第十三章三角形单元提优试卷2025-2026学年人教版八年级数学上册

参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.A【详解】解：由三角形的定义可知，只有A选项的图形是三角形. 2.C【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形ABC成为一个直角三角形， 则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使∠ACB是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法： 点C与点B在同一列时，有3种选法： ∠ACB是直角时，有1种选法： 3+3+1=7(种) 连接A、B、C三点使三角形ABC成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 3.B【详解】解：选项A:20cm,30cm,40cm,最长边40cm,20+30=50>40,满足条件，可构成 三角形；不符合题意； 选项B:25cm,25cm,50cm,最长边50cm,25+25=50,等于第三边，不满足“两边之和大于第 三边”，无法构成三角形；符合题意； 选项C:30cm,30cm,40cm,最长边40cm,30+30=60>40,满足条件，可构成三角形：不符合 题意： 选项D:20cm,20cm,25cm,最长边25cm,20+20=40>25,满足条件，可构成三角形；不符合 题意： 4.D【详解】解：设A,B间的距离为x, 根据三角形的三边关系，得： 15-10<x<15+10, .5<x<25, 故A,B间的距离不可能是5米， 5.C【详解】解：AE=DE,即点E为AD中点， .BE是△ABD的中线，故A正确，不符合题意； ,BD平分∠EBC, .BD是△BCE的角平分线，故B正确，不符合题意； :BD平分∠EBC, .∠2=∠3 AE=DE,AB>BD, ∴.∠2≠∠1，故C错误，符合题意： ∠C=90°，即BC⊥CE, ∴.BC是△BCE的高，故D正确，不符合题意. 6.B【详解】解：：∠ABC=∠BDE=90°，∠A=45°，∠E=30°， ∴.∠ACB=∠A=45°，∠DBE=60°， AC∥BD, .∠ACB=∠CBD=45°， ∴.∠EBC=∠DBE-∠CBD=60°-45°=15°， .∠ABE=∠ABC-∠CBE=90°-15°=75°， 7.C【详解】解：①如图1，当点C'落在BC边上时， 根据折叠性质可得∠C=∠DC'C,∠CDE=∠C'DE,∠DEC=∠DEC', .∠ADC'=2∠C=50°，故①正确： ②如图2，当点C落在△ABC内部时， 根据折叠性质可得∠C=∠DC'E,∠CDE=∠C'DE,∠DEC=∠DEC' ∴.∠ADC'+∠BEC =180°×2-∠CDC'+∠CEC') =360°-2（∠CDE+∠CED =360°-2(180°-∠C) =2∠C =50°，故②正确： ③如图3，当点C落在△ABC上方时，： 根据折叠性质可得∠C=∠DC'E,∠CDE=∠C'DE,∠DEC=∠DEC, ∴.∠BEC'-∠ADC =180°-∠CEC'-(∠CDE+∠C'DE-180°） =180°-2∠CED-2∠CDE-180) =360°-2∠CDE+∠CED) 2 =360°-2(180°-∠C) =2∠C =50°，故③正确： ④当CE∥AB时， :∠A=90°，∠C=25°， .∠B=180°-∠A-∠C=65°， .CE∥AB .∠CEC'=∠B=65°， 根据折叠性质可得∠CED=∠C'ED, ·∠CED=)∠CEC'=32.5°， 2 .∠CDE=180°-∠C-∠CED=180°-25°-32.5°=122.5°： 当CE∥AB时， .∠A=90°，∠C=25° .∠B=180°-∠A-∠C=65° CE∥AB, ∴.∠BEC'=∠B=65°， 根据折叠性质可得∠CED=∠C'ED,∠C=∠C'=25° .∠DFC=∠BEC'+∠C'=65°+25°=90°， ∴.∠CDF=90°-∠C=65°， ∴2cDE-cwc=325, 综上∠CDE=32.5°或∠CDE=122.5°；故④错误， 8.D【详解】解：AD⊥BC, .∠BDA=90°， .∠EBD=30°，BE平分∠ABC, .∴.∠ABC=2∠EBD=60° .∠BAD=30° .∠BAC=70°， ∴.∠DAC=∠BAC-∠BAD=70°-30°=40° 9.A【详解】解：延长DE交AF于点H,延长DC交AB于点G,连接AD,如图所示： 根据三角形外角的性质得：∠BCD=∠ABC+∠BGC, 3 H G ∠DEF=∠AFE+∠EHF, ∠BGC=∠GAD+∠GDA, ∠EHF=∠HDA+∠HAD, ∴.∠DEF+∠BCD=∠ABC+∠GAD+∠GDA+∠AFE+∠HAD+∠ADH ∴.∠BAF+∠ABC+∠CDE+∠EFA=∠DEF+∠BCD=100°+80°=180°. 10.D【详解】∠BAC=∠DAE=a, ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, .∠BAD=∠CAE, DA=EA ∠BAD=∠CAE BA=CA :△BAD≌aCAE(SAS .'DB=EC, 故①正确： 过点A分别作AG⊥BD,AH⊥CE,垂足分别是G,H, ·△BAD≌aCAE(SAS DB=EC,S.ABD=S.CAE AG-BD-AH-CE 1 1 ..AG=AH, ∴.PA平分∠BPE, 故③正确： △BAD≌ACAE(SAS) ∴.∠ABD=∠ACE, .:∠BPE=∠BCP+∠PBC=∠BCA+∠ACE+∠PBC=∠BCA+∠ABP+∠PBC, ∴.∠BPE=∠BCA+∠ABC=180°-∠BAC=180°-a, 故②错误： 在CE上截取KE=PD, △BAD2△CAE(SAS ∴.∠ADP=∠AEK, DA=EA ∠ADP=∠AEK KE=PD :△PDA≌KEA(SAS) ∴.AK=AP, ∠BPE=180°-a,PA平分∠BPE,a=60°， PK=,BPE=)180°-60 ∴.△APK是等边三角形， .AP=PK, B .PE=PK+KE, ∴.PE=AP+PD. 故④正确。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 32V2.32V2 <C< 11.2【详解】解：由三角形的三边关系可知，22 22,即√2<c<2√2. 1<2<4, :1<2<2 -,2 1<2<3 , :2<22<3 C为整数， .c的值为2 12.6【详解】解：：BD是△ABC的边AC上的中线， 5 Sm=5m5m=8, ,AE是△ABD的边BD上的中线，即有CE是△BCE的边AE上的中线， Sm=8m8m,5e=5w=分5m 1。 .5.uc-5.u55.mo5.m5.cs.w8 ,'BF是△ABE的边AE上的中线，即有CF是△ACE的边AE上的中线， 六9.g=234a版=2， SEFC=S4CE=4, 2 二阴影部分的面积是，r+S=2+4=6 13.100°【详解】解：AD,BE是△ABC的高， .∠ADC=∠AEB=90°， ∠C=80°， .∠CAD=90°-80°=10°， .∠AHB=∠HAE+∠AEH=10°+90°=100°. 14.71°【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=52°， :∠A=180°-（∠C+∠B)=180°-(90°+529）=380 由折叠的性质得：∠EDF=∠EDA,∠DEF=∠DEA, ,EF∥AB, ∴.∠CEF=∠A=38°，∠EDA=∠DEF, ∴.∠EDF=∠EDA=∠DEF, .'∠CEF+∠DEF+∠DEA=180°， .38°+2∠DEF=180°. .∠DEF=71° .∴.∠EDF=71° 15.30°【详解】解：由题意知，∠MAB=90°-60°=30°，∠ABM=90°+30°=120°， .∠AMB=180°-∠MAB-∠ABM=180°-30°-120°=30° 16.60【详解】解：连接DE, 点F为AD中点， —6 F B D 1 S.DF4S.AF=.MDF=400 设SACDE=x, CD:BD=1:2, S.DE=2SCDE=2x,S.4BD=2S4CD, S.ABF =S.BDF =S.BDE -S.DEF =2x-4, S.ARD=2S.4CD=2S.4F .SACD=S。ABr,即：4+4+x=2x-4, .x=12, .SBD=2S4CD=2(2x-4=40, S.4BC=S.ABD+S.4CD=40+20=60. 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解：，a、b、c分别为△ABC三边， ..a+b>c,a<b+c, .a+b-c>0,a-b-c<0, 则a-b-c-a+b-c =b+c-a-(a+b-c) =b+c-a-a-b+c =2c-2a 18.(1)解：如图，点P即为所求， B (2)解：如图，点D或(D')即为所求， 7 B 19. (1)解：补全过程如下： 在△BPD中，PB+DP>BD, .AC+CP+PB+DP>AD+DP+BD, .AC+BC>AD+BD, ∴.乌龟的路线更短 (2)选路线②.理由如下： 如图，延长FE交AD于点M,延长EF交BD于点N. 在△AEM中，AM+EM>AE, 在△BFN中，BN+FN>BF, 在△DMW中，DM+DN>MN, .DM+DN ME+EF +FN, .AM+ME+BN FN+DM+DN>AE+BF+ME+EF+FN, .AM+DM+BN +DN>AE+BF +EF, ∴.AD+DB>AE+BF+EF, ∴.路线②的路程比路线③短， 乌龟可选路线② 20. 证明：：AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠CAE :BD⊥AC, .∠ADB=90°， .∠ABC=90°， ∴.∠BAE+∠BEF=∠CAE+∠AFD=90°， .∠BEF=∠AFD」 .'∠BFE=∠AFD, .∠BEF=∠BFE. 21. (1)证明：在△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC, -8 在△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD, Q∠AOC=∠BOD, .∠A+∠C=∠B+∠D (2)解：：在△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM, 在△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN, .∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN, ,PA平分∠BAC,PD平分∠BDC, ∴.∠CAM=∠PAN,∠BDN=∠PDM, ∠C+∠B=2∠P,即120°+100°=2∠P, .∠P=110°. ②∠B、∠C、∠P之间的关系为2∠P=∠B+∠C. 理由如下：如下图， ·'AP和DP分别平分∠CAB和∠BDC, B M .∠1=∠2，∠3=∠4 在△AMC和△DMP中，∠C+∠I=∠P+∠3， ∠C=∠P+∠3-∠1， 在△BDN和△PAN中，∠B+∠4=∠P+∠2， ∴.∠B=∠P+∠2-∠4， .∠B+∠C=∠P+∠2-∠4+∠P+∠3-∠1=2∠P, .∠B、∠C、∠P之间的关系为2LP=∠B+∠C. 22. (1)解：CD∥EF,理由如下： 由题意得，∠ADC=∠BFE=90°， ∴.∠CDF=180°-∠ADC=90°， ∴.∠CDF=∠BFE, .CD∥EF: (2)解：∠B=30°，∠A=45°， .∠FEB=60°，∠ACD=45°， ∠GDC=∠FEB, .∠GDC=60°， .∠AGD=∠GDC+∠ACD, -9 ∴.∠AGD=60°+45°=105° 23. (1)解：AB⊥OM, .∠OAB=90°， .∴.∠ABO=90°-∠MON=30° ,∠OAB=3∠ABO, ∴.△AOB为“灵动三角形”， (2)解：△AOC是“灵动三角形” 理由：∠BAC=60°，∠OAB=90°， .∠0AC=30°， 又∠MON=60°， ∴.∠AC0=90°， .∴.∠ACO=3∠OAC, ∴.△AOC是“灵动三角形”； (3)解：，△ABC为“灵动三角形”， 点C在线段OB上，0°<∠OAC<90°， .∠AB0=30°， .∴.∠BAC+∠BCA=150°，∠ACB>60°，∠BAC<90°， I、当∠ABC=3∠BAC时，∠BAC=10°， ∴.∠OAC=80°， Ⅱ、当∠ABC=3∠ACB时， ∴.∠ACB=10° 此种情况不存在， Ⅲ、当∠BCA=3∠BAC时， ∴.∠BAC+3∠BAC=150°， .∠BAC=37.5°， .∠OAC=52.5°， IV、当∠BCA=3∠ABC时， .∠BCA=90°， ∴.∠BAC=60°， .∴.∠0AC=90°-60°=30°， V、当∠BAC=3∠ABC时， -10 八年级数学（人教版）单元提优试卷 第十三章 三角形 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．你如果从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 3．某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 5．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是△BCE的角平分线 C． D．是△BCE的高 6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，将点A，B，C，D，E，F依次首尾相连组成一个封闭图形，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．下列结论： ①；            ②； ③PA平分∠BPE；    ④若，则． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．有三根长度分别为的木棒，已知为整数，若这三根木棒能围成三角形，则的值为 ． 12．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是△ABE的边上的中线，连接，．若的面积是，则阴影部分的面积是 ． 13．如图，在中，，高，交于点，则 ． （13题图） （14题图） 14．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．   15．如图，某渔船在海面上朝正东方向航行，在A处观测到灯塔M在北偏东方向上，行驶一段时间后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东方向上，那么从M处观测A，B两处的视角的度数是 ． （15题图） （16题图） 16．在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）若a、b、c分别为三边，化简：． 18．（8分）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出△ABC的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使△BCD与△ABC的面积相等． 19．（8分）如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B． (1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由． 以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整； 解：乌龟的路线更短，理由如下： 如图②，延长交于点P． 在中，， … (2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由． 20．（8分）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 21．（8分）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 22．（10分）如图，把一副三角尺摆放在中，点在上，点在上． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若为上一点，连接，，且，，求的度数． 23．（12分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线OM上找一点A，过点A作交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 24．（12分）已知的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积________△ACD的面积（填“”“”或“”）； (2)如图2，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连结，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程组为：，解得________，通过解这个方程组可得四边形的面积为________； (3)如图3，，请你计算四边形的面积，并说明理由． — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 — 2 — — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $