3.3 数量之间的关系 教学设计 2025-2026学年冀教版七年级上册数学

冀教版初中数学七年级上册 第三章代数式3.3数量之间的关系教学设计 一、内容和内容解析 内容： 本节课主要内容是“数量之间的关系”，重点学习如何用代数式表示实际问题中数量之间的变化规律。教材通过“数阵” “点阵” “图形分割”等具体情境，引导学生发现数量之间的内在联系，并用含字母的代数式进行表达。内容包括：用代数式表示数阵中若干数的和、点阵的总点数、图形阴影部分面积等，并进一步推广到一般规律的表达。 内容解析： 数量关系是代数的核心内容之一，是学生从算术思维向代数思维过渡的关键。本节内容通过多个具体实例，帮助学生体会如何从特殊到一般，从具体到抽象，用代数式刻画变化规律。教学中应注重引导学生观察、归纳、表达，培养其符号意识和抽象思维能力，为后续学习函数、方程等内容打下基础。 二、目标和目标解析 目标： 1. 能根据具体情境列出代数式，表示数量之间的关系。 1. 能通过观察、归纳发现变化规律，并用代数式进行一般化表达。 1. 能运用所学知识解决简单的实际问题，增强数学应用意识。 目标解析： 通过本节课的学习，学生应能理解代数式不仅是数的表示，更是关系的表达。学生将通过探究数阵、点阵、图形分割等实际问题，学会用字母表示变量，用代数式表示数量之间的变化规律，并能够运用这一方法解决类似问题，提升抽象思维和数学建模能力。 三、教学问题诊断分析 1. 学生对变量概念理解不深，容易将字母视为具体数值，难以理解其代表变化量。 1. 学生归纳能力较弱，往往只能看到具体数值关系，难以抽象出一般规律。 1. 学生在列代数式时符号使用不规范，如漏写乘号、括号使用不当等。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1： 同学们，请看课本图3.3-1，这是一个由1到120的整数排成的数阵。如果我们用一个方框围住9个数，这9个数的和会随着方框位置的变化而变化。你能发现什么规律吗？ 问题2： 如果我们设方框左上角的数为 ，你能用含 的代数式表示这9个数的和吗？ 问题3： 如果设正中间的数为 ，你还能用 表示这9个数的和吗？这两种表示方法之间有什么联系？ 设计意图： 通过数阵这一具体情境，激发学生兴趣，引导他们从具体数值中发现规律，逐步过渡到用字母表示变量，培养符号意识和抽象思维能力。对应目标1和目标2。 （二）合作探究1 教师引导： 同学们，我们来看课本图3.3-1，这是一个由1~120的连续整数排列成的数阵。如果我们用一个3×3的方框在其中移动，框住的9个数的和会随着方框位置的变化而变化。我们来一起探究其中的规律。 问题1： 如果我们设方框左上角的数为 ，那么这9个数分别该如何表示？ 学生回答： 第一行： 第二行： 第三行： （教师可引导学生观察每行数字之间的差值与数阵总列数的关系） 问题2： 现在请计算这9个数的和 ，并用含 的代数式表示。 学生计算： 合并同类项： ∴ 用含 的代数式表示为： 追问1： 请计算当 时，S 的值分别是多少？ 学生计算： · · · 追问2： 如果我们设方框正中间的数为 ，你能找出 与 之间的关系吗？ 学生回答： 观察数阵结构，中间数 位于第二行第二列，因此： （因为从左上角向右1列、向下1行，每行为7个数，故偏移量为7+1=8） 追问3： 你能用含 的代数式表示这9个数的和 吗？ 学生推导： 由 得 ，代入 ： ∴ 用含 的代数式表示为： 教师总结： 由此可见，无论方框移到何处，这9个数的和总是中间数的9倍。这是一个非常有用的规律，帮助我们快速计算数阵中局部区域的和。 （三）巩固练习1 1. 若方框左上角的数为 10，求这9个数的和。 · 答案： 1. 若正中间的数为 20，求这9个数的和。 · 答案： （四）合作探究2 教师引导： 接下来我们研究点阵中的数量关系。请看课本图3.3-2和图3.3-3，分别是实心点阵和空心点阵。我们要用含 的代数式表示它们的总点数 和 。 探究2.1：实心点阵（图3.3-2） 问题： 这是一个 行 列的点阵，总点数 如何表示？ 学生回答： 探究2.2：空心点阵（图3.3-3） 问题： 这是一个每条边上都有 个点的空心方阵，总点数 如何表示？ 学生尝试1： 先算四条边：每条边有 个点，共 个点，但四个角被重复计算了，所以： 学生尝试2： 也可以看作是一个 的实心点阵去掉中间 的点阵： 展开得： 学生尝试3： 还可以看作上下各一条边（各 个点），左右各去掉端点后的 个点： 教师引导： 这三种方法得到的表达式都是 ，说明它们是等价的。这体现了数学中“一题多解”的思想，也说明我们可以从不同角度理解同一个问题。 研究3： 你能证明 也与 等价吗？ 学生验证： 完全等价。因此空心点阵的总点数也可表示为 。 教师总结： 通过这个探究，我们学会了用多种方式表示空心点阵的总点数，并且验证了这些表达式的等价性。这不仅锻炼了我们的代数表达能力，也培养了多角度思考问题的能力。 设计意图说明： 合作探究1 通过数阵中局部求和问题，引导学生从具体数值过渡到抽象符号表达，并发现“和与中间数成正比”的规律，培养符号意识和归纳能力。 合作探究2 通过点阵问题，引导学生从不同角度理解同一数量关系，并验证不同表达式的等价性，培养多向思维和代数推理能力。 两者均紧扣教材内容，难度适中，符合当前中考对代数表达能力的要求。 （五）典例分析 例1： 如图3.3-5，大正方形边长为1，每次分割后涂阴影，求第 个图形中阴影部分的面积 。 分析： · 图(1)：空白正方形边长为 ，阴影面积 · 图(2)：空白正方形边长为 ，阴影面积 · 第 个图形：空白正方形边长为 ，阴影面积 设计意图： 通过图形分割问题，帮助学生理解面积变化规律，进一步巩固用代数式表示数量关系的能力。对应目标2和目标3。 （六）巩固练习 1. 观察规律：，用含 的代数式表示 。 · 答案： 1. 点阵中每行比上一行多一个点，最后一行有 个点，求总点数 。 · 答案： 1. 第 组水稻种子发芽试验应取多少粒？ · 答案： 设计意图： 通过不同形式的练习，巩固学生对代数式表示数量关系的理解，提升其应用能力。对应目标1、2、3。 （七）归纳总结 知识点 代数式表示 数阵9个数和（左上角为 ） 数阵9个数和（中间数为 ） 实心点阵总点数 空心点阵总点数 图形阴影面积（第 个） （八）感受中考 1. （2024·河北）若第 个图形中共有 37 个三角形，求 。 · 答案： 1. （2024·北京）挪动 10 颗珠子时所得分数为多少？ · 答案： 1. （2025·天津）第 5 层中共有多少个等边三角形？ · 答案： 30 1. （2025·河北）第 行最后一个数是多少？ · 答案： 设计意图： 通过中考真题练习，帮助学生熟悉考试题型，明确学习方向，提升应考能力。 （九）小结梳理 知识点 表示方法 关系说明 数阵求和 与左上角数相关 数阵求和 与中间数相关 点阵总数 实心方阵 点阵总数 空心方阵 图形面积 阴影部分面积变化规律 （十）布置作业 必做题： 1. 课本P115练习第1题； 1. 课本P116习题A组第1、2题； 1. 课本P117习题B组第3题。 选做题： 1. 课本P117习题C组第5题； 1. 自编一道用代数式表示数量关系的实际问题。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $