精品解析：陕西省商洛市镇安县2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷

镇安县2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷共4页，总分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的准考证号、姓名及考场号； 3．所有答案必须在答题卡上指定区域作答；选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚； 4．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效； 5．保持卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个罗马数字中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “若、异号，则”这一事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定事件 3. 已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为(﹣2，3)，则点B的坐标是（ ） A. (﹣3，2) B. (﹣2，﹣3) C. (3，﹣2) D. (2，﹣3) 4. 二次函数的图象与x轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 根据m的值而定 5. 已知：如图, ⊙O的两条弦AE、BC相交于点D,连接AC、BE.若∠ACB＝60°,则下列结论中正确的是（ ） A. ∠AOB＝60° B. ∠ADB＝60° C. ∠AEB＝60° D. ∠AEB＝30° 6. 二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 小明制作了张卡片，分别涂上了红、黑、蓝三种颜色．从这三张卡片中一次随机抽取两张，恰好是“红、蓝”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 顶点为P的抛物线与y轴相交于点A，把该抛物线绕顶点P旋转得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 已知a为方程的一个根，则代数式的值为__________． 12. 如图，正六边形内接于半径为5的圆，则、两点间的距离为__． 13. 如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在边上，且，若，则旋转过程中，点所经过的路径的长为______．（结果保留） 14. 已知二次函数的图象如图所示，，对称轴为，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为______． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式． 17. 如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 一个不透明的口袋中装有7个红色的小立方块和若干个黄色的小立方块，这些小立方块除了颜色外其他都相同．从口袋中随机摸出一个小立方块，记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了300次，其中105次摸到红色的小立方块．试估计口袋中大约有多少个黄色小立方块? 19. 如图，中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点恰好为的中点． （1）求出旋转角的度数； （2）求出的度数和的长． 20. 已知：如图， ，在射线上顺次截取cm，cm，以为直径作交射线 于 、 两点． （1）求圆心到的距离； （2）求弦的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于原点成中心对称的； （2）在图中画出将绕着点按顺时针方向旋转得到的，并写出点的对应点的坐标． 22. 镇安县位于秦巴山集中连片特困地区，是国家扶贫开发工作重点县．面对当前贫困群众的“五难”问题，镇安县结合县情实际，探索推行大户带、企业带、“三社带”（合作社、信用社、供销社）和联产、联业、联股、联营为主的“三带四联”精准扶贫新路子，加快了镇安县脱贫减贫步伐．为了解该县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了户（分别记为，，，），每天随机选择其中一户进行调查，且调查过的贫困户不再进行调查． （1）求第一天选择户进行调查的概率； （2）用树状图或列表的方法求前两天调查完，两户的概率． 23. 如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏． （1）若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙的长； （2）求矩形花园面积的最大值． 24. 如图，是的内接三角形，AB是的直径，，交于点F，点E在的延长线上，射线经过点C，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为1，求的长． 25. 如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇安县2020~2021学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷共4页，总分120分，考试时间为120分钟； 2．答题前，考生需准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的准考证号、姓名及考场号； 3．所有答案必须在答题卡上指定区域作答；选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚； 4．请按照题号在各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效； 5．保持卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个罗马数字中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. “若、异号，则”这一事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件以及确定事件的概念，正确把握相关定义是解题关键． 根据事件发生的可能性大小判断事件的类型即可． 【详解】解：若、异号，可能出现，，， ∴若、异号，是随机事件． 故选：A ． 3. 已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为(﹣2，3)，则点B的坐标是（ ） A. (﹣3，2) B. (﹣2，﹣3) C. (3，﹣2) D. (2，﹣3) 【答案】D 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(﹣x，﹣y) ． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，点A的坐标为(﹣2，3)， ∴点B的坐标是(2，﹣3)． 故选：D． 【点睛】此题主要考查坐标的对称性，解题的关键是熟知平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(﹣x，﹣y) ． 4. 二次函数的图象与x轴的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 根据m的值而定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，正确掌握方程的根的情况和抛物线与轴交点的个数之间的关系是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，然后由△即可判断． 【详解】解：令，则， ， 方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与轴有两个交点， 故选：C． 5. 已知：如图, ⊙O的两条弦AE、BC相交于点D,连接AC、BE.若∠ACB＝60°,则下列结论中正确的是（ ） A. ∠AOB＝60° B. ∠ADB＝60° C. ∠AEB＝60° D. ∠AEB＝30° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，由圆周角定理可知，,综合分析选项C正确. 考点：圆周角定理的应用. 6. 二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的各项系数，可知抛物线的对称轴是，应在轴左侧，故排除B选项和D选项；当抛物线开口向上时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，故排除A选项． 【详解】解：二次函数（）的对称轴是， 抛物线的对称轴在轴的左侧， 当时，， 抛物线与轴的交点坐标是， A选项：抛物线开口向上， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， 故A选项不符合题意； B选项：抛物线的对称轴是， 抛物线的对称轴在轴的左侧， 故B选项不符合题意； C选项：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点的坐标在轴的负半轴， 又抛物线的对称轴是，在轴的左侧， 符合要求， 方程中，， 抛物线与轴没有交点， 故C选项符合题意； D选项：抛物线的对称轴是， 抛物线的对称轴在轴的左侧， 故D选项不符合题意． 故选：C． 7. 小明制作了张卡片，分别涂上了红、黑、蓝三种颜色．从这三张卡片中一次随机抽取两张，恰好是“红、蓝”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键．先画出树状图，列出所有等可能的出现结果，从而得出随机抽取两张恰好是“红、蓝”的结果数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图如图： 共有个等可能的结果，从这三张卡片中一次随机抽取两张恰好是“红、蓝”的结果有个， 从这三张卡片中一次随机抽取两张，恰好是“红、蓝”的概率是． 故选：C ． 8. 某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x， 根据题意得，， 解得，（不合题意，舍去）． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，最后根据弧中点的性质得到与的关系，进而求出的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ∵ 平分 ∴ ∵ 点是劣弧的中点 ∴ ∴ ． 故选：B． 10. 顶点为P的抛物线与y轴相交于点A，把该抛物线绕顶点P旋转得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和抛物线将一般式转化顶点式的能力．根据题目要求，求出A和B的坐标，再求出三角形的面积即可． 【详解】解：由题意知，所构成的大致图像如图所示： ∵抛物线与y轴相交于点A， ∴当时，， ∴点A的坐标为， 将抛物线一般式转化为顶点式得：， ∴顶点P的坐标为， 把它绕顶点P旋转得到一个新的抛物线是， ∴与y轴的交点B为，顶点P的坐标为， ∴． 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11. 已知a为方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】把a代入方程，得到关于a的代数式的值，求解即可． 【详解】解：∵a为方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，把a代入方程，得到关于a的代数式的值是解题的关键． 12. 如图，正六边形内接于半径为5的圆，则、两点间的距离为__． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意可以求得∠BAE的度数，由正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，可以求得B、E两点间的距离． 【详解】解：连接、，如图所示， 六边形是正六边形， ，， ， ， 是正六边形的外接圆的直径， 正六边形内接于半径为5的圆， ， 即、两点间的距离为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 13. 如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在边上，且，若，则旋转过程中，点所经过的路径的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算、旋转的性质，掌握弧长公式是解题的关键．连接、，根据旋转的性质可得，，得到，从而根据等腰直角三角形的性质得到，，进而求得旋转角的度数和的长，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接、， 由旋转的性质可知，，， ， ， 在中，， ，， ，，即旋转角为， ， 在中，， 的长为． 14. 已知二次函数的图象如图所示，，对称轴为，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上可得，，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据当时，即可判断②错误；根据时的函数值与时的函数值相等可得当时，，由此即可判断③正确；求出当时，取得最大值，最大值为，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，则结论②错误； 由函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，则结论③正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵当时，， ∴当时，， ∴，则结论④正确； 综上，正确结论的序号为①③④， 故答案为：①③④ 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键．根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：移项，得 则 ∴或 解得． 16. 将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式． 【答案】 【解析】 【分析】先把配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为，再把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， 所以平移后得到的抛物线解析式为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 17. 如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、用尺规作图作已知线段的垂直平分线，利用尺规作图分别作的边和的垂直平分线，两直线交于点，点即为外接圆的圆心，以点为圆心，为半径画即为所求． 【详解】解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 分别以、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 直线和直线相交于点， 以点为圆心，为半径画． 18. 一个不透明的口袋中装有7个红色的小立方块和若干个黄色的小立方块，这些小立方块除了颜色外其他都相同．从口袋中随机摸出一个小立方块，记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了300次，其中105次摸到红色的小立方块．试估计口袋中大约有多少个黄色小立方块? 【答案】估计口袋中有13个黄色小立方块 【解析】 【分析】先求出摸到红色小立方块的概率，进而求出小立方块的总数，即可得出黄色小立方块的个数． 【详解】解：一共摸了300次，其中105次摸到红色的小立方块， 摸到红色小立方块的概率为：， 一个口袋中装有7个红色的小立方块和若干个黄色的小立方块， 小立方块总数为：（个）， 黄色小立方块有（个）． 答：估计口袋中有13个黄色小立方块． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，把实际问题转化为数学问题，灵活运用概率公式是解题的关键． 19. 如图，中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点恰好为的中点． （1）求出旋转角的度数； （2）求出的度数和的长． 【答案】（1）旋转角度是 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可知对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，所以可求出: , 从而确定旋转角度； （2）利用周角的定义可求出, 全等的性质可知． 【小问1详解】 根据旋转的性质可知：， ∴旋转角度是． 【小问2详解】 由旋转可知：， ∴，，， ∴． ∵为的中点， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 20. 已知：如图， ，在射线上顺次截取cm，cm，以为直径作交射线 于 、 两点． （1）求圆心到的距离； （2）求弦的长． 【答案】（1）4cm （2）6cm 【解析】 【分析】（1）过点作于，如图，根据含度的直角三角形三边的关系求出即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出 即可． 【小问1详解】 解：过点作于，如图， ， ， ， 在中，， ， 即圆心到的距离为4cm； 【小问2详解】 解：连接，如图， ， ， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形、垂径定理、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于原点成中心对称的； （2）在图中画出将绕着点按顺时针方向旋转得到的，并写出点的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图所示． （2） 如图所示． 的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质得出坐标，进而画出图形即可； （2）根据旋转的性质分别画出点、、绕着点按顺时针方向旋转后的点、、，并写出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查中心变换和旋转，熟练掌握中心变换和旋转的定义是解题的关键． 22. 镇安县位于秦巴山集中连片特困地区，是国家扶贫开发工作重点县．面对当前贫困群众的“五难”问题，镇安县结合县情实际，探索推行大户带、企业带、“三社带”（合作社、信用社、供销社）和联产、联业、联股、联营为主的“三带四联”精准扶贫新路子，加快了镇安县脱贫减贫步伐．为了解该县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了户（分别记为，，，），每天随机选择其中一户进行调查，且调查过的贫困户不再进行调查． （1）求第一天选择户进行调查的概率； （2）用树状图或列表的方法求前两天调查完，两户的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图，列出所有等可能的出现结果，从而得出前两天调查完，两户的结果数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：第一天选择户进行调查的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 前两天选择的方案共有种等可能的结果，其中前两天调查完，两户的有种情况， 所以前两天调查完，两户的概率为． 23. 如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏． （1）若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙的长； （2）求矩形花园面积的最大值． 【答案】（1）4米 （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出二次函数关系式，是解题的关键： （1）设，则：，所围成的矩形花园的面积为，根据面积公式列出函数关系式，令，求出的长即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设，所围成的矩形花园的面积为，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得：，（舍去）， ∴（米）； 答：所利用旧墙的长为米； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最大为：， 答：矩形花园面积的最大值为平方米． 24. 如图，是的内接三角形，AB是的直径，，交于点F，点E在的延长线上，射线经过点C，且． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为1，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，得到，再根据，，得到，利用，得到，即：，即可得证； （2）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得到，根据，得到，从而得到是等边三角形，即可得到的长． 【小问1详解】 证明：连接OC，如图． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时点P （3）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点，则点，利用水平宽乘以铅垂高除以2的方法表示出的面积，根据二次函数的性质即可求解； （3）分、两种情况，利用等腰三角形性质分别求解即可． 【详解】解：（1）由题意得抛物线的表达式为， ∴，解得， 故抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 故直线的表达式为 设点，则点， ， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为，此时点； （3）存在，理由： 由（2）知，若设点， 则点，，且知点， ①当时，则点C在的中垂线上， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点； ②当时，由，易得， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，在第（3）问注意分类求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $