第13章三角形单元测试题3（基础提升）2025-2026学年人教版数学八年级上册

第13章三角形单元测试题3（基础提升） 一．选择题（共10小题） 1．将一副三角板按照如图方式摆放，点B、C、D共线，∠CDF＝18°，则∠AFE 的度数为（　　） A．89° B．83° C．93° D．103° 2．下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 4．BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图，AD是∠BAC的角平分线，∠ADB＝100°，∠DBC＝25°，∠C＝53°，则∠DBA是（　　） A．52° B．42° C．58° D．32° 6．将一根14cm长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△ABD是等边三角形，AC＝AD，∠CBD＝15°，则∠BDC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 8．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论正确的是（　　） ①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠EAD；③∠BAE＝∠BEA；④∠DAB+2∠AEF＝90°． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题） 11．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝　 　 ． 12．如图，BP、CP分别是△ABC 的内角、外角平分线，若∠P＝40°，则∠A＝　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 　 ． 14．如图，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC，则∠A的度数为 　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝　 　 ． 16．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　 °． 三．解答题（共9小题） 17．如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数． 18．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数． 19．按要求完成下列各小题． （1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长； （2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|． 20．如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且∠NAC+∠ABC＝90°． （1）求证：MN∥PQ； （2）若∠ABC＝∠NAC+10°，求∠ADB的度数． 21．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°． （1）求∠AOB的度数； （2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数． 22．已知在△ABC中，∠A＝70°，∠ACB＝36°，D为边BC延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点． （1）如图，连接CE， ①若CE∥AB，求∠BEC的度数； ②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数． （2）若直线CE垂直于△ABC的一边，求∠BEC的度数． 23．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． （1）【初步探究】在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝70°．作∠BAC的平分线AD交BC于点D．在图1中，作AE⊥BC于E，求∠DAE的度数； （2）【迁移探究】在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．如图2，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数； （3）【拓展应用】如图③，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC于E，求出∠DFE与∠C、∠B之间的数量关系． 24．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： （1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF； （2）【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF和∠CFE的度数； （3）【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，求∠CFE的度数． 25．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），射线BC和射线BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数． （2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． （3）作射线BC关于BP对称的射线BC'，射线BD关于BP对称的射线BD'，如果BC'和BD'始终在∠ABN的内部，请直接写出∠ADB的范围． 第13章三角形单元测试题3（基础提升） 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A C D D C A D 1．将一副三角板按照如图方式摆放，点B、C、D共线，∠CDF＝18°，则∠AFE 的度数为（　　） A．89° B．83° C．93° D．103° 【答案】C 【解答】解：∵∠ACB是△FCD的外角， ∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC， ∴∠DFC＝∠ACB﹣∠CDF＝45°﹣18°＝27°， ∴∠AFE＝180°﹣60°﹣27°＝93°． 2．下列各图中，作△ABC边AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【答案】B 【解答】解：A、∵CF是边AB的中线，∴AB＝2BF，正确，不符合题意； B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意； C、∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE∠ACB，正确，不符合题意； D、∵CD是△ABC的高，∴CD⊥AB，正确，不符合题意 4．BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵CP是∠ACM的角平分线，∠ACP＝90°， ∴∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠ACB＝80°， ∵BP是∠ABC的角平分线，∠ABP＝20°， ∴∠CBP＝∠ABP＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠ACB﹣∠ACP ＝180°﹣20°﹣80°﹣50° ＝30°． 5．如图，AD是∠BAC的角平分线，∠ADB＝100°，∠DBC＝25°，∠C＝53°，则∠DBA是（　　） A．52° B．42° C．58° D．32° 【答案】C 【解答】解：连接CD，延长CD交AB于点E，如图所示. ∵∠BDE是△BCD的外角，∠ADE是△ACD的外角， ∴∠BDE＝∠DBC+∠BCD，∠ADE＝∠CAD+∠ACD， ∴∠BDE+∠ADE＝∠DBC+∠BCD+∠CAD+∠ACD， 即∠ADB＝∠DBC+∠CAD+∠ACB， ∴∠CAD＝∠ADB﹣∠DBC﹣∠ACB＝100°﹣25°﹣53°＝22°． ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝22°． 在△ABD中，∠BAD＝22°，∠ADB＝100°， ∴∠DBA＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝180°﹣22°﹣100°＝58°． 故选：C． 6．将一根14cm长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、2+3＜9，不能围成三角形，故A不符合题意； B、3.5+3.5＝7，不能围成三角形，故B不符合题意； C、3+3＜8，不能围成三角形，故C不符合题意； D、5+4＞5，能围成三角形，故D符合题意． 7．如图，△ABD是等边三角形，AC＝AD，∠CBD＝15°，则∠BDC的度数为（　　） A．120° B．125° C．130° D．135° 【答案】D 【解答】解：∵△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝∠BAD＝∠ADB＝60°， ∵∠CBD＝15°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝45°， ∵AC＝AD， ∴AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°，， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD（180°﹣30°）＝75°， ∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝60°+75°＝135°． 8．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 【答案】C 【解答】解：如图，连接BD， 在△ABD中，7cm﹣5cm＜BD＜7cm+5cm，即2cm＜BD＜12cm， 在△BCD中，8cm﹣3cm＜BD＜8cm+3cm，即5cm＜BD＜11cm， 所以5cm＜BD＜11cm． 观察选项，只有选项C符合题意． 9．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵∠ABC+∠B+∠C＝180°，∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β． ∵AE平分∠BAC，∴∠CAE∠BAC＝90°． ∵AD⊥BC，∴∠CAD＝90°﹣β， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°﹣β﹣（90°）． 10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论正确的是（　　） ①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠EAD；③∠BAE＝∠BEA；④∠DAB+2∠AEF＝90°． A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACB+∠CAD＝90°， ∵∠ACB＝∠BAD， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠BAC＝90°，故①正确， ∵AE平分∠CAD， ∴∠DAE＝∠CAE， ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠ACB＝∠BAD， ∴∠BAE＝∠ACB+∠CAE＝∠BEA，故③正确， ∵EF∥AC， ∴∠AEF＝∠CAE， ∵∠CAD＝2∠CAE＝2∠EAD， ∴∠CAD＝2∠AEF，∠AEF＝∠EAD，故②正确； ∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°， ∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF， ∵∠B+∠DAB＝90°， ∴2∠AEF+∠DAB＝90°，故④正确， ∴正确的有①②③④． 二．填空题（共6小题） 11．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝　﹣a+3b﹣c　 ． 【解答】解：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|， ＝（a+b﹣c）+（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）＝a+b﹣c﹣a+b+c﹣a+b﹣c＝﹣a+3b﹣c． 12．如图，BP、CP分别是△ABC 的内角、外角平分线，若∠P＝40°，则∠A＝　80°　 ． 【答案】80°． 【解答】解：如图， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD， ∴∠PCB∠ABC，∠PCD∠ACD， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P， ∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P， ∴∠A＝2∠P， ∵∠P＝40°， ∴∠A＝80°． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　 ． 【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°． 14．如图，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC，则∠A的度数为 　36°　 ． 【答案】36°． 【解答】解：设∠A＝x， ∵CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD＝x， 根据三角形的外角性质，∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x， ∵CD＝BC， ∴∠B＝∠BDC＝2x， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝2x， 在△ABC中，∠A+∠ACB+∠B＝180°， 所以根据题意可得，x+2x+2x＝180°， 整理得，5x＝180°， 解得x＝36°， 即∠A的度数为∠A＝36°． 15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝　76°　 ． 【答案】76°． 【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE， ∴∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE， ∵EF∥AB， ∴∠F＝∠BDF， ∴∠A＝∠BDF， ∵∠C＝90°，∠B＝62° ∴∠A＝90°﹣∠B＝28°， ∴∠BDF＝28°， ∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝152°， ∴∠ADE∠ADF＝76°， ∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣28°﹣76°＝76°． 16．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　265　 °． 【答案】265°． 【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′． ∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′， ∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′＝2∠B+35°． ∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）， ∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′＝360°﹣2∠C， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）＝360°﹣（360°﹣2∠C）＝2∠C． ∴∠1+∠2+∠3 ＝2∠C+2∠B+35°＝2（∠C+∠B）+35°＝2（180°﹣∠A）+35°＝2（180°﹣65°）+35°＝265°． 三．解答题（共9小题） 17．如图，已知BE和CD是△ABC的两条高线，BE，CD交于点O．∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，求∠BOC的度数． 【答案】130°． 【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠ACB＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（50°+80°）＝50°． ∵BE和CD是△ABC的两条高线， ∴∠AEB＝∠BDO＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BOC＝∠ABE+∠BDO＝40°+90°＝130°． 18．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数． 【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB＝∠1， ∵∠1＝∠D， ∴∠DCB＝∠D， ∴DF∥BC； （2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝34°， ∴∠B＝∠DFE＝34°， 在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝34°， ∴∠ACB＝180°﹣36°﹣34°＝110°， ∵CD平分∠ACB， ， ∴∠2＝180°﹣36°﹣55°＝89°． 19．按要求完成下列各小题． （1）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，AC的长为偶数，求△ABC的周长； （2）已知△ABC的三边长分别为3，5，a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|． 【解答】解：（1）由三角形的三边关系可知，8﹣2＜AC＜8+2，即6＜AC＜10， ∵AC为偶数， ∴AC＝8， ∴△ABC的周长为8+2+8＝18； （2）∵△ABC的三边长分别为3，5，a， ∴5﹣3＜a＜5+3， 解得2＜a＜8， ∴|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）＝a+1﹣8+a﹣2a+4＝﹣3． 20．如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且∠NAC+∠ABC＝90°． （1）求证：MN∥PQ； （2）若∠ABC＝∠NAC+10°，求∠ADB的度数． 【解答】（1）证明：∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵∠NAC+∠ABC＝90°， ∴∠NAC＝∠ACB， ∴MN∥PQ； （2）解：∵∠ABC＝∠NAC+10°＝∠ACB+10°， ∵∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠ACB+10°＝90°， ∴∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝50°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABDABC＝25°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADB＝90°﹣25°＝65°． 21．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C＝70°． （1）求∠AOB的度数； （2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数． 【解答】解：（1）∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线， ∴， 在△ABC中，∠C＝70°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°， ∴； （2）∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50° ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°， ∴∠DAE＝5°． 22．已知在△ABC中，∠A＝70°，∠ACB＝36°，D为边BC延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点． （1）如图，连接CE， ①若CE∥AB，求∠BEC的度数； ②若CE平分∠ACD，求∠BEC的度数． （2）若直线CE垂直于△ABC的一边，求∠BEC的度数． 【答案】（1）①∠BEC＝37°；②∠BEC＝35°； （2）∠BEC＝127°或53°或17°． 【解答】解：（1）①∵∠A＝70°，∠ACB＝36°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣36°＝74°． ∵BM平分∠ABC， ． ∵CE//AB， ∴∠BEC＝∠ABE＝37°． （2）∵∠A＝70°，∠ACB＝36°， ∴∠ABC＝74°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣36°＝144°． ∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴，． ∴∠BEC＝∠ECD﹣∠CBE＝72°﹣37°＝35°． （2）（2）①如图1，当CE⊥BC时，∠ECB＝90°． 由（1）得∠CBE＝37°， ∴∠BEC＝90°﹣∠CBE＝90°﹣37°＝53°． ②如图2，当CE⊥AB于点F时，∠BFC＝90°． 由（1）得∠CBE＝∠FBE＝37°， ∴∠BEC＝∠BFC+∠FBE＝90°+37°＝127°． ③如图3，当CE⊥AC时，∠ACE＝90°． 由（1）得∠CBE＝37°，∠ACB＝36°， ∴∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠ACB﹣∠ACE＝180°﹣37°﹣36°﹣90°＝17°． 综上所述，∠BEC＝127°或53°或17°． 23．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． （1）【初步探究】在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝70°．作∠BAC的平分线AD交BC于点D．在图1中，作AE⊥BC于E，求∠DAE的度数； （2）【迁移探究】在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．如图2，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数； （3）【拓展应用】如图③，在△ABC中，∠C＞∠B，AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC于E，求出∠DFE与∠C、∠B之间的数量关系． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣70°＝68°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝34°﹣20°＝14°； （2）在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣70°＝68°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD， 在△ADC中，∠C＝70°， ∴∠ADC＝180°﹣70°﹣34°＝76°， ∵FE⊥BC， ∴∠FED＝90°， ∴∠DFE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣76°＝14°； （3）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD， 在△ADC中∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝180°﹣∠C﹣90°90°， ∵FE⊥BC， ∴∠FED＝90°， ∴∠DFE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣90°． 24．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： （1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF； （2）【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF和∠CFE的度数； （3）【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，求∠CFE的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD是高， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∵AE是角平分线， ∴∠CAF＝∠DAF， ∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B， ∴∠CEF＝∠CFE； （2）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠GAF＝∠B+∠ACB＝40°+90°＝130°， ∵AF为∠BAG的角平分线， ∴∠GAF＝∠DAF130°＝65°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠ADF＝∠ACE＝90°， ∴∠CFE＝90°﹣∠GAF＝90°﹣65°＝25°， 又∵∠CAE＝∠GAF＝65°，∠ACB＝90°， ∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣65°＝25°； （3）证明：∵C、A、G三点共线，AE、AN为角平分线， ∴∠EAN＝90°， 又∵∠GAN＝∠CAM， ∴∠M+∠CEF＝90°， ∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴∠M+∠CFE＝90°． ∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°． 25．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），射线BC和射线BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数． （2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． （3）作射线BC关于BP对称的射线BC'，射线BD关于BP对称的射线BD'，如果BC'和BD'始终在∠ABN的内部，请直接写出∠ADB的范围． 【答案】（1）60°；（2）30°；（3）20°＜∠ADB＜40°． 【解答】解：（1）∵AM∥BN，∠A＝60°， ∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠CBD＝∠CBP+∠PBD（∠ABP+∠PBN）60°； （2）∵∠ACB＝∠ABD，∠A＝∠A， ∴△ACB∽△ABD， ∴∠ABC＝∠ADB， ∵AM∥BN， ∴∠ADB＝∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABC120°＝30°； （3）根据题意，分两种情况讨论： ①当C′位于BN上时，如图1， ∵BC为∠ABP的角平分线， ∴∠ABC＝∠CBP， 又∵BC与BC′关于BP对称， ∴∠CBP＝∠C′BP， ∵∠A＝60°，AM∥BN， ∴∠ABN＝120°， ∴∠ABC＝∠CBP＝∠PBC′＝40°， ∴∠ABP＝80°， ∴∠APB＝180°﹣∠A﹣∠ABP＝40°， 又∵∠PBD， ∴∠ADB＝∠APB﹣∠PBD＝20°； ②如图2，当D′位于射线BA上时， 同①可得：∠DBN＝∠PBD＝∠ABP＝40°， ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN＝2∠PBD＝80°， 又∵∠APB＝∠PBD+∠PDB， ∴∠PDB＝40°， 综上分析，20°＜∠ADB＜40°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $