精品解析：2025年山东省数学中考统考押题卷（二）

2025年山东省数学中考统考押题卷（二） 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各组的两个数在数轴上表示同一个点的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型．下面有关科普的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 是大气压中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将放在水平桌面上的一个三棱柱垂直切下右边的一角后得到的几何体的三视图是（ ） A. B. C. D. 5. 对于不等式组，下列说法中，正确的是（ ） A. 此不等式组的解集是 B. 此不等式无解 C. 此不等式组的正整数解为1，2，3 D. 此不等式有五个整数解 6. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 人类遗传病是父母传递给下一代而发生的疾病，了解其传代规律及出现概率，有利于防止遗传病患儿的出生．白化病是一种遗传病，它是一种隐性形状，如果A是正常基因， a是白化病基因，设母亲和父亲都携带成对基因Aa ，他们有正常孩子的概率是（ ） A. B. C. D. 1 9. 已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 直线与直线之间距离是（　　） A. 2 B. 6 C. D. 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 如图，已知，直线分别与，相交于，两点，的平分线交于点．如果，则等于______． 13. 已知方程的一个根是，则方程的另一个根为______． 14. 如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段平移的距离为______． 15. 如图，在中，，，，点在上，且，点在上，若平分四边形的面积，则的长度为______． 16. 在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 __________________． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分10分）分别是9.5分，9.4分，8.8分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分的平均数．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分众数 甲 7.8 8 c 乙 a 9 10 丙 8.7 b 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：____，_____，_____； （2）在面试中，评委对_____的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”），你可以依据的统计量是_____（①平均数；②中位数；③众数；④方差；⑤极差；⑥标准差）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学； （4）为了避免面试成绩受到极端值的影响，请你重新设计一条面试计分规则． 19. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求大小及的值； （2）求的长及的值． 20. 如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点的坐标． 21. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． （1）初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； （2）深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 23. 平面直角坐标系中，抛物线（为实数）． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围； （3）当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省数学中考统考押题卷（二） 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各组的两个数在数轴上表示同一个点的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】先计算，后比较大小，相等的就表示同一个点，反之，不是，解答即可． 【详解】解：A．∵，且，该选项不符合题意； B. ∵，，相等，该选项符合题意； C．∵，，，该选项不符合题意； D．∵，，，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，多重符号的化简，绝对值的化简，有理数的大小比较，熟练掌握相关运算法则及概念是解题的关键． 2. 我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型．下面有关科普的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 是大气压中直径小于或等于颗粒物，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为， 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 如图，将放在水平桌面上的一个三棱柱垂直切下右边的一角后得到的几何体的三视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，正确画出几何体的三视图成为解题的关键． 分别画出得到几何体的三视图即可解答． 【详解】解：由题意可得：得到几何体的三视图如下： 主视图：；俯视图：，左视图：，即D选项符合题意． 故选D． 5. 对于不等式组，下列说法中，正确的是（ ） A. 此不等式组的解集是 B. 此不等式无解 C. 此不等式组的正整数解为1，2，3 D. 此不等式有五个整数解 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求出不等式的解集即可作出判断． 【详解】解：解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 所以不等式组的解集为，则整数解有0，1，2，3共四个，正整数解有1，2，3； 故A、B、D错误，C正确； 故选：C． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方、二次根式的乘法、同底数幂的除法、平方差公式，根据相关运算法则逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，该选项计算错误，不符合题意； B、，该选项计算正确，符合题意； C、，，该选项计算错误，不符合题意； D、，该选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 7. 如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，先求出正五边形内角，根据拼接的是正多边形，每一个外角都相等，从而由多边形外角为求解即可得到答案． 【详解】解：对于正五边形，每一个内角为， 两个正五边形拼成一个角， ， 题中是由两个正五边形与一个正多边形的内角拼成一个周角，则拼接成的正多边形内角为， 拼成的正多边形的一个外角为， ， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的外角与内角，熟记正多边形的内角与外角均相等是解决问题的关键． 8. 人类的遗传病是父母传递给下一代而发生的疾病，了解其传代规律及出现概率，有利于防止遗传病患儿的出生．白化病是一种遗传病，它是一种隐性形状，如果A是正常基因， a是白化病基因，设母亲和父亲都携带成对基因Aa ，他们有正常孩子的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，后代的基因组成有AA、Aa和aa三种，表现型有正常和白化病两种，AA和Aa表现正常，aa表现为白化病，表现型之比为3:1，即后代正常孩子的概率为，据此即可求解． 【详解】由题意可知，AaAa，后代的基因组成有AA、Aa和aa三种，表现型有正常和白化病两种，AA和Aa表现正常，aa表现为白化病，表现型之比为3:1，即后代正常孩子的概率为，白化病孩子的概率为． 因此他们有正常孩子的概率是，白化病孩子的概率是． 故A符合题意，B、C、D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了概率的知识，人类遗传病的相关知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 已知实数m，n满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，选项A错误，不符合题意； 同理：，即， ∴，选项B错误，不符合题意； ∴，， ∴，，选项C错误，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 10. 直线与直线之间的距离是（　　） A. 2 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，勾股定理，先作图，算出，，,在，结合勾股定理算出，再运用等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】如图，设两直线分别交y轴于点A，B，直线交x轴于点C，连接，过点B作垂线， ∵， ∴直线与是互相平行， 设直线与的距离为d， 当时，则，解得， ∴ 即， 当时，则，解得， ∴ 即， 当时，则，解得， ∴ 即， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ， 即 ． 故选：D 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数，分母不为，进行列式计算，即可作答． 本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， 则， 解得且， 故答案为：且 12. 如图，已知，直线分别与，相交于，两点，的平分线交于点．如果，则等于______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，由，根据两直线平行，同旁内角互补，可得的度数，又由的平分线交于，即可求解，熟练掌握平行线的性质与角平分线的定义及应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知方程的一个根是，则方程的另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个根是、，则，．根据方程得到两根之和为，即可求出另一个根． 【详解】解：方程， 方程的两根之和为， 方程一个根为， 方程的另一个根为， 故答案为：． 14. 如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段平移的距离为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段平移的距离为点C平移的路程． 由于平移，则即为的平移距离，的纵坐标为4，与直线相交，可得坐标，由此推出距离． 【详解】如图所示： ， ∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴，解得．即， ∴， ∴线段平移的距离为4． 故答案为：4． 15. 如图，在中，，，，点在上，且，点在上，若平分四边形的面积，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质，先作出辅助线，根据平行四边形的性质以及边长得到的长，再根据面积平分可得到，再根据证明出的平行四边形以及勾股定理可得到结果，数形结合，作辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接并延长交于点，过作于点，过作于点，如图所示： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分四边形的面积， ∴经过平行四边形的中心， ∵在平行四边形中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 16. 在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，为的弦，，证明为等边三角形得到，则根据圆周角定理得到，作直径、，连接、，则，当点在上（不含、点）时，为锐角三角形，易得，当点为的中点时，点到的距离最大，即最大，延长交于，如图，根据垂径定理得到，所以，，则，然后写出的范围． 【详解】解：如图，为的弦，， ， ， 为等边三角形， ， ， 作直径、，连接、，则， 当点在上（不含、点）时，为锐角三角形， 在中，， ， 当点为的中点时，点到的距离最大，即最大， 延长交于，如图， 点为的中点， ， ， ， ， ， 的范围为． 故答案为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先分别计算零指数幂，立方根，负整数指数幂，然后进行加减运算即可； （2）先通分计算括号里的，并将除法化乘法，然后利用平方差进行因式分解，最后进行分式的乘法运算即可． 【详解】解：（1）原式： ． （2）原式： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，立方根，负整数指数幂，分式的化简，利用平方差进行因式分解等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分10分）分别是9.5分，9.4分，8.8分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分的平均数．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 7.8 8 c 乙 a 9 10 丙 8.7 b 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：____，_____，_____； （2）在面试中，评委对_____的评价更一致（填“甲”“乙”或“丙”），你可以依据的统计量是_____（①平均数；②中位数；③众数；④方差；⑤极差；⑥标准差）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学； （4）为了避免面试成绩受到极端值的影响，请你重新设计一条面试计分规则． 【答案】（1）； （2）丙，④⑤⑥； （3）综合成绩最高的是乙同学，乙同学将代表年级参赛； （4）每位评委最高打10分，去掉一个最高分和一个最低分，余下分数的平均值作为这位同学的面试成绩． 【解析】 【分析】（1）求出乙同学的平均数即可得a的值；根据丙同学的得分即可求得中位线b；观察甲同学得分的条形统计图即可求得众数c； （2）根据两种统计图中数据的波动程度即可判断； （3）分别求出三位同学的综合成绩即加权平均数即可确定； （4）由于极端值会影响平均数，因此可去掉一个最高分和一个最低分，余下分数值的平均分作为这位同学的面试成绩． 【小问1详解】 解：； 丙同学的得分为5个8分，2个9分，3个10分，中位数为第5、6两个数据的平均数， 则； 由条形统计图知，甲同学得分中8分出现的次数最多，故； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由条形统计图知，甲同学的最低分为5分，最高分为10分；乙同学的最低分为6分，最高分为10分；丙同学的最低分为8分，最高分为10分；显然丙同学的得分极差最小，波动程度也最小，即方差最小，从而标准方差也最小；故面试中，评委对丙的评价更一致，依据是极差、方差与标准差； 故答案为：丙；④⑤⑥； 【小问3详解】 解：甲的综合成绩：； 乙的综合成绩：； 丙的综合成绩：； 则乙的综合成绩最高，故乙同学将代表年级参赛； 【小问4详解】 解：去掉一个最高分10分和一个最低分，余下分数值的平均分作为这位同学的面试成绩． 【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，求平均数、加权平均数，中位数与众数，用方差判断稳定性等知识，掌握这些知识是解题的关键． 19. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 20. 如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． （1）求反比例函数的解析式； （2）尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； （3）求点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、作一个角等于已知角，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，延长交轴于点，由，即轴，可得轴，又四边形是菱形，从而可设，结合，则，，，利用勾股定理，可得的值，故可判断得解； （2）依据题意，根据作一个角等于已知角得，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解； （3）依据题意，由是的中点，，则，根据轴，可得的纵坐标为，结合在反比例函数，进而代入计算可以得解． 【小问1详解】 解：如图，延长交轴于点， ， 四边形为菱形， ，即轴，， 轴． 可设． ， ，，． 在中，， ． ． ． ． 反比例函数的解析式为； 小问2详解】 解：由题意，根据作一个角等于已知角，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． 【小问3详解】 解：由题意，是的中点，， ． 轴， 的纵坐标为． 在反比例函数， 的横坐标为． ． ． 21. 如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 【小问2详解】 解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 22. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． （1）初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； （2）深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①，见解析；②存在，或1 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． （1）由折叠的性质可得，进而得到，再根据菱形的性质可得是等边三角形即可解答； （2）①先根据折叠的性质可得四边形是平行四边形，再证明可得，最后根据线段的和差及等量代换即可解答；②分点E在上和F在上两种情况，分别运用菱形的判定与性质、正方形的判定与性质以及正切的定义即可解答． 【小问1详解】 解：沿翻折得到， ． ，且与重合， ． 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形． ． 【小问2详解】 解：①，证明如下： 证明：沿直线翻折得到， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ， ②如图：当点E在上时， 由题意可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过F作交延长线于N，连接交于O，则， ∴， ∴， 又∵， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图：当F在上时，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图：作于N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴与O重合， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 综上，存在两种四边形面积是菱形面积的情形，此时的正切值为或1． 23. 平面直角坐标系中，抛物线（为实数）． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围； （3）当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）9 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，与一次函数图象的交点问题，利用数形结合的思想求解是解决本题的关键． （1）由抛物线对称轴公式求解即可； （2）分三种情况讨论，或或，分别画出图形，利用二次函数的性质分析即可； （3）联立，消得，结合图象知关于的方程的两个根为，，将代入方程得，解得，，当时，方程为，解得，舍去；当时，方程为，解得，，故． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：点关于抛物线对称轴的对称点为， ①当时，， ∴在对称轴右侧， ∵对于，，都有， ∴或， ∴或， ②当时，， ∴在对称轴左侧，在对称轴右轴，在对称轴右侧， ∵ ∴恒成立； ③当时，，成立， 综上，或； 【小问3详解】 解：联立， 消得， ∵当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，且最大， 结合图象知关于的方程的两个根为，， 将代入方程得， ， 解得，， 当时，方程为， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当时，方程为， 解得，， ∴； 综上，的最大值为9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $