1.1 课时3 直线方程的点斜式 导学案-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

1.1 课时3 直线方程的点斜式 【学习目标】 1.了解直线方程的点斜式的推导过程.(直观想象) 2.掌握直线方程的点斜式并会应用.(数学运算) 3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念.(逻辑推理) 4.通过对直线方程的点斜式的学习，培养学生逻辑推理、数学运算等核心素养. 【自主预习】 1.已知直线上一点P0(x0，y0)与它的斜率k，我们能否将直线上所有点的坐标P(x，y)满足的关系表示出来? 2.确定一条直线的几何要素是什么? 3.直线方程的点斜式y=kx+b的几何意义是什么? 4.k=与y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1，3). (　　) (2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3. (　　) (3)直线的点斜式方程也可写成=k. (　　) (4)斜率不存在的直线的方程为x-x0=0. (　　) 2.已知直线的方程为y+3=-(x-1)，则(　　). A.该直线过点(-1，-3)，斜率为-1 B.该直线过点(-1，-3)，斜率为1 C.该直线过点(1，-3)，斜率为-1 D.该直线过点(1，-3)，斜率为1 3.(改编)(多选题)已知A(3，-1)，B(-，2)，C(0，3)，D(-4，-2)，则(　　). A.过点A且斜率为的直线的方程为y+1=(x-3) B.过点B且倾斜角是30°的直线的方程为y-2=(x+) C.过点C且倾斜角是0°的直线的方程为y-3=0 D.过点D且倾斜角是的直线的方程为y+2=-(x+4) 4.已知直线l的倾斜角为45°，且过点(1，2)，则在直线l上的点是(　　). A.(0，1) B.(-2，3)　 C.(3，3) D.(3，2) 【合作探究】 探究1　直线方程的点斜式 　　斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则斜拉索可看成过索塔上同一点的直线. 问题1：已知某一斜拉索过索塔上一点B，那么该斜拉索位置是确定的吗? 问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件?该直线的方程是什么? 问题3：直线的点斜式方程的前提条件是什么? 问题4：当k取任意实数时，方程y-y0=k(x-x0)表示的直线有何特征? 问题5：如果直线l过点P(x0，y0)，且平行于坐标轴，此时的直线方程是什么? 1.点斜式：方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫作直线的点斜式方程，简称点斜式. 2.特殊的直线方程 直线l过定点P(x0，y0)， (1)当直线l的倾斜角为0°时，直线l与x轴平行或重合，方程为y-y0=0，即y=y0； (2)当直线l的倾斜角为90°时，l没有点斜式，l与y轴平行或重合，方程为x-x0=0，即x=x0. 3.经过点P(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类： (1)斜率存在的直线，方程为y-y0=k(x-x0)； (2)斜率不存在的直线，方程为x-x0=0，即x=x0. 例1　求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P(-4，3)，斜率k=-3； (2)过点P(3，-4)，且与x轴平行； (3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点. 【方法总结】求直线方程的点斜式的步骤 若直线l过点(2，1)，分别求出满足下列条件的直线l的方程： (1)倾斜角为150°； (2)平行于x轴； (3)平行于y轴； (4)过原点. 探究2　直线方程的斜截式 问题1：方程y=kx+b的特点是什么? 问题2：直线方程的斜截式是由什么推导而来的? 问题3：斜截式中的“纵截距”是恒为正数吗? 1.k，b的几何意义 k为直线l的斜率，b为直线l在y轴上的截距. 2.直线方程的斜截式 y=kx+b为直线方程的斜截式. 特别提醒：(1)倾斜角是________的直线没有斜截式.  (2)斜截式应用的前提是直线的斜率存在. (3)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零. 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2. 【方法总结】 (1)直线方程的斜截式是点斜式的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示. (2)直线方程的斜截式y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可. 求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的，且在y轴上的截距是-5的直线的方程. 探究3　直线过定点问题 　　下面是一个风车示意图，无论怎么转动，风扇都不会离开轴. 问题1：若把风车放到下图的平面直角坐标系中，图中直线恒过哪个定点? 问题2：若将图中直线抽象成y=kx-2k+2，则该直线恒过哪个定点? 　　判断直线过定点的方法 (1)分离参数法：当k取任意实数时，方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线. (2)赋值法：令参数为两个合适的常数，得到两个关于x，y的方程，联立方程组求解，把方程组的解代入直线方程进行检验，满足直线方程则说明该方程组的解就是定点的坐标. 例3　无论a取何值，直线y=3a(x-1)+4+a恒过点________.  【方法总结】求直线过定点的依据是点斜式，可以写成点斜式的形式求解，也可以根据等式恒成立赋值，建立方程组求解. 已知直线l：y=kx+2k+1. (1)求证：直线l恒过一个定点. (2)当-3<x<3时，直线l上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 【随堂检测】 1.方程y-y0=k(x-x0)(　　). A.可以表示任何直线 B.不能表示过原点的直线 C.不能表示与y轴垂直的直线 D.不能表示与x轴垂直的直线 2.直线y+2=k(x+1)恒过点(　　). A.(2，1) B.(-2，-1) C.(-1，-2) D.(1，2) 3.过点(1，1)且以 v=(1，-2)为方向向量的直线的方程是________.  4.已知直线y=-x+5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过点P(3，-4)； (2)与x轴的交点为(-2，0)； (3)在y轴上的截距为3. 参考答案 1.1 课时3 直线方程的点斜式 自主预习·悟新知 预学忆思 1.能，由斜率公式得=k，即y-y0=k(x-x0). 2.①已知一点和斜率；②已知两点. 3.k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距. 4.方程k=表示的直线缺少一个点P1(x1，y1)，而方程y-y1=k(x-x1)表示的是整条直线. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.C　【解析】因为直线方程为y+3=-(x-1)，所以直线的斜率为-1，且当x=1时，y=-3，故直线过点(1，-3). 3.ACD　【解析】对于A，直线经过点A(3，-1)，斜率是，所以直线的点斜式方程为y+1=(x-3)，A正确；对于B，因为直线的倾斜角是30°，所以斜率为，又直线经过点B(-，2)，所以直线的点斜式方程为y-2=(x+)，B错误；对于C，因为直线的倾斜角是0°，所以斜率为0，又直线经过点C(0，3)，所以直线的点斜式方程为y-3=0，C正确；对于D，因为直线的倾斜角是，所以k=-，又直线经过点D(-4，-2)，所以直线的点斜式方程为y+2=-(x+4)，D正确. 4.A　【解析】直线的斜率k=tan 45°=1，且过点(1，2)，则直线方程为y-2=x-1，即y=x+1，将A，B，C，D中的坐标代入，可知A正确. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：不确定，从一点可引出多条斜拉索. 问题2：满足=k.该直线方程为y=kx+b. 问题3：直线过一点P(x0，y0)和斜率存在.只有这两个条件都具备，才可以写出直线的点斜式方程. 问题4：方程y-y0=k(x-x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线. 问题5：当l与x轴平行(或与x轴重合)时，这时倾斜角为0°，tan 0°=0，即k=0，由点斜式得y=y0，如图①所示. 当l与y轴平行(或与y轴重合)时，它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为x=x0，如图②所示. 新知运用 例1　【解析】(1)∵直线过点P(-4，3)，斜率k=-3， ∴该直线方程的点斜式为y-3=-3(x+4). (2)与x轴平行的直线的斜率k=0，故该直线方程的点斜式为y-(-4)=0×(x-3)，即y+4=0. (3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线的斜率kPQ===-1. 又∵直线过点P(-2，3)，∴该直线方程的点斜式为y-3=-(x+2)(或又∵直线过点Q(5，-4)，∴该直线方程的点斜式为y+4=-(x-5). 巩固训练　【解析】(1)因为直线l的斜率k=tan 150°=-， 所以直线l的方程的点斜式为y-1=-(x-2). (2)平行于x轴的直线的斜率k=0，故所求直线l的方程为y=1. (3)过点(2，1)且平行于y轴的直线l的方程为x=2. (4)过点(2，1)与点(0，0)的直线l的斜率k=， 故所求的直线l的方程为y=x. 探究2　情境设置 问题1：左端y的系数恒为1，右端x的系数为k，常数项为b. 问题2：是由点斜式推导而来的. 问题3：不一定，截距是坐标值，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”就恒为正. 新知生成 2.(1)直角 新知运用 例2　【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的方程为y=2x+5. (2)因为直线的倾斜角α=150°，所以其斜率k=tan 150°=-，故该直线方程的斜截式为y=-x-2. 巩固训练　【解析】∵直线y=-x+1的斜率k=-，∴其倾斜角α=120°.由题意得所求直线的倾斜角α1=α=30°，故所求直线的斜率k1=tan 30°=. ∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为-5， ∴所求直线的方程为y=x-5. 探究3　情境设置 问题1：图中直线恒过定点A. 问题2：将直线方程化成y-2=k(x-2)，故该直线恒过定点(2，2). 新知运用 例3　，4　【解析】(法一)将直线方程变形为y=a(3x-2)+4，则当3x-2=0时，y=4，所以即直线过定点，4. (法二)当a=0时，y=4；当a=1时，y=3x+2. 由得　① 将①式代入直线方程中检验，知点，4在此直线上，因此，直线过定点，4. 巩固训练　【解析】(1)由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(-2，1). (2)设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若当-3<x<3时， 直线l上的点都在x轴上方，则需满足 即解得-≤k≤1，所以实数k的取值范围是-，1. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】直线方程的点斜式不能表示斜率不存在的直线，即不能表示与x轴垂直的直线. 2.C　【解析】因为直线y+2=k(x+1)，所以由直线的点斜式方程可得直线恒过点(-1，-2). 3.y=-2x+3　【解析】∵直线的一个方向向量为 v=(1，-2)，∴直线的斜率k=-2， ∵直线过点(1，1)，∴直线的方程为y-1=-2(x-1)，即y=-2x+3. 4.【解析】直线y=-x+5的斜率k=tan α=-，∴α=150°，故直线l的倾斜角为30°，其斜率k'=. (1)由直线l过点P(3，-4)及直线方程的点斜式得直线l的方程为y+4=(x-3)，即y=x--4. (2)直线l过点(-2，0)，由直线方程的点斜式得直线l的方程为y-0=(x+2)，即y=x+. (3)∵直线l在y轴上的截距为3，∴该直线方程的斜截式为y=x+3. 学科网（北京）股份有限公司 $