第10章 整式的加减 单元测试卷 2025-2026学年沪教版（五四制） 七年级数学上册

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第10章整式的加减单元测试（培优卷） 一、选择题 1. 在下列代数式：，，，，，，中，整式有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握整式的定义． 根据整式的定义：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母，进行判断即可． 【详解】解：下列代数式：，，，，，，中， 属于整式的有：，，，，． ∴一共有5个整式． 故选：C． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 的次数是3 B. 的常数项是 C. 是二次二项式 D. 是按的升幂排列的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 【详解】解：A．的次数是3，正确； B．的常数项是，正确； C．是二次二项式，正确； D．是按的升幂排列的，故原说法不正确； 故选D． 3.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，解题关键是能判断两项是否是同类项． 根据合并同类项法则，对四个式子逐一计算后作出判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 中没有同类项，不能合并，故D错误， 故选：B ． 4.某商店在甲批发市场以每包元的价格进了45包茶叶，又在乙批发市场以每包n元的价格进了同样的55包茶叶．若以每包元的价格全部卖出这种茶叶，则这家商店（ ） A. 盈利了 B. 亏损了 C. 不盈不亏 D. 盈亏不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，解题的关键是理解利润（售价进价）数量．由题意得，进货成本，销售额，根据题意再列式求解即可． 【详解】解：由题意得，进货成本， 销售额， 故 ∵， ∴， ∴这家商店盈利． 故选：A． 5.按如图所示的运算程序，输出的值为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别将每个选项中x的值代入计算即可得答案． 【详解】解：A、将代入得： ， ∴输出的y值为4，不符合题意； B、将代入得： ， 再将代入得： ， ∴输出的y值为20，不符合题意； C、将代入得： ， ∴输出的y值为20，不符合题意； 将代入得： ， 再将代入得： ， ∴输出的y值为11，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． 6.如图1是一个边长为的正方形纸片，将其剪去两个小长方形，得到一个宽度都为的“5字形”的图案如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形如图3所示，则图3长方形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，长方形的宽为，长方形的长为，根据长方形的周长公式计算即可． 【详解】根据题意得：长方形的宽为，长方形的长为， 则长方形的周长为：， 故选C． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，理解题意正确的求得长方形的长和宽是解题的关键． 2、 填空题 7. 单项式的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的系数，掌握单项式的系数的定义是解题的关键．直接根据单项式的系数的定义得出答案，单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【详解】解：单项式的系数是； 故答案为： 8.多项式是_________次_________项式． 【答案】 ① 三 ②. 四 【解析】 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 【详解】解：多项式中最高次项是，次数是3，由四个单项式组成． 故答案为：三，四． 9.若，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，根据题干得出是同类项，则，即可求出． 【详解】解：∵， ∴是同类项， ∴， 则， 故答案为：5． 10.合并同类项：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式加减混合运算，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 合并同类项求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 11. 已知减去整式，所得的差是，则等于_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意得到，然后利用整式的加减运算法则去括号求解即可． 【详解】解：由题意， ， 故答案为：． 12.若多项式是四次三项式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式的相关概念，根据多项式的项、次数的定义求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 13.将整式按降幂排列：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，按照x的指数从高到低排列多项式即可． 【详解】解：将整式按降幂排列：， 故答案为：． 14.请写出一个整式，使其同时满足以下三个条件：①只含有字母：②不含常数项；③是一个三次二项式．那么该整式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的项和次数的概念，根据题意写出一个只含有字母a，且a的最高次为3，且不含常数项的二项多项式即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的整式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 15.已知代数式，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 16.观察下列关于的单项式，，，，，，，按照上述规律，第2021个单项式是_______． 【答案】 【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第n个单项式，进而求得第2021个单项式，本题得以解决． 【详解】解：∵一列关于x的单项式：，，，，，， ∴第n个单项式为： ， 第2021个单项式是 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了单项式，正确得出数字变化规律是解题关键． 17.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…按此规律排列下去，第10个图形中圆的个数是_____个． 【答案】112 【分析】根据图形的排列规律得到：除去上面的2个圆，其余下面圆的个数等于图形的序号与序号数多1数的积，进行解答即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有（个圆， 第2个图形中一共有（个圆， 第3个图形中一共有（个圆， 第4个图形中一共有（个圆； 可得第个图形中圆的个数是（个； 所以第10个图形中圆的个数（个． 故答案为：112． 【点睛】本题考查图形的变换规律；根据图形得出第个图形中圆的个数是是解决本题的关键． 18.将边长分别为a和b（a＞b）的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值为 【答案】0 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减等知识点，掌握整式的加减的法则是解题的关键． 先根据周长公式列代数式，然后根据长方形的性质化简，然后比较即可解答． 【详解】解：由题意知，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为0． 三、解答题 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 原式= 当，时 原式． 21.设，． (1)求：； (2)若，且，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，非负数的性质，解一元一次方程等知识，关键是熟练进行整式加减运算． （1）去括号，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质求得x、y的值，再把两个值代入等式中即可求得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，且， ∴， ∴； ∵， ∴； 把代入上式中，得：， 解得：． 22.已知整式． (1)若整式的值与字母取值无关．写出、的值； (2)在（1）条件下求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项，根据题意，令含的项系数为0，得出的值； （2）先去括号，裂项相减，合并同类项，然后将的值代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：； （2）解： ； 当时，原式． 23.某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下： 1、 乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍． 2、 乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元． 经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠． 该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．问： (1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ (2)当购买15盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？ 【答案】(1)购买20盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样 (2)购买15盒乒乓球时，去甲店较合算，见解析 【分析】（1）根据总价=单价×数量结合两家店给出的优惠政策，即可用含x的代数式表示出在两家店购买所需费用； （2）根据在两家店购买所需费用相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买x盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样．依题意得， ， 解得：x＝20， 所以，购买20盒乒乓球时，两种优惠办法付款一样． （2）当购买15盒时： 甲店需付款：（元）， 乙店需付款：（元）， 因为， 所以购买15盒乒乓球时，去甲店较合算． 24.如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 25.阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______； （2）已知，求的值； （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题中所给方法可直接进行合并同类项； （2）由可得，然后利用整体代入进行求解即可； （3）由与相加可得，由与两式相加可得，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： ； 故答案为； （2）由可得，则有： ； （3）由与相加可得，由与两式相加可得， ∴． 【点睛】本题主要考查代数式的值及合并同类项，关键是根据题意利用整体思想进行求解问题． 26. 1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 【答案】(1)；； (2)64 (3)224 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，用含，的式子表示出其他8个正方形的边长是解题的关键．第（3）问较难，需要有较强的推理能力及计算能力． （1）根据所给图形，得出第3个正方形的边长为第1，2个正方形的边长之和，再依次表示出4，5号正方形的边长即可解决问题． （2）根据所给图形，表示出第6个正方形的面积，再结合即可解决问题． （3）根据所给图形，用含，的代数式表示出完美长方形的周长，并结合，均为正整数，求这个完美长方形的最小周长． 【详解】（1）解：根据图形及标注为1号和2号的正方形边长分别为，， 所以第3个正方形的边长是1号和2号的正方形边长之和为， 所以第4个正方形的边长是2号和3号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的边长是2号和4号的正方形边长之和为， 所以第5个正方形的面积为． 故答案为：；；． （2）解：根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第5个正方形的边长是， 所以第6个正方形的边长是2号和5号的正方形边长之和减去1号的正方形边长为， 所以第6个正方形的面积． 当时，． 所以当时，第6个正方形的面积为64． （3）根据图形及1号和2号的正方形边长分别为，，第6个正方形的边长是， 所以第7个正方形的边长是6号正方形的边长减去1号正方形的边长为， 所以第10个正方形的边长是7号正方形的边长减去1号正方形的边长减去3号正方形的边长为， 所以第8个正方形的边长是7号正方形的边长加10号正方形的边长为， 所以第9个正方形的边长是8号正方形的边长加10号正方形的边长为． 因为第5个正方形的边长与第6个正方形的边长之和等于第8个正方形的边长与第9个正方形的边长之和， 所以， 化简得． 因为完美长方形的长为，完美长方形的宽为， 所以完美长方形的周长为． 因为，，均为正整数， 所以，时，完美长方形的周长最小，最小值为． 故答案为：224． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第10章整式的加减单元测试（培优卷） 一、选择题 1. 在下列代数式：，，，，，，中，整式有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列说法错误的是（ ） A. 的次数是3 B. 的常数项是 C. 是二次二项式 D. 是按的升幂排列的 3.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4.某商店在甲批发市场以每包元的价格进了45包茶叶，又在乙批发市场以每包n元的价格进了同样的55包茶叶．若以每包元的价格全部卖出这种茶叶，则这家商店（ ） A. 盈利了 B. 亏损了 C. 不盈不亏 D. 盈亏不能确定 5.按如图所示的运算程序，输出的值为的是（ ） A． B． C． D． 6.如图1是一个边长为的正方形纸片，将其剪去两个小长方形，得到一个宽度都为的“5字形”的图案如图2所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形如图3所示，则图3长方形的周长为（ ） A． B． C． D． 2、 填空题 7. 单项式的系数是______． 8.多项式是_________次_________项式． 9.若，则的值是 ． 10.合并同类项：______． 11. 已知减去整式，所得的差是，则等于_______ 12.若多项式是四次三项式，则_______． 13.将整式按降幂排列：______． 14.请写出一个整式，使其同时满足以下三个条件：①只含有字母：②不含常数项；③是一个三次二项式．那么该整式可以是______． 15.已知代数式，则代数式的值是 ． 16.观察下列关于的单项式，，，，，，，按照上述规律，第2021个单项式是_______． 17.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…按此规律排列下去，第10个图形中圆的个数是_____个． 18.将边长分别为a和b（a＞b）的两张正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式置于同一个长方形中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长为，图2中阴影部分的周长为，则的值为 三、解答题 19．计算： (1) (2) 20．先化简，再求值：，其中，． 21.设，． (1)求：； (2)若，且，求a的值． 22.已知整式． (1)若整式的值与字母取值无关．写出、的值； (2)在（1）条件下求的值． 23.某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下： 1、 乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍． 2、 乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元． 经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠． 该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．问： (1)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？ (2)当购买15盒乒乓球时，请你去办这件事，你打算去哪家商店购买？为什么？ 24.如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 25.阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______； （2）已知，求的值； （3）已知，，，求的值． 26. 1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，如图所示，其中标注为1号和2号的正方形边长分别为x，y． 请你计算： (1)第3个正方形的边长是______；第5个正方形的边长是______；第5个正方形的面积是______．（用含x，y的代数式表示） (2)当时，求第6个正方形的面积． (3)当x，y均为正整数时，这个完美长方形的最小周长是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $