第十三章 三角形 练习2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十三章 三角形 练习 一、单选题 1．下列长度的三条线段能拼成三角形的是（  ） A．3，8，4 B．5，6，11 C．5，6，10 D．2，3，5 2．，一块等腰直角三角尺按如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 4．有一根和一根的小棒，第三根小棒要符合什么要求才能围成三角形呢？（    ） A．第三根小棒的长度可以是 B．第三根小棒的长度最短是 C．第三根小棒的长度必须大于且小于 D．无论怎样长度的小棒都可以 5．如图，在中，是高，是角平分线，若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，是上的中线，是的中点，的面积是，则的面积是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 8．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．如图，在中，点D，E是边上两点，，，则是下列哪个三角形的高（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．一块三角形的铁板，面积是，底边长，这块铁板的高是 ． 12．如图，在中，，，则 ． 13．如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 14．如图，，垂足为，，，，点到所在直线的距离是 ，点到点的距离是 ，点到的距离是 ． 15．如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则应 （填“调大”或“调小”） 度． 三、解答题 16．在中，，交于点 E，平分．求的度数． 17．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称做格点． (1)画出的高； (2)求的面积； (3)在边上找到一点E，满足． 18．如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 19．如图，在中，、、的度数之比为，平分交于点．在中，，．如图1，的边在直线上，将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)求，，的度数； (2)在旋转过程中，如图2，当时，求α的度数； (3)如图3，当点C在内部时，边、分别交、的延长线于、两点． ①α的取值范围是 ； ②与之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系． 20．已知直线，点和点分别在直线和上． (1)如图1，射线平分交于点，若，则的度数是___________； (2)如图2，射线平分，点是射线上一点（不包括端点），点为的平分线上一点（不包括端点），连接，延长交射线于点，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行或垂直时，请求出此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十三章 三角形 练习2025—2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C A C C D A D 1．C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，故该选项不符合题意； B、，不满足两边之和大于第三边，故该选项不符合题意； C、，满足两边之和大于第三边，故该选项符合题意； D、，不满足两边之和大于第三边，故该选项不符合题意； 故选：C 2．C 【分析】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键，过点作直线，利用平行线的性质得到，，再利用等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：过点作直线， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到，，再根据，即可得出结果． 【详解】解：∵点P为对角线的中点， ∴，， ∵， ∴； 故选C． 4．C 【分析】本题考查了确定三角形的条件，由确定三角形的条件得，即可求解. 【详解】解：第三根小棒的取值范围是：， 所以， 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由是高，，可得，再由是角平分线，，从而得，进而可求的度数． 【详解】解：∵在中，是高， ， ， ， ∵是角平分线，， ， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 7．C 【分析】本题考查了三角形面积的求法，三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线 ∴， ∵是的中点，则是中边上的中线， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三元一次方程组的应用，过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 设，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 联立， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小为． 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了三角形的高，根据，则是的高，即可作答． 【详解】解：∵， ∴是的高， 故选：A 10．D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；由三角形外角的性质，角平分线的定义可判定⑤；综合即可得出答案． 【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线， ∴，故①正确； ，的平分线交于点， ，， 又∵， ， ，故②正确； 平分， ， ，，， ， ， ，故③正确； 如图， ，，， ， 平分，平分， ，， ， ，故④正确； ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上正确的有：①②③④⑤． 故选：D． 11． 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解题关键．根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．55 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．根据三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得到，最后在中，利用三角形内角和定理可知，代入即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， 故答案为：55． 13．18 【分析】本题主要考查了三角形面积、三角形中线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，连接，由三角形中线的性质可得，，易得，；设，易得，即，，进而求得，进而求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 设， ∵， ∴，则． ∴，解得：， ． 故答案为18． 14． 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到点的距离，根据点到直线的距离的定义、点到点的距离的定义及三角形的面积公式解答即可，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵，垂足为，， ∴点到所在直线的距离是， ∵， ∴点到点的距离是， 设点到的距离是， 则, 即， 解得， ∴点到的距离是， 故答案为：，，． 15． 调小 10 【分析】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键． 连接，在中，求出，然后在中，求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴应调小； 故答案为：调小，10． 16． 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的内角和定理求出的度数，的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵交于点 E，平分， ∴，， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，则网格线的特点和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据垂直的意义和网格线的特点作图； （2）根据三角形的面积公式求解； （3）根据垂直平分线的性质作图． 【详解】（1）即为所求； （2）的面积为：； （3）作的垂直平分线与的交于，点即为所求． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据，等量代换可得，再根据平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”即可求解； （2）先证明，得出，结合，求出，根据，得出，即可求出，再根据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．(1)，，； (2)； (3)①；②． 【分析】（1）根据三角形内角和是，再按比例分配进行计算即可； （2）根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，再由三角形的内角和等于进行计算即可； （3）①根据“端值”检测计算，即当与重合时最小值，当与重合时最大值；②连接，根据三角形内角和定理进行计算即可． 本题考查三角形内角和定理，平行线的性质以及垂直的定义，掌握三角形内角和是，平行线的性质是正确解答的前提． 【详解】（1）解：在中，，，的度数之比为， ， ， ； （2）解：， ， ，． ， ； （3）解：①当与重合时，为最小值， ， ； 当与重合时，为最大值，此时， ， 故答案为：； ②，理由如下： 如图，连接， ， ， 在中， ， ． 20．(1) (2)，见解析 (3)5或16.25或27.5或 【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线，三角形内角和定理的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）利用两直线平行，内错角相等和角的平分线，计算即可． （2）作的角平分线，交于点K，利用平行线性质，三角形外角性质，角的和差计算即可得出结论． （3）如图，记旋转后与的交点为，当时，求解，表示，，进一步建立方程求解即可；如图，当，记的交点为，则，，表示，，再建立方程求解即可，如图，当旋转到再次时，记在上，同理：，，再建立方程求解即可；如图，当旋转到再次时，记垂足为，同理可得：，，而，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴． （2）解：与的关系是．理由如下： 作的角平分线，交于点K， 则； ∵射线平分， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，记旋转后与的交点为，当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，如图，当，记的交点为，则， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 如图，当旋转到再次时，记在上， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 如图，当旋转到再次时，记垂足为， 同理可得：，， 而， ∴， 解得：， 综上：当和互相平行或垂直时，的值为5或16.25或27.5或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $