第十四章全等三角形练习2025—2026学年人教版数学八年级上册

第十四章 全等三角 形练习 一、单选题 1．根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，添加下列某一个条件后，能用判定的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 5．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 6．如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C．4 D．1 7．如图，平分，于C，于D，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 8．如图，点在上，且于，，分别平分，，，若，则点到的距离是（    ） A．3 B．6 C．5 D．4 9．如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且，，，若，，，则四边形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 10．如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 二、填空题 11．如图，，，，，，则的长为 ． 12．如图，，是的高，与相交于点F，若，且，则的面积为 ． 13．课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点H的坐标为，另一个顶点G的坐标为，则顶点K的坐标为 ． 14．如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 15．如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 三、解答题 16．如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 17．如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 18．已知：和，、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 19．在中，，，直线经过点，，，垂足分别为． (1)如图（）， 求证：； (2)如图（） 将（）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立， 请给出证明；若不成立，请说明理由． 20．已知，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)如图1，若直线经过的内部，且E、F在射线上，，，则 ； （填“”、“”或“”） (2)如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； (3)如图3，若直线经过的外部，若，则、、三条线段有何数量关系，并予以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十四章 全等三角 形练习2025—2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A D C B D C B 1．C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A、三边确定，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； B、已知两个角及其公共边，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意； C、已知两边及其中一边的对角，属于的情况，不符合全等三角形判定定理，故不能画出唯一的三角形，故符合题意， D、已知一个直角和一条直角边以及斜边长，符合全等三角形判定定理，能画出唯一的，故不合题意． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据垂直的定义计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据，，结合的判定方法，添加两边的夹角即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 故应添加的条件为． 4．A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 6．C 【分析】根据角平分线的性质，找到取最小值的情况，进而求解．本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点， ∴当时，的值最小，此时． ∵， ∴的最小值为． 故选：． 7．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的一点到两边的距离相等的性质，得出结论一定要与选项进行比对． 【详解】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据，，平分，得，故，再结合，，得，，在同一条直线上，则，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，平分， ∴， 同理， ∴ ∵， ∴，，在同一条直线上 ∴ 故选：D． 9．C 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作于点G，可证明，得，，而，所以，再证明，得，所以，求得，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：作于点G，则， ∵， ，，， ∴， 四边形是梯形， ， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故选B． 11．3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】在和中， ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 12．12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ，是的高线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ 故答案为： 13． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据余角的性质，得到，根据全等三角形的判定与性质，得到，的长度，由此得到答案． 【详解】如图，作轴，轴， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 15．4或或16 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P到上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于4或或16秒时，与全等， 故答案为：4或或16． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理， （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 【详解】（1）证明：， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，尺规作角平分线，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （2）利用尺规作角平分线的方法作的平分线，交于点H，即可作答． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵，,， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，的平分线和点H即为所求： 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，第问关键是延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接． 先由证明，再利用证明即可； 延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，利用全等三角形的判定与性质即可证明． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ，， 在和中，， ， 故答案为：；；；； （2）证明：如下图所示，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ，， 同理可证， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中， ． 19．(1)证明见解析； (2)仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，三角形内角和定理，垂直定义，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （）根据，得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断，则，，进而即可得到结论； （）由，则，得出，然后根据“”可证得，再利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 20．(1)=，= (2)添加的条件为，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）证明即可得到，，故． （2）证明和（1）类似，根据即可得到，，故． （3）求出，，根据证，推出，即可． 【详解】（1）解：在图1中，， ，， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为，． （2）在图2中，添加的条件为， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ． （3）． 理由是：如图3中， ，， 又，， ， ， 在和中， ， ，， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $