第13章三角形单元测试题4（基础巩固）2025-2026学年人教版数学八年级上册

第13章三角形单元测试题4（基础巩固） 一．选择题（共10小题） 1．等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定 2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE，CE分别平分∠DBC和∠DCB，则∠BEC等于（　　） A．140° B．150° C．165° D．170° 3．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4．下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　） A．30° B．15° C．60° D．25° 6．如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，若∠DCE＝48°，则∠ACB的度数为（　　） A．28° B．29° C．100° D．110° 7．将一副普通的直角三角尺ADE和ABC如图放置，点D恰好落在BC边上，三角尺中∠ABC＝60°，较长的边AE∥BC，则∠FAD的度数是（　　） A．30° B．25° C．10° D．15° 8．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A等于（　　） A．90°﹣α B．90°α C．180°α D．180°﹣2α 9．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 10．如图，在直角△ABC和直角△DEF中，∠D＝30°，∠CAB＝45°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 二．填空题（共6小题） 11．如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若AD∥BC，DB＝DC，∠A＝∠BDC＝40°，则∠ABD＝ 　 　 °． 12．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE＝　 　 度． 13．如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　 　 ． 14．已知△ABC的三条边长为2，x﹣1，7，则x的取值范围是 　 　 ． 15．已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边为x，则x的取值范围是 　 　 ． 16．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 17．如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数． 18．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，AB＝9cm，AC＝6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长大多少？ 19．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G． （1）若BD＝DE，求证：CD＝DF； （2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数． 20．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上．已知DE∥BC，∠EDC＝40°，∠AED＝80°． （1）求证：CD平分∠ACB； （2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，求∠BFC的度数． 21．如图，D、E、F、G是△ABC边上的点，∠BAC＝∠BED，∠ADE＝∠CGF． （1）求证：AD∥GF； （2）若AD平分∠BAC，∠AED＝100°，∠C＝55°，求∠CFG的度数． 22．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 23．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处， （1）若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由； （2）若∠B+∠C＝130°，求∠1+∠2的度数． 24．在△ABC中，CE平分∠ACB，∠A＞∠B． （1）如图1，若CD⊥AB于点D，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 　 　 ； （2）如图1，若CD⊥AB于点D，猜想并写出∠A、∠B、∠DCE之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，设∠A＝α，∠B＝β，当点F在射线EF上时（不与点E重合），且DF⊥AB于点D，直接写出∠DFE的度数为：　 　 ．（用含α、β的式子表示）． 25．【问题】 如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝　 　 ；若∠A＝a°，则∠BEC＝　 　 ． 【探究】 （1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC＝　 　 ； （2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由； （3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 26．（1）如图1，在△ABC中，已知∠A＝50°，点E在线段BC的延长线上，∠ABC和∠ACE的角平分线交于点D，则∠D＝ 　 　 ； （2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB等于多少（用α，β表示）？ （3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＜180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB等于多少（用α，β表示）？ 第13章三角形单元测试题4（基础巩固） 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B B A D D C D 1．等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为（　　） A．13 B．17 C．13或17 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：当相等的两边是3时，3+3＜7，不能组成三角形，应舍去； 当相等的两边是7时，能够组成三角形，此时周长是7+7+3＝17． 2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，BE，CE分别平分∠DBC和∠DCB，则∠BEC等于（　　） A．140° B．150° C．165° D．170° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°， 又∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB， ∴， ∴， ∵BE，CE分别平分∠DBC和∠DCB， ∴， ∴， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝150°， 3．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为k°，2k°，3k°． 则k°+2k°+3k°＝180°， 解得k°＝30°， ∴k°＝30°，2k°＝60°，3k°＝90°， 所以这个三角形是直角三角形．故选：D． 4．下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 5．如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　） A．30° B．15° C．60° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵∠E＝45°，∠D＝90°，∠DAE+∠D+∠E＝180°， ∴∠DAE＝45°， ∵∠DAE＝∠F+∠ABF，∠F＝30°， ∴∠ABF＝15°． 6．如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，若∠DCE＝48°，则∠ACB的度数为（　　） A．28° B．29° C．100° D．110° 【答案】A 【解答】解：∵CE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∵∠DCE＝48°， ∴∠EDC＝90°﹣48°＝42°， 设∠A＝∠ACB＝α， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD， ∵∠EDC是△ADC的外角， ∴∠EDC＝∠A+∠ACD， ∴α42°， ∴α＝28°， 即∠ACB的度数为28°． 7．将一副普通的直角三角尺ADE和ABC如图放置，点D恰好落在BC边上，三角尺中∠ABC＝60°，较长的边AE∥BC，则∠FAD的度数是（　　） A．30° B．25° C．10° D．15° 【答案】D 【解答】解：∵AE∥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝30°， ∴∠E＝45°，∠ADE＝90° ∴∠EAD＝180°﹣∠ADE﹣∠E＝45°， ∴∠FAD＝∠EAD﹣∠CAE＝15°． 8．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A等于（　　） A．90°﹣α B．90°α C．180°α D．180°﹣2α 【答案】D 【解答】解：α＝180°﹣（∠DBC+∠DCB） ＝180°（∠CBE+∠BCF）＝180°（∠A+∠ACB+∠BCF）＝180°（180°+∠A）＝90°∠A． 则∠A＝180°﹣2α． 9．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， 在△DBC中，∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°． 10．如图，在直角△ABC和直角△DEF中，∠D＝30°，∠CAB＝45°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【答案】D 【解答】解：∵DF∥AB，∠D＝30°， ∴∠DAB＝∠D＝30°， ∵∠CAB＝45°， ∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝15°． 二．填空题（共6小题） 11．如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若AD∥BC，DB＝DC，∠A＝∠BDC＝40°，则∠ABD＝ 　70　 °． 【答案】70． 【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°． 又∵∠A＝40°， ∴∠ABC＝140°． ∵DB＝DC，∠BDC＝40°， ∴∠DBC＝∠C70°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°． 12．如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DAE＝　10　 度． 【答案】10． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°， 又∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC80°＝40°． ∵AD是BC上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°． 13．如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　45°　 ． 【解答】解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°． ∵ED⊥BC， ∴△EDC为直角三角形， ∴∠FDB＝30°， ∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°， ∴∠EFD＝45°． 14．已知△ABC的三条边长为2，x﹣1，7，则x的取值范围是 　6＜x＜10　 ． 【答案】6＜x＜10． 【解答】解：根据“两边之差＜第三边＜两边之和”得：7﹣2＜x﹣1＜7+2， 即6＜x＜10． 15．已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边为x，则x的取值范围是 　4＜x＜10　 ． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为3、7， ∴第三边x的取值范围是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10． 16．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 　20°或60°　 ． 【解答】解：如图所示，当∠BFD＝90°时， ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°， ∴Rt△ADF中，∠ADF＝60°； 如图，当∠BDF＝90°时， 同理可得∠BAD＝30°， ∵CE是△ABC的高，∠BCE＝50°， ∴∠BFD＝∠BCE＝50°， ∴∠ADF＝∠BFD﹣∠BAD＝20°， 综上所述，∠ADF的度数为20°或60°． 三．解答题（共22小题） 17．如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数． 【解答】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°． ∵AF平分∠BAC， ∴∠CAF∠BAC＝34°． ∵AD⊥BC，∠C＝76°， ∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝14°， ∴∠DAF＝∠CAF﹣∠CAD＝34°﹣14°＝20°． 18．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，AB＝9cm，AC＝6cm，则△ABD的周长比△ACD的周长大多少？ 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠1+∠2＝70°， ∴∠3＝∠4＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴AB＝9cm，AC＝6cm， ∴AB﹣AC＝3， △ABD的周长减△ACD的周长＝AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3（cm）， ∴△ABD的周长比△ACD的周长大3cm． 19．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G． （1）若BD＝DE，求证：CD＝DF； （2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数． 【答案】（1）见解析； （2）60°． 【解答】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠E＝∠CBD， 在△BCD和△EFD中， ， ∴△BCD≌△EFD（ASA）， ∴CD＝DF； （2）解：∵BG＝GE， ∴∠GBE＝∠E＝25°， 由（1）知∠E＝∠CBD＝25°， ∴∠ABC＝∠GBE+∠CBD＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°． 20．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上．已知DE∥BC，∠EDC＝40°，∠AED＝80°． （1）求证：CD平分∠ACB； （2）过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F，若∠A＝52°，求∠BFC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）116°． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠BCD＝∠EDC＝40°， ∴∠ACB＝∠AED＝80°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝80°﹣40°＝40°． ∴∠ACD＝∠BCD， ∴CD平分∠ACB； （2）解：∵∠A＝52°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣80°﹣52°＝48°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠FBC∠ABC48°＝24°， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣24°﹣40°＝116°， 所以∠BFC的度数为116°． 21．如图，D、E、F、G是△ABC边上的点，∠BAC＝∠BED，∠ADE＝∠CGF． （1）求证：AD∥GF； （2）若AD平分∠BAC，∠AED＝100°，∠C＝55°，求∠CFG的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）85°． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠BED， ∴AC∥DE，∴∠ADE＝∠DAC， ∵∠ADE＝∠CGF，∴∠DAC＝∠CGF， ∴AD∥GF； （2）解：由（1）知AC∥DE，AD∥GF， ∵∠AED＝100°， ∴∠BAC＝180°﹣100°＝80°， ∵AD平分∠BAC，∴∠DAC∠BAC＝40°， ∵∠C＝55°， ∴∠ADC＝180°﹣40°﹣55°＝85°， ∵AD∥GF， ∴∠CFG＝∠ADC＝85°． 22．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析； （2）△ABC的周长为48． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解：∵DF⊥BE， ∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． 23．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处， （1）若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由； （2）若∠B+∠C＝130°，求∠1+∠2的度数． 【答案】（1）见解析； （2）100°． 【解答】解：（1）∠1＝∠2，理由如下： ∵∠D是由∠A翻折得到， ∴∠D＝∠A， ∵DE∥AC， ∴∠1＝∠A，∠2＝∠D， ∴∠1＝∠2． （2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠AEF+∠AFE＝180°， ∴∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝130°， ∵△DEF是△AEF由翻折得到， ∵∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE， ∴∠AED+∠AFD＝260°， ∵∠1+∠2+∠AED+∠AFD＝360°， ∴∠1+∠2＝100°． 24．在△ABC中，CE平分∠ACB，∠A＞∠B． （1）如图1，若CD⊥AB于点D，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 　15°　 ； （2）如图1，若CD⊥AB于点D，猜想并写出∠A、∠B、∠DCE之间的数量关系，并说明理由； （3）如图2，设∠A＝α，∠B＝β，当点F在射线EF上时（不与点E重合），且DF⊥AB于点D，直接写出∠DFE的度数为：　　 ．（用含α、β的式子表示）． 【答案】（1）15°； （2）∵∠ACB+∠B+∠A＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A， ∵CE平分∠BCA， ∴， ∵CD⊥BA， ∴∠ADC＝90° ∴∠ACD＝90°﹣∠A， ∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD （180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠A） ； （3）． 【解答】解：（1）∵∠A＝70°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE∠ACB＝35°， ∵CD⊥AB，∠A＝70°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°， ∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝15°， 故答案为：15°； （2），理由如下： 如图1， ∵∠ACB+∠B+∠A＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A， ∵CE平分∠BCA， ∴， ∵CD⊥BA， ∴∠ADC＝90° ∴∠ACD＝90°﹣∠A， ∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD （180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠A） ， （3）如图2，∠A＝α，∠B＝β， ∵∠ACB+∠B+∠A＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣β﹣α， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE∠ACB（180°﹣β﹣α）， ∴∠DEC＝∠A+∠ACE＝α（180°﹣β﹣α）＝90°αβ， ∵DF⊥AB， ∴∠FDE＝90°， ∴∠DFE＝∠DEC﹣∠FDE＝（90°αβ）﹣90°αβ， 即∠DFE 的度数为， 故答案为：． 25．【问题】 如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝　131°　 ；若∠A＝a°，则∠BEC＝　　 ． 【探究】 （1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC＝　　 ； （2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由； （3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 【答案】问题：131°，；（1）；（2），理由见解析；（3），理由见解析． 【解答】解：问题：若∠A＝82°， 则∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝98°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴，， ∴， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝131°， 故答案为：131°； 若∠A＝α°， 则∠ABC+∠ACB＝180°﹣α°， ∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （1）如图2，∵∠A＝α°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α°， ∵BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：由三角形的外角性质得，∠2＝∠BOC+∠1，∠ACD＝∠A+∠ABC， ∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点， ∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1， ∴∠A+∠ABC＝∠ACD＝2（∠BOC+∠1）＝2∠BOC+2∠1＝2∠BOC+∠ABC， ∴∠A＝2∠BOC； （3）． 理由：∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点， ∴， ， 在△OBC中， ∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB ， ， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴． 26．（1）如图1，在△ABC中，已知∠A＝50°，点E在线段BC的延长线上，∠ABC和∠ACE的角平分线交于点D，则∠D＝ 　25°　 ； （2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB等于多少（用α，β表示）？ （3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＜180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB等于多少（用α，β表示）？ 【答案】（1）25°；（2）（α+β）﹣90°；（3）90°（α+β）． 【解答】解：（1）如图1， ∵BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE． ∵∠DCE是△DBE的一个外角， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC ∠ACE∠ABC （∠ACE﹣∠ABC）． ∵∠ACE是△ABC的一个外角， ∴∠ACE﹣∠ABC＝∠A＝50°． ∴∠D50°＝25°． 故答案为：25°． （2）由题意，如图2， ∵∠FBE是△ABF的一个外角， ∴∠AFB＝∠FBE﹣∠FAE． 又∵AF、BF分别平分∠DAB和∠CBE， ∴∠FAE∠DAB，∠FBE∠CBE． ∴∠AFB∠CBE∠DAB． 又∵∠CBE＝180°﹣∠CBA， ∴∠AFB（180°﹣∠CBA）∠DAB＝90°（∠CBA+∠DAB）． 又∵∠CBA+∠DAB＝360°﹣（∠ADC+∠BCD）＝360°﹣（α+β）， ∴∠AFB＝90°[（360°﹣（α+β）] ＝90°﹣180°（α+β） （α+β）﹣90°． （3）由题意，如图3， ∵∠GAB是△ABF的一个外角， ∴∠AFB＝∠GAB﹣∠ABF． 又∵∠HBE＝∠ABF， ∴∠AFB＝∠GAB﹣∠HBE． 又∵AG、BH分别平分∠DAB和∠CBE， ∴∠GAB∠DAB，∠HBE∠CBE． ∴∠AFB∠DAB∠CBE． 又∵∠CBE＝180°﹣∠CBA， ∴∠AFB∠DAB（180°﹣∠CBA）（∠CBA+∠DAB）﹣90°． 又∵∠CBA+∠DAB＝360°﹣（∠ADC+∠BCD）＝360°﹣（α+β）， ∴∠AFB[（360°﹣（α+β）]﹣90° ＝180°（α+β）﹣90° ＝90°（α+β）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $