 26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在线段上运动（不含O、B），过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）求四边形面积的最大值； （3）设点Q为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）、、或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． （1）把点A，点C的坐标代入抛物线，得出抛物线的解析式为，令，得点B的坐标，设直线的解析式为，把，B的坐标代入，得出直线的解析式为． （2）根据题意得，，求出，，，求出，，根据得，运用二次函数的性质得出结论即可； （3）求出抛物线的对称轴为直线，设点，由两点间距离公式得，，；分，，三种情况，结合勾股定理列方程求出的值可得点的坐标． 【小问1详解】 解：把点，点代入抛物线， 得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 令， 解得， ∴点B的坐标， 设直线的解析式为， 把，B的坐标代入，得， 解得 所以直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵轴，点P的横坐标为m． ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴四边形面积， ， ∵， ∴有最大值， ∴当时，最大值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∵， ∴，，； 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得， ∴； ②当时，， ∴， 解得， ∴； ③当时，， ∴， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述，点的坐标为、、或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $