第十五章轴对称 练习2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 练习 一、单选题 1．下列图形不是轴对称图形的有（   ） A． B．C．D． 2．已知和关于轴对称，则的值为（    ）． A．1 B． C． D． 3．点P关于x轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，连接为的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，， ，平分点，关于x轴的对称点是（    ） A． B． C． D． 7．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 8．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 9．如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论：①是的角平分线；②点在线段的垂直平分线上；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，若点与关于y轴对称，则 ． 12．我们规定：等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特色值”，记作m．若，则该等腰三角形的顶角为 度． 13．在中，，将三角形折叠，使得点与线段延长线上的点重合，折痕分别与边交于点，与边交于点，连接交边于点，若，且，则边的长度为 ． 14．如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 15．如图，记，，点、是，上的定点，点、是，上的动点，当最小时，的值为 ． 三、解答题 16．如图，和均为等边三角形，连接，， (1)如图1，求证： (2)如图2，如果D在边上，交于点F，求的度数． 17．如图，在正方形网格中，各顶点都在格点上点A，C的坐标分别为、，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)画出关于x轴对称的； (2)写出点的坐标． 18．如图，与都是等边三角形，点，分别在，上，，与交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：． 19．如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 20．如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十五章 轴对称 练习2025—2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B B C B C B D 1．A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，根据关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而求出答案． 【详解】解：∵和关于y轴对称， ∴，， ∴． 故选：B． 3．B 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，来求解点关于轴的对称点坐标．本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：点 关于x轴的对称点的坐标是， 故选：． 4．B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，直角三角形的性质．解决问题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 连接，依据垂直平分线的性质可得，从而得到，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，所以，根据直角三角形性质可得的度数，根据轴对称的性质可得的度数． 【详解】解：连接， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选B． 6．C 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 【详解】解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，得，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即此时两点之间的距离为． 故选：B ． 8．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得，由的周长得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 10．D 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，含30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，由题意可知平分，求出，，利用直角三角形角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知：平分故①正确， ， ， 点在的垂直平分线上，故②正确， ，故③正确， ， ， ， ，故④正确， 故选：D． 11． 【分析】本题考查坐标与图形变化—轴对称，理解关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题关键． 根据题意可知点与点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此回答问题即可． 【详解】解：点与关于y轴对称， ， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出是解此题的关键．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理和已知得出，求出即可． 【详解】解：如下图： ∵中，， ∴， ∵等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特色值”，记作m．， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形，全等三角形，掌握折叠轴对称的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的性质是解决问题的关键． 过点作，根据直角三角形两锐角互余可得出三角形是等腰三角形，进而得出，由，得出，再根据，利用全等三角形的性质可得，，从而可求． 【详解】解：过点作于点， ， ， 由折叠得，，， 又， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为． 14．20 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质来求解的周长即可． 【详解】解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了轴对称-最短问题，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则此时最小， ∴，， ∵，，，，， ∴ ， ， ∴， 整理得：β． 故答案为：． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，即可得证； （2）先证明得出，再求出，最后再由三角形的外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图． （1）找出对称坐标，连线即可； （2）根据平面直角坐标系作答即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）根据（1）中平面直角坐标系可知，点的坐标为 18．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题关键． （1）根据等边三角形的性质证得，则，利用三角形外角性质可求，进而可计算出的度数； （2）延长至点，使，证明为等边三角形，得到，，证得，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：延长至点，使，如图， ， 为等边三角形， ，， 是等边三角形，   ，， ， 在和中， ， ， ， 而， ． 19．(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键： （1）根据等边对等角，先得出，再证明，进而可得出答案； （2）先证明，再证明，得出，进而可得出答案； （3）先证明，，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中，， ， （2）解：， ， 在和中，， ， ， ． （3）证明：， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 20．(1)成立，理由见解析 (2)90,6 (3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），添加条件仿照（1）证明，进而得出答案. 【详解】（1）解：成立， 理由如下：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. （2）解：90，6； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. 故答案为：90,6； （3）解：当和是等腰三角形，且，满足时，依然相等，发生变化， ∵和是等腰三角形，且，， ∴， 即， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $