1.2 课时4 圆与圆的位置关系 导学案-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.2 课时4 圆与圆的位置关系 【学习目标】 1.理解圆与圆的几种位置关系的性质及判定.(直观想象) 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.在之前，我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，那么圆与圆的位置关系又有几种呢? 2.如何判断出两圆的位置关系? 3.已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切. (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交. (　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　) (4)过圆O：x2+y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (　　) 2.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系为(　　). A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________.  4.已知圆x2+y2=1与圆x2-6x+y2-8y+m+6=0相外切，求实数m的值. 【合作探究】 探究1　判断圆与圆的位置关系 　　如图，这是在某地12月24日拍到的日环食的全过程. 可以用两个圆来表示上述变化过程. 根据上图，结合平面几何，判断圆与圆的位置关系.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系? 问题1：将两个相交圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢? 问题2：判断两圆的位置关系有什么方法? 1.圆与圆的位置关系 圆与圆之间存在以下三种位置关系： (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括内切与外切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判定方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的 关系 ________ ________ ________ ________ ________ 　(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 一元二次方程 例1　已知圆C1：x2+y2-4x-6y+9=0与圆C2：(x+1)2+(y+1)2=9，则圆C1与圆C2的位置关系为(　　). A.相交 B.外切 C.外离 D.内含 【方法总结】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要)；(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2；(3)求两圆的圆心距d；(4)比较d与|r1-r2|，r1+r2的大小关系；(5)根据大小关系确定位置关系. 圆C1：x2+y2-2x-3=0和圆C2：x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　). A.外离 B.相切 C.相交 D.内含 探究2　两圆位置关系的应用 　　已知圆C1：x2+y2-2x-3=0和圆C2：x2+y2-6x+2y+1=0. 问题1：你能判断出两圆的位置关系吗? 问题2：若将两个圆的方程相减，你发现了什么?所得方程具有什么特性? 1.将两个相交圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1，2)相减，可得一直线方程，该直线经过两圆的公共点.经过两个相交圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线. 2.两圆公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 例2　已知圆C1：x2+y2-2x-6y-1=0和圆C2：x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求证：圆C1和圆C2相交. (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 【方法总结】处理与圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用. 已知圆C1：x2+y2+2y-3=0和圆C2：x2+y2-4x-2y+1=0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长. 【随堂检测】 1.圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+(y-3)2=1的公切线有且仅有(　　). A.1条　　　 B.2条 C.3条　　　 D.4条 2.若圆C1：(x-m)2+(y+2)2=9与圆C2：(x+1)2+(y-m)2=4外切，则实数m的值为________.  3.已知圆x2+y2+2x-4y-5=0与圆x2+y2+2x-1=0相交于A，B两点，则公共弦AB的长度是________.  4.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，求圆C的方程. 参考答案 1.2 课时4 圆与圆的位置关系 自主预习·悟新知 预学忆思 1.按交点个数可分为三种位置关系. 2.通过两圆的交点个数或圆心距与两圆半径的大小关系.具体如下： 设两圆的圆心距为l，圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，则判断圆C1与圆C2的位置关系的依据有以下几点： ①当l>r1+r2时，圆C1与圆C2外离； ②当l=r1+r2时，圆C1与圆C2外切； ③当|r1-r2|<l<r1+r2时，圆C1与圆C2相交； ④当l=|r1-r2|时，圆C1与圆C2内切； ⑤当l<|r1-r2|时，圆C1与圆C2内含. 3.联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当Δ>0时，两圆相交，当Δ=0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.B　【解析】由题意得圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径r1=1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径r2=2.因为1=r2-r1<|O1O2|=<r1+r2=3，所以两圆相交. 3.x+3y=0　【解析】(x-1)2+(y-3)2=20化为一般式为x2+y2-2x-6y-10=0，　① 又圆x2+y2=10，即x2+y2-10=0，　② ①-②得x+3y=0，即为直线AB的方程. 4.【解析】由x2-6x+y2-8y+m+6=0可得(x-3)2+(y-4)2=19-m， 因为19-m>0，所以m<19， 所以圆x2-6x+y2-8y+m+6=0的圆心坐标为(3，4)，半径为. 又圆x2+y2=1的圆心坐标为(0，0)，半径为1，圆x2+y2=1与圆x2-6x+y2-8y+m+6=0相外切，所以=1+，解得m=3. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：两圆相减得到一直线方程，它经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线. 问题2：判断两圆的位置关系，我们可以类比直线与圆的位置关系的判定，目前我们只有初中学过的几何法，利用圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系判断. 新知生成 2.(1)d>r1+r2　d=r1+r2　|r1-r2|<d<r1+r2　d=|r1-r2|　0≤d<|r1-r2|　(2)相交　内切或外切 外离或内含 新知运用 例1　B　【解析】圆C1：x2+y2-4x-6y+9=0化成标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4，圆心为C1(2，3)，半径r1=2. 圆C2：(x+1)2+(y+1)2=9，圆心为C2(-1，-1)，半径r2=3. 所以|C1C2|==5=r1+r2，故圆C1与圆C2的位置关系为外切. 巩固训练　C　【解析】(法一：几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x-1)2+y2=4，(x-2)2+(y+1)2=2，所以两圆的圆心分别为C1(1，0)，C2(2，-1)，半径分别为r1=2，r2=，则|C1C2|==，r1+r2=2+，r1-r2=2-，故r1-r2<|C1C2|<r1+r2，两圆相交. (法二：代数法)由解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交. 探究2　情境设置 问题1：圆C1的圆心为(1，0)，半径为2；圆C2的圆心为(3，-1)，半径为3. 两圆的圆心距d==. 因为1<<5，所以两圆相交. 问题2：若将两个圆的方程相减，得到y=2x-2，所得方程是直线方程.特性是它过两圆的交点，是两个相交圆的公共弦的方程. 新知运用 例2　【解析】(1)圆C1的圆心为C1(1，3)，半径为r1=， 圆C2的圆心为C2(5，6)，半径为r2=4， 两圆的圆心距d=|C1C2|=5，r1+r2=+4，|r1-r2|=4-， 所以|r1-r2|<d<r1+r2，圆C1和圆C2相交. (2)将圆C1和圆C2的方程相减，得4x+3y-23=0， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0. 圆心C2(5，6)到直线4x+3y-23=0的距离为=3， 故公共弦长为2=2. 巩固训练　【解析】(1)由 得x2-2x=0，　① 因为Δ=(-2)2-4×1×0=4>0， 所以两圆相交. (2)两圆作差得x+y-1=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-1=0. 由①得x1=0，x2=2，代入上式得y1=1，y2=-1， 所以两圆交点的坐标为(0，1)，(2，-1). 由两点间的距离公式得=2， 所以所求弦长为2. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以公切线的条数为4. 2.2或-5　【解析】圆C1的圆心为C1(m，-2)，半径r1=3，圆C2的圆心为C2(-1，m)，半径r2=2，由题意得|C1C2|=5，即(m+1)2+(m+2)2=25，解得m=2或m=-5. 3.2　【解析】由题意知，AB所在直线的方程为(x2+y2+2x-4y-5)-(x2+y2+2x-1)=0，即y=-1. 因为圆x2+y2+2x-1=0的圆心为P(-1，0)，半径r=， 所以圆心P(-1，0)到直线y=-1的距离为1， 所以|AB|=2=2. 4.【解析】设圆C的半径为r， 圆心距d==5. 当圆C与圆O外切时，r+1=5，即r=4； 当圆C与圆O内切时，r-1=5，即r=6. 故圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36. 学科网（北京）股份有限公司 $