湖南省永州市第一中学2025-2026学年高一直升班上学期拓展研学(三)数学试题

永州一中2025-2026学年高一直升班数学拓展研学（三) 命题人：陈诗断 时间：120分钟；满分：150分 一，单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题‘要求的 L.若复数2满足(1-)(z+)=4,其中i是虚数单位，则z的虚部为 .i B.1 C.2 D.3i 2.知向量a=(2,1),b=(m,-1),al/(a-b),则实数m=() A.-2 B.3 C.-1 D.6 3.△ABC的三内角A,B,C所对边长分别是a,b,0,若血B-m4_NDa+e,则角B的大小为 sinC a+b A.3n 4 B. 6 D.Z 4 4. 已知通数f)=5如x-引 若存在a,B,满足0<a<B<2m,且f(a)=f(B)=1,则 cos(B-a)=() A号 B D.、23 25 5.在正方形ABCD中，已知AB=2a,E是AB的中点，现以DE为折痕将△ADE折起到△ADE的位置， 当三棱锥A-DBC的体积最大时，此时3棱锥？一DBC外接球的体积为二，则a=（） 6 A 2 1 B.5 C. D. 5 6.已知函数f(x)=e+x,g(x)=血x+x,若f(x-1)=g(x2)=t,则x+为2+1-22的最大值为() A号 B号 C.2 D.3e-1 e2 7.已知3m=4,a=2”-3,b=4m-5,则（) A.a>0>b B.b>a>0 C.axb>0 D.b>0>a 8.远知△ABC的内切圆圆心为O,半径r=1,且满足3AO=AB+AC,P是△ABC内切圆上一动点，则 BABP取值范围是() A.[-3V2+6,3W2+6]B.[-2N5+6,25+6]C.[-6W2+3,6N2+3]D.[65-2,65+2] 第1页/共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.函数f(x)=Asin(ox+p(A>0,0>0,pK的部分图象如图所示，则() A.f(x)的最小正周期为π B9=号 Cf)的-个对称中心为合0) D.要得到函数g)=2c0sx的图象，可以将f()的图象先向左平移7个单位长度，再将各点横坐标 变为原来的2倍（纵坐标不变） 10.已知△ABC中，BD=2DC,(BC+2AG·AB=0,A=60°，则下列说法正确的是（） A.4D=14B+24C 3 3 B.CosB= BC C.cosC= 14 D.AC在AB上的投影向量为B 11.如图，已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，B,D交平面ACD于点H,则下列说法正确的是 D A.点H是△ACD的重心 B.BH=2HD H C.面ACD截正方体ABCD-AB,C,D外接球所得截面的面积为3π D.以顶点A为球心，45为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于53π 3 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设集合A={x|log2(x+2)<2},B={xm≠1<x<2m+1}.当AUB=A时，实数m的取值范围 是 13.已知f(x)= +0若方程图=a有四个不阿的解名、名小且<5名<名，则 的取值范围是 x4 14.设函数f(x)=(x2-c+b)gr,若f)20,.则a的最大值为 第2页/共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分)已知平面向量a,b满足a=(2,4),b=V5,(2a+b)⊥(a-36) :1)求向量a与b的夹角： (2)求向量2a+b的模， 16(本题满分15分)如图，设0x,0y是平面内相交成日(0<0<元且0+号角的两条数轴，日，6分 别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为0斜坐标系若向量OP=x名+ye2,则 把有序数对(x,y)叫做向量OP在6斜坐标系xOy中的坐标，记为OP=(x,y).己知在8斜坐标系xOy中， ā=(x,),b=(x2,y2) /0 (1)证明：a.万=xx2+2+(xy2+x)c0s0: (2)当日=5π时，OP=(2,),求oP; 6 (3)当9=写时，若向量a=(eosx2),石=(simx,2),已知f(x)=a-6,求函数f(x)的最值 17.(本题满分I5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,E是PC的中点，点F在棱 BP上，且EF⊥BP,四边形ABCD为正方形，PD=CD=2. B (1)证明：BP⊥DF: (2)求点F到平面BDE的距离； (3)求二面角F-DE-B的余弦值. 18.（本题满分17分)在△ABC中，设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足 √3 bsin C+bcosC=a+c. (1)求角B; (2)若b=√3，求△ABC面积的最大值； (3)求ac-ab-bc b2 的取值范围. 19.(本题清分17分)设f)=k2-am(aeR),g)=5江+3 x+1 w求x子哥引 的值域： x+1 25 2》若对任意的∈0小总存在五了g引 使得f(x)=g(x)成立，求实数a的取值范围. 第4页/共4页