1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 【学习目标】 　　1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的点斜式. 　　2.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的斜截式. ◆ 知识点一　直线方程的点斜式 直线l经过点P(x0,y0),且斜率为k,设Q(x,y)是直线l上不同于点P的任意一点,因为点P,Q都在直线l上,所以可以用P,Q两点的坐标表示直线l的斜率:=k,即 　　　　　.①   (1)方程①就是经过点P(x0,y0)且斜率为k的直线l的方程.方程①称为直线方程的点斜式. (2)方程①适用的条件:直线的斜率存在. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). (　 ) (2)经过点P0(x0,y0)的所有直线都能用直线方程的点斜式来表示. (　 ) (3)方程k=与y-y0=k(x-x0)表示的意义相同. (　 ) ◆ 知识点二　直线方程的斜截式 1.若直线l与y轴的交点为(0,b),则称　　　为直线l在y轴上的截距.  2.直线方程的斜截式:若直线l经过点(0,b)且斜率为k,则该直线方程的点斜式为y-b=k(x-0),即　　　　,该方程中的k为直线l的斜率,b为直线l在y轴上的截距.称y=kx+b为直线方程的斜截式.  若直线l经过点P(x0,y0),且与x轴垂直,则直线l的斜率k不存在,此时它的特点是:直线l上任意一点的横坐标都是x0,所以直线l的方程为x=x0. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l在y轴上的截距是直线l与y轴的交点到原点的距离. (　 ) (2)直线x=a与x轴交点的横坐标为a,在y轴上的截距为0. (　 ) (3)所有的直线都能用直线方程的斜截式来表示. (　 ) ◆ 探究点一　直线方程的点斜式 例1 (1)已知直线l的倾斜角是135°,且过点(1,0),则下列四个点中在直线l上的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(0,-1) B.(-1,2) C. D.(2,1) (2)求经过点P0(-2,3),且满足下列条件的直线的方程,并画出直线. ①倾斜角α=45°;②与x轴垂直;③与x轴平行. 变式 已知直线l过点P(,-1),且直线l的倾斜角是直线y=x的倾斜角的2倍,则直线l的方程是　　　　.  [素养小结] 1.求直线方程的点斜式的步骤:定点P(x0,y0)→定斜率k(k存在)→写出方程y-y0=k(x-x0). 2.方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外. 拓展 直线y=ax-3a+2(a∈R)必过定点　　　　.  ◆ 探究点二　直线方程的斜截式 例2 求满足下列条件的直线的方程. (1)倾斜角为45°,且在y轴上的截距为2; (2)倾斜角是直线y=x的倾斜角的2倍,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 例3 已知直线的斜率是-1,写出在y轴上的截距分别为-2,0,2的直线的方程,并在同一平面直角坐标系中画出这些直线.通过观察,指出方程y=-x+b所表示的直线具有的与b取值无关的特征. 变式 已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求直线l的方程. [素养小结] 对直线方程的斜截式的透析 (1)斜截式是点斜式的一个特例,只要点斜式中的点在y轴上,就可以直接用斜截式表示. (2)直线方程的斜截式与一次函数的关系:当k≠0时,直线方程的斜截式y=kx+b是一次函数的形式;而在一次函数y=kx+b中,k是直线的斜率,常数b是直线在y轴上的截距. 拓展 [2024·南京高二期中] 已知将直线l向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得直线与原直线重合,则直线l的斜率为 (　 ) A. B. C.- D.- ◆ 探究点三　点斜式、斜截式的应用 例4 在平面直角坐标系xOy中,A(1,3), B(4,2),若直线y=ax-2a与线段AB有公共点,求实数a的取值范围. 变式 已知直线l过点(4,-3),且直线l在y轴上的截距和直线l与x 轴交点的横坐标相等,则直线l的方程为 (　 ) A. y=-x+1 B. y=-x C. y=-x+1或y=-x D.以上均不正确 [素养小结] 当给出了直线方程的点斜式或斜截式时,可以先由直线的方程准确地找出直线的斜率与截距,再结合图形来解决问题. 拓展 直线l1:y=2x和l2:y=kx+1与x轴围成的三角形是等腰三角形,则满足条件的k的取值集合为　　　　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 【课前预习】 知识点一 y-y0=k(x-x0) 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)× 知识点二 1.纵坐标b　2.y=kx+b 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)× 【课中探究】 例1　(1)B　[解析] 因为直线l的倾斜角是135°,所以直线l的斜率k=tan 135°=-1,所以由点斜式得直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1.当x=0时,y=1,故A,C不满足题意;当x=-1时,y=2,故点(-1,2)在直线l上,B满足题意;当x=2时, y=-1,故D不满足题意.故选B. (2)解:①由题可知,直线l经过点P0(-2,3),且斜率k=tan 45°=1,所以直线l的方程的点斜式为y-3=x+2, 化简得x-y+5=0(如图中直线l1所示). ②因为直线经过点P0(-2,3)且与x轴垂直,所以该直线的方程为x=-2(如图中直线l2所示). ③因为直线过点P0(-2,3)且与x轴平行,即斜率k=0,所以该直线的方程为y=3(如图中直线l3所示). 变式　y=-x+2　[解析] ∵直线y=x的斜率为,∴直线y=x的倾斜角为60°,∵直线l的倾斜角是直线y=x的倾斜角的2倍,∴直线l的倾斜角为120°,即直线l的斜率为tan 120°=-.∵直线l过点P(,-1),∴直线l的方程为y-(-1)=-(x-),即y=-x+2. 拓展　(3,2)　[解析] 直线方程y=ax-3a+2(a∈R)可变形为y-2=a(x-3),由直线方程的点斜式可知,直线过定点(3,2). 例2　解:(1)因为直线的倾斜角为45°,所以直线的斜率为tan 45°=1,因为直线在y轴上的截距为2, 所以直线的方程为y=x+2. (2)因为直线y=x的倾斜角为30°,所以所求直线的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3, 所以直线在y轴上的截距为3或-3,所以由直线方程的斜截式可得,所求直线方程为y=x+3或y=x-3. 例3　解:斜率为-1,且在y轴上的截距为-2,0,2的直线的方程分别为y=-x-2,y=-x,y=-x+2,在同一平面直角坐标系中画出直线y=-x-2,直线y=-x,直线y=-x+2,如图所示,这些直线互相平行.由图可知,方程y=-x+b所表示的直线具有的与b取值无关的特征为直线的斜率(或倾斜角),该方程表示的所有直线的斜率(或倾斜角)都相等. 变式　解:设直线l的方程为y=x+b,则当x=0时,y=b,当y=0时,x=-6b.由已知可得·|b|·|-6b|=3, 即6|b|2=6,得b=±1. 故所求直线方程为y=x+1或y=x-1. 拓展　B　[解析] 设直线l的方程为y=kx+b,则平移后直线的方程为y=k(x+3)+b-2,即y=kx+3k+b-2,因为平移后的直线与原直线重合,所以3k+b-2=b,解得k=,即直线l的斜率为.故选B. 例4　解:由y=ax-2a得y=a(x-2),故直线y=ax-2a过定点C(2,0).画出图形,如图所示,若直线y=ax-2a过点A(1,3),则3=a-2a,解得a=-3;若直线y=ax-2a过点B(4,2),则2=4a-2a,解得a=1.又直线y=ax-2a与线段AB有公共点, ∴a≤-3或a≥1,即实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞). 变式　C　[解析] 依题意设l的方程为y+3=k(x-4)(k≠0).令x=0,得y=-4k-3;令y=0,得x=.由-4k-3=,解得k=-1或k=-,故直线l的方程为y=-x+1或y=-x.故选C. 拓展　　[解析] 令直线l1,l2的倾斜角分别为α,θ,则tan α=2,tan θ=k.由题可知,直线l2过定点(0,1),当围成的等腰三角形的底边在x轴上时,θ=π-α,则k=tan(π-α)=-tan α=-2;当围成的等腰三角形的底边在直线l2上时,α=2θ或α=2θ-π,tan α=tan 2θ==2,整理得k2+k-1=0,得k=;当围成的等腰三角形的底边在直线l1上时,θ=2α,则k=tan θ=tan 2α==-.所以k的取值集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $