第二十一章一元二次方程单元卷- 2025-2026学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

第21章 一元二次方程（单元卷） （年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用人教版教材地区考题进行精选细编，考察学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·重庆·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-3 2．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 5．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2022 B． C． D．2023 7．（2025·河南漯河·二模）如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）一般我们记．例如：，．如果，那么x的值为（   ） A．5或4 B．或4 C．5或 D．或 9．（24-25八年级下·浙江金华·期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）从，5，三个数中任意选取两个数作为方程的根，可得到三个方程：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·山东·阶段练习）方程的解为 ． 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程有解，则的取值范围是 ． 13．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 14．（24-25八年级下·广西百色·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 15．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）方程的解是 16．（24-25八年级下·山东泰安·期末）小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 ． 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？ 17．（2025·江西·模拟预测）已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为 ． 18．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）用适当的方法求解下列方程： （1）； （2）． 20.（本小题满分8分）（2025·陕西西安·三模）已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个解为，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 21.（本小题满分10分）（2020·广东广州·一模）已知代数式满足． （1）化简； （2）若，求代数式的值． 22.（本小题满分10分）（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． （1）判断该三角形的形状，并说明理由； （2）该三角形的面积为 ． 23.（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 24.（本小题满分12分）（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． （1）求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程（单元卷） （年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用人教版教材地区考题进行精选细编，考察学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·重庆·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．-3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于k的一元一次方程即可。 解：把代入关于x的一元二次方程中，得， 解得， 故选：A． 2．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的概念是解决本题的关键． 移项，配方，根据完全平方公式变形，即可得出选项． 解：将常数项移到等式右边，得到． 取一次项系数4的一半，平方后得4， 将4加到等式两边：． 由此可得：． 因此，方程配方后为选项D． 故选：D ． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答． 解：， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可求得，，从而可得出方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．2022 B． C． D．2023 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ 故选：B 7．（2025·河南漯河·二模）如图，关于的方程中的三个符号，改变其中的两个（“”变为“”或“”变为“”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项均不成立 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算原方程根的判别式，改变①②、①③、②③处符号时对应的根的判别式，即可得出结论． 解：∵， ∴原方程有两个不等的实数根， 改变①②处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， 改变①③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 改变②③处符号时，原方程为， ∴， ∴方程没有实数根， ∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变， 故选：B 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）一般我们记．例如：，．如果，那么x的值为（   ） A．5或4 B．或4 C．5或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了定义新运算，解一元二次方程，先根据新定义得出方程，再求出解即可． 解：， ， ， 即， 或， 解得，． 故选：C． 9．（24-25八年级下·浙江金华·期末）为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 即， 故选：． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）从，5，三个数中任意选取两个数作为方程的根，可得到三个方程：，，．分别计算，，的值，其中最大的值是（　　） A．9 B．19 C．35 D．65 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是明确题意，联立方程组. 分别计算、5，5、，、是方程的根时，，的值，进行比较． 解：当、5是方程的根时， ， 解得： ， 当5、是方程的根时， ， 解得： ， 当、是方程的根时， ， 解得：， ， ， 的值最大为， 故选：C． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·山东·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 解：， ∴， ∴， 解得：，， 故答案为：，． 12．（24-25九年级下·全国·假期作业）若方程有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键． 解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，得关于的不等式，求解即可． 解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， ∴， ∴且． 故答案为：且． 14．（24-25八年级下·广西百色·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况． 解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 15．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）方程的解是 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先变形，再方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，，是分式方程的解， 当时，，不是分式方程的解， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·山东泰安·期末）小明在与Deepseek对话中输入如下的文字，经过40秒的深度思考和验证，Deepseek给出的这个数应该是 ． 有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？ 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意列出关于x的方程和熟练掌握解一元二次方程的基本方法是解题的关键． 设这个输入的数为x，根据题意可得，整理成一般式后利用因式分解法求解可得． 解：设这个输入的数为x， 根据题意可得， 即， ， 解得：． 故答案为：2． 17．（2025·江西·模拟预测）已知，是矩形的对角线，，，若，是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，矩形的性质，根据矩形性质可知方程有两个相等的实数根，再根据判别式等于零列式求解即可 解：，是矩形的对角线， ， ，是关于x的一元二次方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得：， 故答案为： 18．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 【答案】1 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论． 解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）用适当的方法求解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，包括因式分解法和求根公式法，熟练掌握这两种方法是解题的关键． （1） 对于方程 ，可以考虑使用因式分解法来求解，即找到两个数，它们的乘积为，且它们的和为，这两个数分别是和2，所以可以将方程分解为 ，从而得到方程的解． （2） 对于方程 ，由于不易直接因式分解，可以使用一元二次方程的求根公式来求解，即 ，其中 ． 解：（1）解：， ∵ ， ∴ 或 ， ∴ ，． （2）解：∵ ，其中 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，． 20.（本小题满分8分）（2025·陕西西安·三模）已知关于的一元二次方程． （1）若方程的一个解为，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）或；（2）见解析 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入方程，即可求出m的值； （2）求出的值，再根据根的判别式的意义判断即可． 解：（1）解：当时，， 解得或． （2）证明：， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 21.（本小题满分10分）（2020·广东广州·一模）已知代数式满足． （1）化简； （2）若，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了分式的混合运算，以及解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先算括号中的减法，然后将除法变成乘法运算即可； （2）解一元二次方程，将使得有意义的解代入计算即可求出的值． 解：（1）解：原式 ； （2）解方程得： ，， 当时，原分式没有意义， 当时，． 22.（本小题满分10分）（23-24九年级上·广东河源·阶段练习）已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． （1）判断该三角形的形状，并说明理由； （2）该三角形的面积为 ． 【答案】（1）该三角形是等腰三角形或直角三角形，理由见解析；（2）或． 【分析】（1）先解一元二次方程，根据该方程的解分情况讨论，结合等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理即可得解； （2）结合三线合一定理、勾股定理、三角形面积公式进行求解即可． 解：（1）解：三角形第三条边长是方程的一个根， 解方程可得， ，， 分两种情况讨论： ①当第三条边长为时，符合三角形三边关系，有两条边长为， 此时三角形是等腰三角形； ②当第三条边长为时，符合三角形三边关系， ， 该三角形是直角三角形． 故该三角形是等腰三角形或直角三角形． （2）解：①该三角形是等腰三角形时，如下图： 此时，， 作交于点， ， 则， ； ②该三角形是直角三角形时，如下图： 此时，， ． 综上，该三角形的面积为或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查的知识点是解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的判定、勾股定理及其逆定理、三线合一定理，解题关键是熟练掌握解一元二次方程． 23.（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 解：（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根； （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 24.（本小题满分12分）（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）某地一种植户，年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该种植户每年都增加种植面积，到年共种植亩．假设每年的增长率相同． （1）求该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果店销售该种橙子，成本价是元/千克，在销售中发现，当这种橙子的单价定为元/千克时，每天可卖出千克，在此基础上，单价每提高元，每天就少卖千克，若该水果店一天销售这种橙子所获得的利润是元，为了让顾客得到实惠，单价应定为多少元/千克？ 【答案】（1）答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为；（2）答：单价应定为元/千克． 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为，根据题意，列出方程，解出，即可； （2）设单价应定为元/千克，根据题意，列出方程，，解出，即可． 解：（1）解：设该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为， ∴根据题意，， 解得：，（舍）， 答：该种植户这两年种植橙子亩数的平均增长率为． （2）解：设单价应定为元/千克， 根据题意， ， 整理得：， 解得：，， ∵要让顾客得到实惠， ∴满足题意； 答：单价应定为元/千克． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $