第二十一章 一元二次方程 单元练习题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程单元培优练习题 一．选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的为（　　） A．3x2﹣6xy+2＝0 B．x2﹣5＝﹣2x C．x2+3x﹣1＝x2 D．x20 2．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（　　） A．2和3 B．﹣2和3 C．﹣2x和3 D．2x和3 3．下列对一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根 4．已知方程2x2﹣x﹣1＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2的值等于（　　） A．2 B． C． D．﹣1 5．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x﹣3）2＝7 6．如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为x cm，那么x满足的方程是（　　） A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18 C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9 7．已知等腰三角形两边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两个根，则三角形周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．8或10 8．已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 9．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题 11．关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，m＝　 　 ． 12．如果关于x的方程x2+2x+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是 　 　 ． 13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ． 14．设x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）＝8，则k的值是　 　 ． 15．某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为x，则x＝　 　 ． 16．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程为　 　 ． 17．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，则代数式2a2﹣4a+3的值为　 　 ． 18．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为 　 　 ． 三．解答题 19．用指定的方法解方程： （1）2x2﹣8x﹣1＝0（配方法）； （2）3x2﹣5x+1＝0（公式法）； （3）x2﹣6x﹣27＝0（因式分解法）； （4）2（3x﹣2）＝9x2﹣4（用适当的方法）． 20．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m﹣1＝0． （1）试说明：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形面积． 21．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值． 22．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？ 23．如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）． （1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； （2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 24．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元． （1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是　 　 千克（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？ 25．如图，一轮船以40km/h的速度由西向东航行，在途中点C处接到台风警报，台风中心点B正以20km/h的速度由南向北移动．已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC＝500km，BA＝300km．（假定轮船不改变航向）． （1）如果这艘轮船不改变航向，经过11小时，轮船与台风中心相距多远？此时，轮船是否受到台风影响？ （2）如果这艘轮船受到台风影响，请求出轮船受到台风影响一共经历了多少小时？ 26．在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝ 　 　 ，PB＝ 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C C B C B C C 二．填空题 11．解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1， ∴1+2+m＝0， 解得m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 12．解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×m＝4﹣4m≥0， 解得：m≤1． 故答案为：m≤1． 13．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即（2m+1）2﹣4×（m﹣2）2×1＞0， 解这个不等式得，m， 又∵二次项系数是（m﹣2）2≠0， ∴m≠2 故M得取值范围是m且m≠2． 故答案为：m且m≠2． 14．解：由题意得：Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2）≥0，解得k① 又x1+x2＝2（k+1），x1x2＝k2+2 所以（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1 ＝k2+2+2（k+1）+1 ＝k2+2k+5 由已知得k2+2k+5＝8，解得k＝﹣3，k＝1② 由①②得k＝1． 故答案为1． 15．解：依题意，有：100（1+x）2＝144， 1+x＝±1.2， 解得：x＝20%或﹣2.2（舍去）． 故答案为：20%． 16．解：依题意得：100（1﹣x）2＝81． 故答案为：100（1﹣x）2＝81． 17．解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解， ∴a2﹣2a＝1， 则2a2﹣4a+3＝2（a2﹣2a）+3＝2×1+3＝5； 故答案为：5． 18．解：个位数字为x，则十位数字为（x﹣3）， ∴10（x﹣3）+x＝x2， 故答案为：10（x﹣3）+x＝x2． 三．解答题（共8小题） 19．解：（1）原方程移项得，2x2﹣8x＝1， ∴， ∴， 则， ∴或， 解得x1＝2，x2＝2； （2）3x2﹣5x+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）∵x2﹣6x﹣27＝0， ∴（x﹣9）（x+3）＝0， ∴x﹣9＝0或x+3＝0， ∴x1＝9，x2＝﹣3； （4）2（3x﹣2）＝9x2﹣4， 2（3x﹣2）＝（3x﹣2）（3x+2）， 2（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（3x+2）＝0， （3x﹣2）（2﹣3x﹣2）＝0， 3x﹣2＝0或2﹣3x﹣2＝0， ∴，x2＝0． 20．（1）证明：Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1） ＝（m﹣2）2+4， ∵（m﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴方程恒有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝1代入方程得1﹣（m+2）+2m﹣1＝0，解得m＝2， ∴原方程变形为x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，即方程另一根为3， 如果1为腰，∵1+1＜2，∴不满足三角形三边关系定理， 如果3为腰，∵1+3＞3，∴满足三角形三边关系定理， 此时底边上的高为， ∴以此两根为边长的等腰三角形面积1． 21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m． （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2． ∵14， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14， ∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14， ∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14， ∴m＝5或﹣1， 当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去， 当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0， ∴x1+x2＝4，， ∴x1﹣1， ∴4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5． 22．解：设修建的路宽应x米，可列出方程： （20﹣x）（30﹣x）＝551， 整理得：x 2﹣50x+49＝0， 解得：x 1＝1米，x 2＝49米（不合题意舍去）， 答：修建的道路宽为1米． 23．解：（1）∵AD+BC﹣2+AB﹣2＝40，AD＝BC＝x， ∴AB＝﹣2x+44； （2）由题意得﹣2x+44＞x， 解得x， 由题意得（﹣2x+44）•x＝192， 即2x2﹣44x+192＝0， 解得x1＝6，x2＝16， ∵x2＝16（舍去）， ∴AD＝6， ∴AB＝﹣2×6+44＝32． 答：AD长为6米，AB长为32米． 24．解：（1）依题意得：200+400x． 故答案为：200+400x； （2）设应将每千克小型西瓜的售价降低x元，根据题意，得 [（3﹣2）﹣x]（20024＝200 可化为：50x2﹣25x+3＝0， 解这个方程，得x1＝0.2，x2＝0.3． 为使每天的销量较大，应降价0.3元． 答：需将每千克的售价降低0.3元． 25．解：（1）∵CB＝500km，AB＝300km， ∴AC400（km）， 40（km）， ∵40200， ∴此时，轮船受到台风影响； （2） 由题意得： （400﹣40t）2+（300﹣20t）2＝2002， 解得：t1＝7，t2＝15， 轮船受到台风影响时间：15﹣7＝8（小时）， 答：轮船受到台风影响一共8小时． 26．解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动， ∴AP＝tcm， ∵AB＝5cm， ∴PB＝（5﹣t）cm， ∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动， ∴BQ＝2tcm； （2）由题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52， 解得：t1＝0，t2＝2； 当t＝0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm； （3）存在t＝1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下： 长方形ABCD的面积是：5×6＝30（cm2）， 使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30﹣26＝4（cm2）， （5﹣t）×2t4， 解得：t1＝4（不合题意舍去），t2＝1． 即当t＝1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/9 23:16:12；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $