精品解析： 广东省广州大学附属中学2025-2026学年上学期九年级数学 开学测试卷

2025-2026学年第一学期初三年级开学质量检查 数学（问卷） （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式及需满足的条件． 根据一元二次方程的定义，逐一分析选项，判断是否符合“只含一个未知数、未知数最高次数是2、整式方程”这几个条件． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，是一元一次方程，不满足一元二次方程“二次项系数不为0，且未知数最高次数是2”的条件，所以不一定是一元二次方程； B、不是方程，因为它没有等号，不构成等式关系，而方程是含有未知数的等式，所以不符合一元二次方程的定义； C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程（整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程），符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程； D、中含有两个未知数和，属于二元一次方程，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的条件． 故选：C． 2. 对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，的最大值为21 D. 将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，二次函数图象的平移问题，把二次函数解析式化为顶点式得到对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数可得开口方向，进而得到增减性，再求出当时的函数值，接着根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案。 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故A、B说法正确，不符合题意； ∴当时，y随x增大而增大， 当时，， ∴当时，的最大值为21，故C说法正确，不符合题意； ∵原抛物线顶点坐标为， ∴将原抛物线的图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为，即，故D说法错误，符合题意； 故选：D。 3. 已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，通过一元二次方程的解的定义得到，，即可得到，，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：C． 4. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于的方程有实数根，分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，当方程是一元一次方程时，方程有实数根；当方程是一元二次方程时，得到，求解，综合两种情况k的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：当方程是一元一次方程时，,则，方程有实数根； 当方程是一元二次方程时，可得： ， 解得：， 综上所述，， 故选：A． 【点睛】本题考查了方程有实数根的条件，分类讨论、掌握一元二次方程的定义以及有实数根的条件“”，是解题的关键． 5. 某工厂一月份生产总值为万元，第一季度的生产总值共万元，如果平均每月的增长率为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平均每月的增长率为，根据题意，列出方程即可，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：平均每月的增长率为， 由题意可得，， 即， 故选：． 6. 如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于， ∴不等式为：或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２ 7. 如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可； 【详解】解：由图②得：当时，在减小， 当时，先变小后变大， ∴应从出发沿运动到，再运动到， 或应从出发沿运动到，再运动到， 设应从出发沿运动到，再运动到， 如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴当在处时，，即， ∴， 当在处时，，即， 当位于处时，，即， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键. 8. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴b＝﹣2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∵x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0，所以②错误； ∵b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，所以③正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，垂直于y轴的动直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点，点，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，可得，再由，可得，然后求出直线的解析式，可得，即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴点， 当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 10. 已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点，则 的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据两种情况，①当△时由求得，将的两个值分别代入方程中，求得方程的两个根检验即可； ②当△时，在范围内有一个根，则与时的两个函数值异号或有一值为0，另一个根在范围内，分别求出的取值范围． 【详解】解：与直线在范围内有唯一公共点， 令，即， （1）当△时，则， 解得， 当时，原方程为， 解得，不合题意，舍； 当时，原方程为， 解得满足要求， ； （2）当△时，与直线在范围内有一个根， 即与x轴在范围内有一个交点， ①若与时的两个函数值异号， 当时，， 当时，， ， 时，或， ∵开口向上，则的解为， ②若与时的两个函数值中有一个为0，即为方程的根， 当是方程的根时，则，另一个根为，在范围内， 当是方程的根时，则，另一个根为，不在范围内， 综上所述：或． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象和系数的关系以及一元二次方程根的判别式，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的最小值为_______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到，， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， ， ，， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 13. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据，且解出k的范围即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是正确列出，本题属于基础题型． 14. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系________(用“<”连接)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入各点的横坐标，可用含m的代数式表示出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数有且只有一个“三倍数”，则c的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，新定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与方程的关系解答． 先设二次函数的三倍点为，然后即可得到方程，再根据二次函数有且只有一个“三倍数”，可知方程有两个相等的实数根，从而可以求得的值． 【详解】解：设二次函数的三倍点为， 则， ， ， ∵二次函数有且只有一个“三倍数”， ， 解得：， 故答案为：2． 16. 若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，抛物线的平移，抛物线的增减性的应用，利用的应用二次函数的性质是解本题的关键． 由二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．可得，可得①符合题意；由，可得，结合，可得②不符合题意；由对称轴为直线，结合，可得③符合题意；分三种情况分析④当时，当时，满足，当时，不满足，不符合题意，舍去，可得④符合题意； 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， 而二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称． ∴， ∴，故①符合题意； ∴， ∴ ， ， ∵， ∴当时，取最小值，故②不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵， 当时，函数取最小值， 当时，函数值为， ∴， ∴对于任意实数，不等式一定成立，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， 当时，满足， ∴， ∴， 当时，不满足，不符合题意，舍去，故④符合题意； 综上：符合题意的有①③④； 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择合适的方法解方程： （1）x2﹣4x＝2； （2）3(x﹣5)＝x2﹣25． 【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣ （2）x1＝5，x2＝﹣2 【解析】 【分析】（1）利用配方法直接求解即可； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 ∵x2﹣4x＝2 ∴x2﹣4x+4＝2+4，即(x﹣2)2＝6 ∴x﹣2＝± ∴x1＝2+，x2＝2﹣ 【小问2详解】 ∵3(x﹣5)＝x2﹣25， ∴3(x﹣5)﹣(x+5)(x﹣5)＝0， ∴(x﹣5)(3﹣x﹣5)＝0， ∴x﹣5＝0或﹣x﹣2＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法主要有开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【小问1详解】 解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． 【小问2详解】 解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． （1）求这个二次函数的表达式． （2）二次函数的图象的对称轴与直线相交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）作于Q，作于F，交于E，先求出抛物线的对称轴，进而求得C，D坐标及时长，从而得出过M的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的求得m的值，进而求得M的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 解∶ 二次函数的图象与x轴相交于点，，由题意可得∶ 解得∶ 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：作于Q，作于F，交于E，如图 二次函数的图象与y轴相交于点C， ． 点C的坐标为． ． ， ． ． ． 抛物线的对称轴是直线∶， 二次函数的图象的对称轴与直线相交于点D， 当时，． 则点D的坐标为． ． 故只需的边上的高最大时，的面积最大． 设过点M与平行的直线的解析式为∶， 当直线与抛物线相切时，的面积最大． 由得 ， 由得， ，得． ，解得． ，． ． ． ． 20. 已知二次函数． （1）请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值； … … … … （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，的取值范围是____________． 【答案】（1）填表如下： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2） 画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握数形结合的应用． （1）根据所给表格填出x的值，再求y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据表格、图象，即可看出y的取值范围 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；… 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据表格图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 21. 天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】（1） （2）能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 22. 如图，正方形ABCD，点E是BC边上的动点，点F在DE延长线上，连接AF、BF． （1）若． ①求证：FA平分∠DFB； ②连接FC，用等式表示线段BF、FC与AF之间的数量关系，并说明理由； （2）若BF＝1，DF＝2，求AF的最大值． 【答案】（1）①证明见详解; ②．理由见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）①延长FD至点G，使DG＝BF，在四边形ABCD为正方形，有AB＝AD，∠BAD＝90°．则有∠DFB＝90°，∠ABF＋∠ADF＝180°．再根据∠ADG＋∠ADF＝180°，即有∠ABF＝∠ADG．可得，即可得△FAG为等腰直角三角形．则∠AFG＝∠AFB＝45°，结论即得证．另一种方法：过点A作AG⊥BF于G，AH⊥DF于H，依据∠BFD＝90°，∠GAH＝90°．结合正方形的性质，有∠GAB＋∠BAH＝90°，∠DAH＋∠BAH＝90°．即有∠GAB＝∠DAH．可证得，得到GA＝HA．结论即得证．②过点B作BM⊥BF交AF于M，由①得∠BFA＝45°，△BMF为等腰直角三角形．则有，BM＝BF，再利用正方形的性质可得∠ABM＋∠MBC＝90°，∠FBC＋∠MBC＝90°．即有∠ABM＝∠CBF，可证得．继而得到AM＝FC，则有AF＝AM＋MF＝FC＋BF． （2）将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADN，根据旋转的性质有∠BAF＝∠DAN，BF＝DN＝1，AF＝AN．根据∠BAD＝∠BAF＋∠FAD＝90°，得到∠NAF＝∠DAN＋∠FAD＝90°．当F、D、N三点共线时，△AFN为等腰直角三角形，即可由求得AF的最大值． 【小问1详解】 ①延长FD至点G，使DG＝BF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°． ∵∠DFB＝90°， ∴∠ABF＋∠ADF＝180°． ∵∠ADG＋∠ADF＝180°， ∴∠ABF＝∠ADG． ∴． ∴AF＝AG，∠BAF＝∠DAG． 即∠FAG＝90°，△FAG为等腰直角三角形． ∴∠AFG＝∠AFB＝45°． ∴FA平分∠DFB． 另解：过点A作AG⊥BF于G，AH⊥DF于H， ∵∠BFD＝90°， ∴∠GAH＝90°． 在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°． ∴∠GAB＋∠BAH＝90°，∠DAH＋∠BAH＝90°． ∴∠GAB＝∠DAH． ∵∠AGB＝∠AHD＝90°， ∴， ∴GA＝HA． ∴FA平分∠DFB． ②． 理由如下： 过点B作BM⊥BF交AF于M， 由①得∠BFA＝45°． ∴△BMF为等腰直角三角形． ∴，BM＝BF． 在正方形ABCD中，BA＝BC，∠ABC＝90°． ∴∠ABM＋∠MBC＝90°，∠FBC＋∠MBC＝90°． ∴∠ABM＝∠CBF． ∴． ∴AM＝FC． ∴AF＝AM＋MF＝FC＋BF． 【小问2详解】 将△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADN， ∴∠BAF＝∠DAN，BF＝DN＝1，AF＝AN． ∵∠BAD＝∠BAF＋∠FAD＝90°， ∴∠NAF＝∠DAN＋∠FAD＝90°． 当F、D、N三点共线时，△AFN为等腰直角三角形， ∴． ∴AF的最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，解答本题的关键是合理作出有效的辅助线构造全等三角形是解答本题的关键 23. 如图，二次函数的图象交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点E是直线下方抛物线上的一动点，过点E作轴交于点G，作于点F，求周长的最大值及此时点E的坐标； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒.当时，延长交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得的中点恰为的中点?若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，， 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先证明是利用等腰直角三角形，得到，再根据E、G所在函数解析式设出点的坐标得，根据二次函数的最值求解即可； （3）分别用t表示出点P的坐标是，点Q的坐标是，求得所在的直线的解析式是，得点M的坐标是，由的中点H的坐标是，得点N的坐标是，点N在抛物线上，求出点N的坐标是，继而得解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过、两点， ， 解得. 二次函数的解析式是：. 【小问2详解】 ， 点C的坐标是， ， ， ， ， ， 设所在的直线的解析式是：， 则，解得. 所在的直线的解析式是：， 设， ， ， ， 当时，， 此时； 【小问3详解】 如图3，延长交抛物线于点N，H是的中点， 设所在的直线的解析式是， 点P的坐标是，点Q的坐标是， ， 解得， 所在的直线的解析式是， 点M的坐标是， ，，的中点H的坐标是， 假设的中点恰为的中点， ，， 点N的坐标是， 又点N在抛物线上， ， 点N的坐标是， 解得或， ，， 当时，延长交y轴于点M，当时在抛物线上存在一点，使得的中点恰为的中点 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法求解析式、一次函数、二次函数、坐标中点公式、动点三角形周长等知识点，考查了分析推理能力，数形结合思想的应用，解答此题的关键是要明确中点坐标求法、利用坐标表示线段长或点的位置，再二次函数解析式求最值或交点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初三年级开学质量检查 数学（问卷） （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数，下列说法错误的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，的最大值为21 D. 将图象向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后的顶点坐标为 3. 已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 5. 某工厂一月份生产总值为万元，第一季度的生产总值共万元，如果平均每月的增长率为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＜0；正确的有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，垂直于y轴的动直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10. 已知抛物线 与直线 在 范围内有唯一公共点，则 的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的最小值为_______． 12. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 13. 已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______． 14. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系________(用“<”连接)． 15. 对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数有且只有一个“三倍数”，则c的值为__________． 16. 若二次函数的图象向右平移1个单位长度后关于轴对称．则下列说法正确的序号为______．（少选得1分，错选得0分，选全得满分） ① ②当时，代数式的最小值为3 ③对于任意实数，不等式一定成立 ④，为该二次函数图象上任意两点，且．当时，一定有 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择合适的方法解方程： （1）x2﹣4x＝2； （2）3(x﹣5)＝x2﹣25． 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． （1）求这个二次函数的表达式． （2）二次函数的图象的对称轴与直线相交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值 20. 已知二次函数． （1）请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值； … … … … （2）根据表格，画出这个二次函数的图象； （3）根据表格图象可知，当时，的取值范围是____________． 21. 天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 22. 如图，正方形ABCD，点E是BC边上的动点，点F在DE延长线上，连接AF、BF． （1）若． ①求证：FA平分∠DFB； ②连接FC，用等式表示线段BF、FC与AF之间的数量关系，并说明理由； （2）若BF＝1，DF＝2，求AF的最大值． 23. 如图，二次函数的图象交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，点E是直线下方抛物线上的一动点，过点E作轴交于点G，作于点F，求周长的最大值及此时点E的坐标； （3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒.当时，延长交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得的中点恰为的中点?若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $