1.2 课时2 圆的一般方程 导学案-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.2 课时2 圆的一般方程 【学习目标】 1.正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.(逻辑推理) 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.(数学运算) 3.明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤，弄清楚轨迹与轨迹方程的区别.(数学抽象) 【自主预习】 1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形?x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形? 2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后，将得到怎样的方程?这个方程是不是表示圆? 3.所有形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程都表示圆吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　) (2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. (　　) (3)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　　) 2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　　). A.(2，3) B.(-2，3) C.(-2，-3) D.(2，-3) 3.若方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　). A.k≤ B.k= C.k≥ D.k< 4.若圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为________.  【合作探究】 探究1　圆的一般方程 　　已知圆心为(2，3)，半径为2，则圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4. 问题1：上述方程能否化为二元二次方程的形式? 问题2：方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圆? 问题3：怎样理解圆的一般方程? 1.圆的一般方程的概念： 当________时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.  2.圆的一般方程对应的圆心和半径： 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心坐标为-，-，半径长为________.  3.当D2+E2-4F=0时，x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-，-. 4.当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形. 例1　(1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是(　　). A.R B.(-∞，1) C.(-∞，1] D.[1，+∞) (2)已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.  【方法总结】形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可用如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解. 已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 探究2　待定系数法 问题1：什么是待定系数法? 问题2：圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0含有几个参数?已知三点求圆的方程，用什么方法? 　　求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤如下： (1)根据题意选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E，F，得到圆的标准方程或一般方程. 例2　(2022年全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.  【方法总结】待定系数法求圆的方程的解题策略：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径，或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般设出圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般设出圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(-2，3)，C(4，-5)，求△ABC的外接圆的标准方程. 探究3　求轨迹方程 　　这是运用连拍摄影技术拍出的自行车一秒的运动轨迹. 问题1：把平面上所有单位向量的起点放到坐标原点，终点的轨迹是什么图形?能写出轨迹方程吗? 问题2：轨迹与轨迹方程是一个概念吗? 1.求动点的轨迹方程的方法 求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标(x，y)所满足的关系式，并把这个方程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的平面直角坐标系. 2.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.步骤如下： (2)代入法(也称相关点法)：若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程.具体步骤如下： ①设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)； ②根据条件列出x，y与x0，y0的关系式，求得x0，y0(即用x，y表示出来)； ③将x0，y0代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式，此即为所求的轨迹方程. (3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. 例3　已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上. (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程. 【方法总结】一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键. 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹. 【随堂检测】 1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的半径为(　　). A.2 B. C. D.1 2.圆x2+y2+2x-6y+8=0的圆心是(　　). A.(-1，3) B.(-1，-3) C.(1，-3) D.(1，3) 3.若点(1，-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外，则实数m的取值范围是________.  4.已知△ABC的三个顶点分别是A(-1，0)，B(2，0)，C(1，2). (1)求边AB上的中线所在直线的方程； (2)求△ABC的外接圆的方程. 参考答案 1.2 课时2 圆的一般方程 自主预习·悟新知 预学忆思 1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，得(x-1)2+(y+2)2=4，它表示圆心为(1，-2)，半径为2的圆；对方程x2+y2-2x+4y+6=0配方，得(x-1)2+(y+2)2=-1，因为不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形. 2.得到的方程为x+2+y+2=. 当D2+E2-4F>0时，该方程表示以-，-为圆心，为半径的圆； 当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=-，y=-，即只表示一个点-，-； 当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形. 3.不是，只有当D2+E2-4F>0时才表示圆. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)√ 2.D　【解析】∵-=2，-=-3，∴所求的圆心坐标是(2，-3). 3.D　【解析】方程表示圆⇔1+1-4k>0⇔k<. 4.　【解析】∵(x+1)2+(y-2)2=5-m，∴r==，∴m=. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：可以，x2+y2-4x-6y+9=0. 问题2：配方得(x-2)2+(y-3)2=0，方程不表示圆. 问题3：圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2，y2的系数相等且不为0；没有xy项.对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，只有当D2+E2-4F>0时才表示圆. 新知生成 1.D2+E2-4F>0 2. 新知运用 例1　(1)B　(2)(-2，-4)　5　【解析】(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0可得(x-2)2+(y+1)2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞，1).故选B. (2)由题可得a2=a+2，解得a=-1或a=2. 当a=-1时，方程为x2+y2+4x+8y-5=0，表示圆，故圆心坐标为(-2，-4)，半径为5.当a=2时，方程不表示圆. 巩固训练　【解析】(1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4， 若该方程表示一个圆，则-m2+3m+4>0，解得-1<m<4， 即实数m的取值范围是(-1，4). (2)圆的半径r==≤，当且仅当m=时，半径r取得最大值，最大值为，所以圆的周长的最大值为5π. 探究2　情境设置 问题1：待定系数法是一种求未知数的方法.将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式.然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫作待定系数法. 问题2：圆的一般方程含有三个参数.已知三点求圆的方程，常用待定系数法. 新知运用 例2　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x-2+y-2=或x-2+(y-1)2=　【解析】依题意，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 若圆过点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，则解得 所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，即(x-2)2+(y-3)2=13. 若圆过点(0，0)，(4，0)，(4，2)，则解得 所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即(x-2)2+(y-1)2=5. 若圆过点(0，0)，(4，2)，(-1，1)，则解得 所以圆的方程为x2+y2-x-y=0，即x-2+y-2=. 若圆过点(-1，1)，(4，0)，(4，2)，则解得 所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0，即x-2+(y-1)2=. 巩固训练　【解析】(法一)设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， ∵点A，B，C在圆上， ∴∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x+2y-23=0， 即外接圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25. (法二)∵kAB==，kAC==-3， ∴kAB·kAC=-1，∴AB⊥AC， ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴外心是线段BC的中点，其坐标为(1，-1)，圆的半径r=|BC|=5， ∴外接圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25. 探究3　情境设置 问题1：终点的轨迹是圆，轨迹方程是x2+y2=1. 问题2：不是一个概念，点的轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式. 新知运用 例3　【解析】(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D，-. 因为kAB=-3，所以km=， 所以直线m的方程为x-3y-3=0. 由得圆心C(-3，-2)， 则半径r=|CA|==5， 所以圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25. (2)设点M(x，y)，Q(x0，y0). 因为点P的坐标为(5，0)， 所以即 又点Q(x0，y0)在圆C：(x+3)2+(y+2)2=25上运动， 所以(x0+3)2+(y0+2)2=25， 即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25. 整理得(x-1)2+(y+1)2=. 故所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=. 巩固训练　【解析】设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)， 因为点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点， 所以x=，y=， 于是有x0=2x-4，y0=2y-3.　① 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，即(x0+1)2+=4，　② 把①代入②，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4， 整理得x-2+y-2=1， 所以点M的轨迹是以，为圆心，1为半径的圆. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】将x2+y2-2x+6y+8=0化成标准方程，得(x-1)2+(y+3)2=2，故半径为. 2.A　【解析】因为x2+y2+2x-6y+8=0可化为(x+1)2+(y-3)2=2，所以圆心是(-1，3). 3.0，　【解析】由已知条件可得 解得0<m<. 4.【解析】(1)由题意知，线段AB的中点为M，0，kCM==4， 所以边AB上的中线所在直线的方程为y=4x-，即4x-y-2=0. (2)设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F>0， 则解得 故△ABC的外接圆的方程为x2+y2-x-y-2=0. 即x-2+y-2=. 学科网（北京）股份有限公司 $