1.2 课时1 圆的标准方程 导学案-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.2 课时1 圆的标准方程 【学习目标】 1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程.(逻辑推理) 2.利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程.(数学运算) 3.结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法.(直观想象) 【自主预习】 1.圆的定义是什么? 2.确定圆的基本要素是什么? 3.已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能写出圆的标准方程吗? 4.点与圆的位置关系有几种? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　) (2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0)，则此圆的半径一定是a. (　　) (3)圆的标准方程由圆心和半径确定. (　　) (4)若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点. (　　) 2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是(　　). A.(-2，3)，1 B.(2，-3)，3 C.(-2，3)， D.(2，-3)， 3.(改编)已知△AOB的三个顶点分别为A(4，0)，O(0，0)，B(0，2)，则△AOB外接圆的标准方程为________.  4.已知点(1，1)在圆(x+2)2+y2=m上，求圆的标准方程. 【合作探究】 探究1　圆的标准方程 　　“南昌之星”摩天轮于2006年建成，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑之一.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米. 问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗? 问题2：若以摩天轮的中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，则游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系? 问题3：以(1，2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系? 问题4：确定圆的标准方程需具备哪些条件? 　　圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)，其中定点是圆心，定长是半径. (2)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.　① 平面内圆C上的点P的坐标(x，y)满足方程①，反之，以满足方程①的(x，y)为坐标的点P一定在圆C上.因此，方程①是以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，称此方程为圆的标准方程. 例1　求过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程. 【方法总结】求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解. (2022年全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为________.  探究2　点与圆的位置关系 　　爱好运动的李峰、张强、刁鹏三人相邀进行掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O最近，谁获胜.如图，A，B，C分别是他们掷一轮飞镖的落点. 问题1：点与圆的位置关系有哪几种? 问题2：如何判断他们的胜负? 　　设点P到圆心的距离为d，半径为r. d与r的大小 点与圆的位置关系 d<r 点P在圆内 d=r 点P在圆上 d>r 点P在圆外 例2　(1)写出圆心为A(2，-3)，半径等于5的圆的方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-，-1)是否在这个圆上. (2)已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，求实数a的取值范围. 【方法总结】(1)判断点与圆的位置关系的方法：①只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可；②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并做出判断. (2)若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数的取值范围. 已知点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部，则实数a的取值范围为________.  【随堂检测】 1.经过坐标原点，且圆心坐标为(-1，1)的圆的标准方程是(　　). A.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x+1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 2.已知点P(a，10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2，则点P与圆的位置关系是(　　). A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定 3.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点，且过原点的圆的标准方程是________.  4.已知△ABC的三个顶点为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆的方程. 参考答案 1.2 课时1 圆的标准方程 自主预习·悟新知 预学忆思 1.平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆. 2.确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示. 3.能，圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 4.在圆内、在圆上、在圆外，共三种. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.D　【解析】由圆的标准方程可得圆心为(2，-3)，半径为. 3.(x-2)2+(y-1)2=5　【解析】依题意可知OA⊥OB，所以AB是外接圆的直径，所以圆心为(2，1)，半径为=， 所以△AOB外接圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 4.【解析】∵点(1，1)在圆(x+2)2+y2=m上，∴(1+2)2+12=m，∴m=10.故圆的标准方程为(x+2)2+y2=10. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：一样.圆上的点到圆心的距离都是相等的，都等于圆的半径. 问题2：=. 问题3：=3. 问题4：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件. 新知运用 例1　【解析】(法一)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 由已知条件知 解得 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (法二)设点C为圆心，∵点C在直线x+y-2=0上， ∴可设点C的坐标为(a，2-a). 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|=|CB|， ∴=， 解得a=1， ∴圆心坐标为C(1，1)，半径r=|CA|=2， 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (法三)由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)， kAB==-1， ∴弦AB的垂直平分线的斜率k=1， ∴AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0)，即y=x， 则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点. 由得 即圆心为(1，1)，圆的半径为=2， 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 巩固训练　(x-1)2+(y+1)2=5　【解析】∵点M在直线2x+y-1=0上， ∴设点M为(a，1-2a)，又点(3，0)和(0，1)均在☉M上， ∴点M到这两点的距离相等且为半径R， ∴==R， a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1， ∴M(1，-1)，R=， 故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 探究2　情境设置 问题1：点在圆外、圆上、圆内，共三种. 问题2：利用点与圆心的距离判断. 新知运用 例2　【解析】(1)圆心为A(2，-3)，半径等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25， 把点M1(5，-7)，M2(-，-1)的坐标分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25， 可得点M1的坐标满足方程，点M1在圆上；点M2的坐标不满足方程，点M2不在圆上. (2)由题意知 即解得0≤a<1. 巩固训练　(-∞，-1)∪(1，+∞)　【解析】由题意知，(1-a)2+(1+a)2>4，则2a2-2>0，即a<-1或a>1. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】根据题意知，圆的圆心为(-1，1)，且过原点，则其半径r==，故其标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2. 2.C　【解析】∵(a-1)2+(10-1)2=81+(a-1)2>2，∴点P在圆外. 3.(x-2)2+(y-4)2=20　【解析】由可得即圆心为(2，4)，从而r==2，故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20. 4.【解析】易知△ABC是直角三角形，∠B=90°， 所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r=，所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5. 学科网（北京）股份有限公司 $