专题02 特殊平行四边形折叠问题&角的数量关系（8种类型45道）（高效培优期中专项训练）数学北师大版九年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02特殊平行四边形折叠问题&角的数量关系 (8种类型45道) 考点归纳 考点01菱形相关折叠问题 考点02矩形相关折叠问题 考点03直角三角形斜边上的中线相关折叠问题 考点04正方形相关折叠问题 考点05菱形相关探究角的数量关系 考点06矩形相关角的数量关系 考点07直角三角形斜边上的中线相关角的数量关系 考点08正方形相关角的数量关系 考点专练 考点01菱形相关折叠问题 1.如图菱形ABCD边长为2，将菱形一角沿直线EF折叠，点A落在点M处，点M在菱形ABCD外部，则 图形中阴影部分的周长为() F\B A.8 B.6 C.7 D.5 【答案】A 【详解】解：：菱形ABCD边长为2， .AB=BC=CD=AD=2, 折叠， .AF FM,AE=EM, :阴影部分的周长 =BC+CD+FM +BF+EM +DE=BC+CD+AF+BF+AE+ED=BC+CD+AD+AB=8; 故选A. 2.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是菱形AB、BC边上的点，将△BEF沿着EF折叠，点B恰好落在边 1/43 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 CD中点G上，已知AB=2,∠B=60°，则FG的长度为() 3 A. 5 c D 6-5 【答案】B 【详解】解：过点F作FM⊥CD,交CD延长线于点M, D :菱形ABCD中，AB∥CD, ∴.∠MCF=∠B=60°，∠MFC=30°， 设MC=x,则FC=2x,FM=V3x, :G为CD的中点，AB=CD=2, .CG=1, :MG=x+1, 又：△GEF为△BEF沿EF折叠所得， :FG=BF =BC-FC=2-2x, .在R1△FMG中有(x+1)2+(W3x)2=(2-2x)2, 解得x=3, 10 则FG=2=2x=三3 故选：B. 3.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE,若AB=I0,E为AB的中点， ∠B=60°，则图形BCFE的面积是() A.20W3 B.25√5 C.40√5 D.50W3 2/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接AC, E B C :四边形ABCD是菱形，∠B=60°， AB=BC,，则ABC是等边三角形， :AB=10,E为AB的中点， :BE=AB=5,CE L AB, 21 CE=√BC2-BE2=5V5, S.8CE= 2x5x55=25V5 2 “折叠， S.8CE=S.EFC :图形BCFE的面积是2ScE=25V5,(此时点F,A重合) 故选：B. 4.将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E,F,G,H分别在边CD,BC,AD,AB上)，使 点A和点C在折叠后均落在BC边上的点M处.若LC=45°，DE=CE,EF⊥BC于点F,则△BHM的周 长为() G A.√2a c-} 【答案】c 【详解】解：根据题意，得EC=EM,AH=HM, .HM BH =BH +AH AB. :菱形ABCD的边长为a, :BH AH a. 3/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠C=45°，DE=CE,EF⊥BC, :DE=CE=EM=CD=a,∠C=45°=∠EMF=∠MEF=∠CEF, 2 2 ∴.∠MEC=90°， MC-ME CE 2, .BM=BC-MC=a- 20, 故选：C 5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M,N分别在AB和AD上，沿MN将△AMN折叠，点A恰 好落在边BC上的点E处.若CE=2BE,BM=6,则BE的长为() D B A. 21 B.15 4 C. 【答案】A 【详解】解：过点E作EF⊥AB交AB延长线于点F,则∠F=90°， :∠ABC=120°， ∠CBF=180°-∠ABC=60°， 在RtEBF中，∠BEF=90°-∠EBF=30°， RF-E EF-BE-BF-5BF 设BF=x,则BE=2x,EF=V3x, CE =2BE, .CE =4x,BC=6x, 在菱形ABCD中，AB=BC=6x, :BM=6, AM=6x-6, 由翻折可知：ME=AM=6x-6, 在R1aMEF中，MF=MB+BF=6+x,ME2=MF2+EF2, 4/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (6+x2+3x=(6x-62, 解得，x= 2 8,6=0(不符合题意，舍去) 2121 ∴.BE=2x=2× 8=4 故选：A· D A-------- M B F 6.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=I20°，点M,N分别在AB和AD上，沿MN将△AMN折叠，点A恰 好落在BC边上的点E处.若CE=2BE,AB=6,则AM的长为() D M A. 27 B. 26 7 C.I 【答案】B 【详解】如图所示，过点M作MF⊥BC,交CB的延长线于点F, :四边形ABCD是菱形，且∠ABC=120°，CE=2BE,AB=6, :BC=6,∠MBF=60°，其中BE=2,CE=4. 在Rt△BFM中，∠BMF=30°，设BF=x, .BM =2BF =2x, 根据勾股定理，得MF=VBM2-BF2=√5x .AM=6-2x,EF=2+x, 根据折叠得ME=AM=6-2x, 在Rt△EFM中，EM2=FM2+EF, 即(6-2x)2=(W3x)2+(2+x)2, 解得x- 5M=6-265-9 77 故选：B 5/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 考点02矩形相关折叠问题 7.如图，点O是长方形ABCD对角线交点，E是边上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若 BC=6,则折痕CE=() B E A.25 B.3V3 C.45 D.12 2 【答案】c 【详解】解：根据题意知，沿CE折叠，△BCE与△OCE可以重合， ·△BCE≌△OCE, ∴0C=BC=6,则AC=20C=12,∠C0E=∠CBE=90°. 又O为矩形ABCD的对角线的交点， A0=C0,又0E=0E,∠C0E=LA0E=90° △AOE≌AC0E(SAS .CE=AE, BE AB-AE=AB-CE=AC2-BC2-CE=122-62=63-CE. 在Rt△BCE中，BE2+BC2=CE2 :(63-CE+62=CE2. 解得：CE=4V3 故选：C 8.如图，己知ABCD是长方形纸片，CD=6,AD=I0,在CD上存在一点E,沿直线AE将△AED折叠， D恰好落在BC边上的点F处，则CE的长为() 6/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B C 4.16 15 B. 6 c. 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、勾股定理、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准 对应边.设CE的长为x,根据折叠可得AF10,EF=DE=6-x;然后RIABF中由勾股定理得求出BF 的长，从而得到CF的长，最后在RtAECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2,得到关于x的方程，解 之即可求得CE的长. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形，CD=6,AD=10, :AD=BC=10,CD=AB=6,∠B=∠C=90°， :沿直线AE将△AED折叠，D恰好落在BC边上的点F处， .AF AD =10,EF=DE, 设CE=x,则DE=EF=CD-CE=6-x, 在RtAABF中，BF=√AF2-AB2=V102-62=8, CF=BC-BF=10-8=2, 在RtAECF中，EF2=CE2+CF2, 即(6-x)2=x2+22, 解得：x= 3' 即c- 故选：C. 9.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,连接对角线AC,将△ACD沿AC所在的直线折叠，得到 △ACE,AE交BC于点F.则EF的长是() A.5 B.4 C.3 D.2.4 【答案】C 7/43 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理， 证明AF=CF.根据矩形性质得出AD∥BC,根据平行线的性质得出∠ACB=∠DAC,根据折叠得出 AD=AE=8,∠CAE=∠DAC,证明∠CAE=∠ACB,得出AF=CF,设BF=x,则AF=CF=8-x,根 据勾股定理得出x2+42=(8-x)2,求出x=3，,即可得出答案. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， :AD=BC=8,AB=CD=4,AD /BC, ∠ACB=∠DAC, 由折叠性质，得AD=AE=8,∠CAE=∠DAC, ∠CAE=LACB, :AF=CF 设BF=x,则AF=CF=8-x, 在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF 则x2+42=(8-x)2, 解得x=3, .BF的长为3， AF=5, EF=AE-AF=8-5=3. 故选：C. 10.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=7,点E为边DC上一个动点，把ADE沿AE折叠，当点D的 对应点D落在∠ABC的平分线上时，DE的长为() A. B.5 C.2 D. 5 2 3 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠问题和勾股定理，解题的关键是找出折叠前后相等的线段. 连接BD',过D作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D'P⊥BC交BC于点P,先利用勾股定理求 出MD',再分两种情况利用勾股定理求出DE. 【详解】解：如图，连接BD',过D作MN⊥AB,交AB于点M,CD于点N,作D'P⊥BC交BC于点P, 8/43 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 点D的对应点D落在∠ABC的角平分线上， :MD'=PD', 设MD'=x,则PD'=BM=x, :AM AB-BM =7-x, 又折叠图形可得AD=AD'=5, x2+(7-x)2=25,解得x=3或4， 即MD'=3或4. 在Rt△END'中，设ED'=a, ①当MD'=3时，AM=7-3=4,D'N=5-3=2,EN=4-a, a2=22+(4-a)2, 即DE= 解得a=3 ②当MD'=4时，AM=7-4=3,D'N=5-4=1,EN=3-a, a2=12+(3-a)2, 解符4-子即DE-多 故选：D 11.如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD上的点F处，其中E在 AD上连接AF,则AE=(). F D E B A. 3 B. 2 c.8 D.1 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据折叠得出AB=BF=5,由勾股定理求得CF长，进而求 得DF长，设AE=x,在Rt△DEF中利用勾股定理列出方程求解即可 【详解】解：矩形ABCD中，AB=CD=5,BC=AD=3,由折叠可知，AB=BF=5, :∠C=90°， 9/43 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CF=BF2-BC2=4, DF=1, 设AE=x,则AE=FE=x,DE=3-X, :∠D=90°， EF2=DF2+DE2, .(3-x)2+12=x2, 解得，x=3 5 故选：A. 12.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE,且点D落在对角线AC上 的点D处.若AB=3,AD=4,则ED的长为(). D A.3 B.3 C.1 D.4 【答案】A 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理.根据长方形的性质可得∠B=∠D=90°，CD=AB=3,BC=AD=4 ,在R1aABC中，运用勾股定理求得AC=√AB2+BC=5.设ED=x，,由折叠可得 CD'=CD=3,ED'=ED=x,∠CD'E=∠D=90°，从而AD'=AC-CD'=2,AE=AD-DE=4-x,在 RIAAD'E中，运用勾股定理构造方程即可求解。 【详解】解：因为四边形ABCD是长方形， 所以∠D=90°，AB=CD=3,AD=BC=4, 所以AC=VAD2+CD2=5, 由折叠的性质得：CD=CD'=3,∠D=∠CD'E=90°，DE=D'E, 所以AD'=5-3=2, 设DE=x,则D'E=DE=x, 在RIAAD'E中，AE2=AD2+D'E2,即22+x2=(4-x)2, 3 解得：x= 2 即0- 故选：A. 10/43可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02特殊平行四边形折叠问题&角的数量关系 (8种类型45道) 考点归纳 考点01菱形相关折叠问题 考点02矩形相关折叠问题 考点03直角三角形斜边上的中线相关折叠问题 考点04正方形相关折叠问题 考点05菱形相关探究角的数量关系 考点06矩形相关角的数量关系 考点07直角三角形斜边上的中线相关角的数量关系 考点08正方形相关角的数量关系 考点专练 考点01菱形相关折叠问题 1.如图菱形ABCD边长为2，将菱形一角沿直线EF折叠，点A落在点M处，点M在菱形ABCD外部，则 图形中阴影部分的周长为() A.8 B.6 C.7 D.5 2.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是菱形AB、BC边上的点，将△BEF沿着EF折叠，点B恰好落在边 CD中点G上，已知AB=2,∠B=60°，则FG的长度为() A 3 7 A. 5 B. 5 c.5 D. 5 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE,若AB=I0,E为AB的中点， ∠B=60°，则图形BCFE的面积是() A B A.20V5 B.255 C.40W5 D.50W3 4.将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GHH折叠(E,F,G,H分别在边CD,BC,AD,AB上)， 使点A和点C在折叠后均落在BC边上的点M处.若∠C=45°，DE=CE,EF⊥BC于点F,则△BHM的 周长为() D G A. B.5 √2a 5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M,N分别在AB和AD上，沿MN将△AMN折叠，点A恰 好落在边BC上的点E处.若CE=2BE,BM=6,则BE的长为() M A.4 B.15 c 6.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M,N分别在AB和AD上，沿MN将△AMN折叠，点A恰 好落在BC边上的点E处.若CE=2BE,AB=6,则AM的长为() D M 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27 16 15 A. 6 B.7 C.7 D.7 考点02矩形相关折叠问题 7.如图，点O是长方形ABCD对角线交点，E是边上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若 BC=6,则折痕CE=() D E B A.2N5 8.35 2 C.45 D.12 8.如图，已知ABCD是长方形纸片，CD=6,AD=I0,在CD上存在一点E,沿直线AE将△AED折叠， D恰好落在BC边上的点F处，则CE的长为() E B 16 A.3 15 B.6 c. 2 D 9.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,连接对角线AC,将△ACD沿AC所在的直线折叠，得到 △ACE,AE交BC于点F.则EF的长是() A.5 B.4 C.3 D.2.4 10.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=7,点E为边DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的 对应点D落在∠ABC的平分线上时，DE的长为() D B 3/14 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A 5 B.3 5.5 C.2 D.2或3 11.如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形沿BE折叠，使顶点A落在CD上的点F处，其中E在 AD上连接AF,则AE=(). F ------------B 5 A.3 8.2 c月 D.1 12.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE,且点D落在对角线AC上 的点D处.若AB=3,AD=4,则ED的长为()· E .D D 3 A.2 B.3 C.1 考点03直角三角形斜边上的中线相关折叠问题 13.如图在RtAABC中，∠A=60°，CD平分∠ACB,F为AC中点，E为CB上一点，将aCEF沿EF折 叠，使C点落到G点处，连接GB.当CD⊥GE时，∠BGE的度数为() B D A.5° B.7.5° C.10° D.15° 14.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,点D是BC的中点，将△ABD沿AD折叠，得到 △AED,连接CE,则CE的长度为() 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 15 A.2 B.7 c. . 15.在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点 E的位置，连接AE.若AE∥DC,∠CED=a,则∠EAC等于() B A.a B.90°- C. D.90°-2a 16.如图，Rt△△ABC中，∠ACB=-90°，BC=2,∠A<∠B,沿△ABC的中线CD将△CDA折叠，使点A 落在点E处，若CE恰好与BD垂直，则线段DE的长为() 、D B A.√5 B.25 C.2 D.1 17.在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB=9O°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点 E的位置，连接AE.若AE∥DC,∠B=,则∠EAC等于() 5/14 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 A.a B.90°-0 C.a D.90°-2d 18.如图，三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°，点E为AB的中点，沿过点E的直线折叠使点B 与点A重合，折痕EF交BC于点F,EF=2,则BC的长为() B F A.25 B.3V2 C.4V2 D.6N2 考点04正方形相关折叠问题 19.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使 点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若FN=2-√3，则CD=() B E M D A.2 B.5 c.√2 D.1 20.如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E,F分别在边AB,CD上，∠EFD=60°，若将四边形 EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为() D B A.1 B.√2 c.5 D.2 21.如图，折叠边长为4Cm的正方形纸片ABCD,折痕是DM,点C落在点E处，分别延长ME,DE交 AB于点F,G,若点M是BC边的中点，则AF长() 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F 3 A.4 4 B.3 c. 2.如图，在正方形ABCD中，MN分别是边4DBC上的点，AD=24M= 4,将正方形沿MN 折叠，对应点P恰好落在CD边上，则MN的长度为() D B A.1 B.2 C.5 D.3 23.如图，正方形纸片的边长为2，先将正方形纸片对折，折痕为MN,再把点B折叠到MN上，折痕为 AE,点B对应点为H,则线段HN的长度为() D MA HK NEB A.V3-1 B.1+V5 c.2-5 D.V5-2 24.如图，将一块边长为12cm正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的E点，使DE=5,折痕为P№， 则PQ的长为() D A.12 B.13 c.52 D.5V5 考点05菱形相关探究角的数量关系 7/14 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 25.如图，菱形ABCD中，对角线4C、BD交于点0点E是HB边上一点，连接OE,若OE=BD, 2 ∠BAD=&,则∠AOE=() 4 D 1 A.2 B.20-150 C.90°-1g D.90°-0 26.如图，在菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点O,点E是CD的中点，过点E作EF LCD交AC 于点F,连接BF.若∠BAC=a°，则∠CBF的度数为() D B A.90°-a B.a C.90°-2a° D.2a° 27.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=,BA=BE,则∠AED=() A.90°+ B.90°+20 1 c.90+4 D.180°-a 28.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=a,点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接CE,EF, 若CE=EF,CE⊥BD,则∠DEF一定等于() 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可E A. B.90°、1 a C.90°-0 D.90°+ 29.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AF平分∠BAC交BD于点E,且 点E为线段AF的中点，连接FC并延长至点G,使得CF=CG,连接AG,若∠BAC=2a.则∠G= () D G A.60° B.30°+ C.90°-a D.2a 30.如图，在菱形ABCD中，作FE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点F,连接DF,若∠CDF=Q, 则∠CAB等于() D F A E A.2 B.45°- c.0+号 0.0号 考点06矩形相关角的数量关系 31.如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE,过E作EF⊥AE交BC于点F,连接AF,若 ∠EFC=a,则∠BAF的度数为() D E FC 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2a-90° 日.45+号 .45号 D.90°-0 32.如图，矩形ABCD中，点E为BC边的中点，连接AE,过E作EF⊥AE交CD于点F,连接AF,若 ∠BAE=a,则∠DAF的度数为() D A.45°+0 B. 45°-a C.90°-2a 0.45-号 33.如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C处，BC'交AD于点E,若∠ABE=a,则∠BDC可 以表示为() E D A.90°- 8.90°-1 c.45+0 D.450-1 34.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，EF⊥AE交BC于点F,连接AF.若∠CFE=a,则 ∠BAF的度数为() D E B A.45-号 B.45+号 C.2a-90° D.90°-2a 35.如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE,过E作EF⊥AE交BC于点F,连接AF,若 ∠BAF=a,则∠EAF的度数为() 10/14