第一章特殊平行四边形单元卷- 2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学复习讲义围绕“特殊平行四边形”单元知识体系，通过思维导图清晰呈现矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定之间的逻辑关系，辅以对比表格梳理共性与差异，帮助学生建立结构化认知框架。讲义注重重难点分布，如将“对角线关系”“面积计算”“动点问题”等核心内容分层标注，并结合典型例题展示解题路径，强化几何直观与推理能力。 讲义的亮点在于融合新课标核心素养理念，突出“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”的培养。例如第19题通过构造全等三角形证明菱形，引导学生从图形中抽象出数量关系，发展逻辑推理；第24题动态几何情境设计，要求学生分析点运动过程中线段长度的变化规律，提升建模与问题解决能力。每类题型均配有方法指导与易错提示，基础薄弱生可掌握基本模型，优等生能拓展思维深度，教师据此实现精准教学与分层辅导，助力学生自主复习效率提升。

第1章 特殊平行四边形（单元卷） （年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用北师大版教材地区考题进行精选细编，考察学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，则的长是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 4．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在锐角中，点O是边上的一个动点，过O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．7 8．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，点A，C，E在同一直线上，且，点B，D分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分），三个平行四边形面积从左到右依次分别记为，，，若，则的值为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 9．（24-25九年级下·全国·阶段练习）如图，在平行四边形和平行四边形中，，，点，，在同一直线上，是线段的中点，连接、，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为 ． 12．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 13．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在菱形中，，为对角线，平分，若，则的度数为 °． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，D在x轴上，顶点B，C分别在直线和直线上，则k的值为 ． 15．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 16．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，中，．按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N；②作直线交于点D；③连接．设，若，则的长为 ． 17．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的值为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 18．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）正方形，，，…，按如图方式放置，点，…和点，…，分别在直线和x轴上．已知点，，请写出点的坐标是 ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在矩形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：；（2）连结，若平分，求证四边形的为菱形． 20.（本小题满分8分）（2025·江西·模拟预测）如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C与点A重合，折痕与交于点E． （1）试判断四边形的形状，并证明； （2）若，求梯形的面积． 21.（本小题满分10分）（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在正方形中，E是边上任一点，，垂足为点O，交于点，交于点． （1）证明：； （2）当点是边中点时，试比较和的大小，并说明理由． 22.（本小题满分10分）（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，点E在上，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，连结并延长，交于点． （1）求证：． （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 23.（本小题满分10分）（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形在第一、四象限，边与直线交于点，边与轴交于点，边与轴夹角为，且． （1）若，求点的坐标； （2）若，求的度数； （3）连接，指出的周长随大小的变化而变化的情况，并说明理由． 24.（本小题满分12分）（24-25八年级下·山东菏泽·期中）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图，求证：； （2）如图，过点作交于点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，如图，连接，当，时，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 特殊平行四边形（单元卷） （年级：九年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用北师大版教材地区考题进行精选细编，考察学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 解：在中，是的中点， ， 故选：D． 2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，则的长是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的对角线相等且平分，推出为等边三角形，进而得到，即可得出结果． 解：∵矩形中，对角线交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别．利用矩形和菱形的性质逐项判定即可． 解：A中，对角线互相平分，矩形和菱形都具有，故不符合题意； B中，对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，故不符合题意； C中，对角线平分一组对角，菱形具有而矩形不一定具有，故不符合题意； D中，对角线相等，菱形不一定具有而矩形具有，故符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）在菱形中，对角线与相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查菱形的性质和正方形的判定，熟记判定定理才可正确解答． 根据有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A、，不能判定是正方形，故本选项符合题意； B、，根据菱形的对角线互相平分，，对角线相等的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意； C、，根据对角线相等的菱形是正方形，故本选项不符合题意； D、，则，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：A． 5．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据矩形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据矩形的性质得出，，再说明垂直平分，然后利用三角形面积公式得到关于的方程求解． 解：连接BE，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，，． 若，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键； 根据作图可得四边形是菱形，根据菱形的性质，即可求解． 解：由作图可知，， 四边形是菱形， ，． 故选：B． 7．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在锐角中，点O是边上的一个动点，过O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，由等腰三角形的判定即可得出点O是的中点；利用勾股定理可求得的长，根据直角三角形斜边中线的性质可求得的长． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； ∴点O是的中点， ∵、分别平分和， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理，勾股定理是解题的关键． 8．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，点A，C，E在同一直线上，且，点B，D分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分），三个平行四边形面积从左到右依次分别记为，，，若，则的值为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是是解题的关键． 设，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出，，，根据题意计算即可． 解：设，则，，． 由题意得，，即，解得， 所以， 故选：B． 9．（24-25九年级下·全国·阶段练习）如图，在平行四边形和平行四边形中，，，点，，在同一直线上，是线段的中点，连接、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过延长线段构造全等三角形，利用菱形的性质、全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形和特殊角度的性质，来求解的值．本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握这些图形的性质并通过构造全等三角形将线段关系转化是解题的关键． 解：延长交于点， ，， 平行四边形和平行四边形都是菱形， 是线段的中点， ， 由题意可知， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ， 是等腰三角形， ，（三线合一） 又， ， ． 故答案为：B． 10．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图①，在菱形中，，动点从点出发，沿折线的方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，函数的图象，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质和通过函数图象获取信息．过点作交于点，设菱形的边长为，求出，结合函数图象得出，解方程即可． 解：如图，过点作交于点，设菱形的边长为， 在菱形中，，， 在中，， ∴， ∴ 由图2得 解得，（负值已舍去）， 所以，的长度为， 故选：B． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积、b是两条对角线的长度 由菱形的面积公式，即可计算． 解：，， 菱形的面积 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：25． 13．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在菱形中，，为对角线，平分，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要利用角平分线的定义和菱形的性质来求解的度数．首先，根据角平分线的定义计算的度数；然后，利用菱形的性质得出，从而得到；最后，利用三角形内角和定理计算的度数． 解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，D在x轴上，顶点B，C分别在直线和直线上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 由条件可设，根据正方形性质可得，据此求出即可． 解：∵正方形的顶点A，D在x轴上，顶点B，C分别在直线和直线上， ∴ ∴设， 则， ∴ 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在正方形中，，交于点，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由正方形的性质得到，则可证明，得到，再由三角形外角的性质可得答案． 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，中，．按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N；②作直线交于点D；③连接．设，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，勾股定理，直角三角形的性质， 根据作图过程可知点D是的中点，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理和完全平方公式得，最后代入数值可得答案. 解：根据作图过程可知点D是的中点， 在中，是中线， ∴. 根据勾股定理得,且， ∴， 解得, ∴. 故答案为：. 17．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的值为 ；当线段的长度最小时，的度数为 ． 【答案】 /75度 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形，矩形的性质，直角三角形 ； 过点P作交于E点，设，则，结合直角三角形的性质得到 ，即可求出；设交于点O，当点落在上时，点与点O重合，此时，当时， 的长度最小，再结合矩形的性质计算求解即可． 解：过点P作交于E点， 设， ∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵是矩形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 如下图，设交于点O．         当点落在上时，点与点O重合， 此时， 当时， 的长度最小．     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（2023九年级上·湖南郴州·竞赛）正方形，，，…，按如图方式放置，点，…和点，…，分别在直线和x轴上．已知点，，请写出点的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先求得直线的解析式，分别求得的坐标，总结出规律，再分别求得 的坐标，总结出规律即可求解． 解：∵点，， ∴正方形边长为1，正方形边长为2， ∴，，代入得 ， 解得：， ∴直线的解析式是：． ∵，， ∴的纵坐标是：，的横坐标是：， ∴的纵坐标是：，的横坐标是：， ∴的纵坐标是：，的横坐标是：， ∴的纵坐标是：，的横坐标是：， ∴的纵坐标是：，横坐标是：． ∵，， ∴点的坐标为， ∴的横坐标是：，纵坐标是：，即的坐标是． 故答案是：． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正方形的性质，正确得到点的坐标的规律是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在矩形中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）连结，若平分，求证四边形的为菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识． （1）根据证明即可． （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，可得结论． 解：（1）证明：四边形为矩形， ，， ， ； （2）证明：如图，连接． ， ，， ∴， 四边形是平行四边形． 平分， ， ∵， ， ， ， 四边形是菱形． 20.（本小题满分8分）（2026·江西·模拟预测）如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C与点A重合，折痕与交于点E． （1）试判断四边形的形状，并证明； （2）若，求梯形的面积． 【答案】（1）菱形，见解析；（2）26 【分析】本题考查菱形的判定，勾股定理的应用，解题关键在于熟练掌握其相关知识点； （1）由折叠可知，，再证即可求证； （2）由四边形是菱形，根据勾股定理可得：再用梯形面积求解即可. 解：（1）证明：四边形是菱形 由折叠可知，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； （2）∵ ∴由四边形是菱形，根据勾股定理可得：     ∴梯形的面积为 . 21.（本小题满分10分）（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在正方形中，E是边上任一点，，垂足为点O，交于点，交于点． （1）证明：； （2）当点是边中点时，试比较和的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理． （1）利用正方形的性质以及余角的性质证明，然后利用证明，即可得证； （2）由（1）中的全等三角形我们可得出，因此，和中，有一条公共边，，因此两三角形全等，那么，由（1）知，因此，即可证明． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴； （2）解：∵点E位于线段中点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 22.（本小题满分10分）（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，点E在上，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，连结并延长，交于点． （1）求证：． （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）是菱形，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据题意可得：，平分，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答； （2）先利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用（1）的结论和等量代换可得：，即可解答． 解：（1）证明：由题意得，平分， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形． 23.（本小题满分10分）（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形在第一、四象限，边与直线交于点，边与轴交于点，边与轴夹角为，且． （1）若，求点的坐标； （2）若，求的度数； （3）连接，指出的周长随大小的变化而变化的情况，并说明理由． 【答案】（1）点的坐标为；（2）；（3）的周长为，不会变化，理由见解析． 【分析】（）过作轴于，当时，，由四边形是正方形，则，得到，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解； （）过作轴与，如图，则，由四边形是正方形，则，，证明，所以，由直线可知，设，从而求出，故此求出的度数； （）延长到，，使，连接，由四边形是正方形，则，，证明，所以，，证明，则，然后通过线段和差即可求解． 解：（1）解：过作轴于，如图， 当时， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：过作轴于，如图，则， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由直线可知，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：的周长不改变，理由如下： 延长到，使，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的周长为，不会变化． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，含角的直角三角形三边关系等知识，通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质来求解坐标、角度以及三角形周长问题是解题的关键． 24.（本小题满分12分）（24-25八年级下·山东菏泽·期中）在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图，求证：； （2）如图，过点作交于点，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，如图，连接，当，时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3） 【分析】（1）由正方形的性质，结合三角形全等的判定和性质，即可证得结论； （2）作于点，于点，可证得，可得，由等边对等角，结合直角三角形两个锐角之间的关系，即可证得结论； （3）在延长线上截取，连接，可证得，从而可证得，可得的长度，根据勾股定理，即可得的长． 解：（1）证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：作于点，于点，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，角平分线的性质，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $