第1章 一元二次方程单元卷- 2025-2026学年苏科版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学复习讲义围绕一元二次方程的知识体系，通过思维导图清晰呈现定义、解法、根的判别式、实际应用等核心模块，辅以表格对比配方法、公式法、因式分解法的适用条件与步骤，帮助学生建立从概念到方法再到应用的完整认知链条，突出知识间的内在联系与重难点分布。 讲义的亮点在于“问题驱动+素养导向”的练习设计，如第5题结合三角形边长与方程求解，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力；第23题利润问题引导学生构建函数模型，体现数学建模意识；第24题借助函数图象探究矩形围栏方案，强化几何直观与逻辑推理能力。每类题型均配有解题策略提示和易错点分析，既支持基础薄弱学生掌握通法，又助力优生拓展思维，教师可据此实施分层教学与精准辅导。

第1章 一元二次方程（单元卷） （年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用苏科版教材地区考题进行精选细编，考察学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆·开学考试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 4．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）方程解的个数（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（   ） A．10 B．12 C．10或12 D．6 6．（25-26九年级上·湖北武汉·开学考试）已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若一元二次方程的两根为与，则的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 9．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 10．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当 时，关于x的方程是一元二次方程． 12．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知m是方程的根，则代数式的值为 ． 13．（24-25八年级下·广西百色·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 14．（2024·广东·模拟预测）若一元二次方程有两个不等的实数根，且，则 ． 15．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 16．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如果关于的方程的两个实数根分别为那么的值为 ． 17．（2025·江西·模拟预测）已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为 ． 18．（24-25九年级上·全国·随堂练习）有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的x的值为 ；若输入，则输出的x的值为 ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 20.（本小题满分8分）（24-25八年级上·全国·期末）解下列方程： （1）； （2）． 21.（本小题满分10分）（25-26九年级上·北京·开学考试）已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 22.（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 23.（本小题满分10分）（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． （1）要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ （2）平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 24.（本小题满分12分）（2025·新疆乌鲁木齐·一模）复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 一元二次方程（单元卷） （年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用苏科版教材地区考题进行精选细编，考察学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，并且未知数的指数最高是的整式方程是一元二次方程，逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 解：、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，且未知数的最高次数是，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，将常数项移动到等号的右侧，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行求解即可． 解：， ， ， ∴； 故选D． 3．（25-26九年级上·重庆·开学考试）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方根的判别式，解不等式，一元二次方程的定义等内容，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 根据根的情况和一元二次方程的定义，列出不等式，然后进行求解即可． 解：根据题意得，， 解得， 当，即时，不符合题意， ∴， 综上，且， 故选：D． 4．（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）方程解的个数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题涉及绝对值方程的求解，需要根据绝对值的性质，分情况讨论去掉绝对值符号，将方程转化为一元二次方程来求解，然后判断根的个数． 解：①当时， 此时，原方程可化为， ∵，，， ∴由求根公式， 解得：或， ∵， ∴； ②当时， 此时，原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 综上，方程有两个根和． 故选：B． 5．（25-26九年级上·山东青岛·开学考试）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边是方程的解，那么这个三角形的面积是（   ） A．10 B．12 C．10或12 D．6 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式等知识．先求出方程的解，再分当时，当时，两种情况讨论即可得解． 解：解方程得：， 当时，三边长度分别为：，， ∴不能构成三角形， 当时，三边长度分别为：，，， ∴能构成以3和4为直角边长的直角三角形， ∴这个三角形的面积为， 故选：D． 6．（25-26九年级上·湖北武汉·开学考试）已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据根与系数的关系得到，，求出，，然后代入利用因式分解法求解即可． 解：∵一元二次方程的两根分别是，， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， ∴ 解得，． 故选：D． 7．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ） A． B． C．x D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若一元二次方程的两根为与，则的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得．由①式求出m的值，再代入②式即可得解． 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 解：由， 得， ∵与是一元二次方程的两根， ∴， 由①得， ∴，， 代入②得，， ∴． 故选：C． 9．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 10．（25-26九年级上·安徽安庆·开学考试）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，则电动车车棚的长（）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去 ， 故选：B． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当 时，关于x的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程，进行列式计算，即可作答． 解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 12．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知m是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，即，再根据计算求解即可． 解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·广西百色·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况． 解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 14．（2024·广东·模拟预测）若一元二次方程有两个不等的实数根，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，首先根据题意得到，求出，然后得到一元二次方程，解方程求出，或，，然后代入求解即可． 解：∵一元二次方程有两个不等的实数根，且， ∴ ∴ ∴一元二次方程 ∴ ∴，或， ∴或． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有 名学生． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有41名学生． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如果关于的方程的两个实数根分别为那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式，非负数的性质，以及配方法的应用，由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于的不等式，利用非负数的性质得到的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值． 解：∵方程有两个实数根， ∴ ， ∴， 代入方程得：， 解得：， 则． 故答案为：． 17．（2025·江西·模拟预测）已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，矩形的性质，根据矩形性质可知方程有两个相等的实数根，再根据判别式等于零列式求解即可 解：，是矩形的对角线， ， ，是关于x的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得：， 故答案为： 18．（24-25九年级上·全国·随堂练习）有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的x的值为 ；若输入，则输出的x的值为 ． 【答案】 或 无解 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意分别列出一元二次方程，求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键． 解：若输入，则， ∴， 解得或，即此时输出的x的值为或； 若输入，则， 此时，故此时输出的x的值为无解， 故答案为：或；无解． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解． 解：（1）解：， ， ， ∴或， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴ ∴，． 20.（本小题满分8分）（24-25八年级上·全国·期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）无解 【分析】（）按照解分式方程的步骤解答即可； （）按照解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 解：（1）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得，， 检验：当时，，是增根； 当时，，符合题意； ∴原方程的解为； （2）解：方程两边乘以，得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 21.（本小题满分10分）（25-26九年级上·北京·开学考试）已知关于x的一元二次方程：． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式的意义可得，然后判断即可求解； （2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案． 解：（1）证明：根据题意，得 ， 即， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ， 或， ∴，， ∵方程有一个根为负数， ∴， ∴． 22.（本小题满分10分）（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． 解：（1）解：由题意得：， 即， 解得， 则m的取值范围为； （2）由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：， 即， 解得， 由（1）可知，故符合题意， 因此，m的值为． 23.（本小题满分10分）（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱． （1）要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？ （2）平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由． 【答案】（1）每箱桃子应降价元；（2）平均每天销售桃子盈利不能达到元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量，列出方程求解即可； （2）设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元，根据总利润单箱利润销售量，列出方程，根据一元二次方程根的判别式，即可得出结论． 解：（1）解：设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元， 故， 解得，， ∵要尽量减少库存， 故选择降价更多的，即每箱桃子应降价元， （2）解：平均每天销售桃子盈利不能达到元；理由如下： 设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元， 故， 整理得， ∵， 故方程无实数根，即平均每天销售桃子盈利不能达到元． 24.（本小题满分12分）（2025·新疆乌鲁木齐·一模）复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 【答案】（1）能围成矩形花园，，或，；（2）不能围出矩形花园，理由见解析；（3） 【分析】（1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解； （2）联立，得，根据判别式得到与函数图象没有交点即可求解； （3）联立，得及．因为AB和BC的长均不小于1m，求得当时；当时．要使方程有解，则，且，所以a的取值范围是． 解：（1）由，得， ∴， ∴， ∴， 解得，． 当时，；当时，． 所以能围成矩形花园，，或，． （2）由，得， ∴， ∴， ∵， 所以方程无解，不能围出矩形花园． （3）由，得，，． 因为和的长均不小于， 当时，，代入得，； 当时，，，代入得，． 要使方程有解，则，且． 解得．所以a的取值范围是． 【点拨】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题以及解一元二次方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $