辽宁省铁岭市昌图县万安中学2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷

九年级数学试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（ ） A. 甲量得窗框两组对边分别相等 B. 乙量得窗框的对角线相等 C. 丙量得窗框的一组邻边相等 D. 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 3. 根据下表判断方程的一个解的取值范围是（ ） … … … … A. B. C. D. 4. 顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（ ） A. 相等且平分 B. 垂直且平分 C. 相等且垂直 D. 相等、平分且垂直 5. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 8. 如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为_____． 10. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为_______． 11. 如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 12. 如图，在中，，，，在边上（不与重合的一动点），过点分别作于点，于点，则线段的取值范围是________． 13. 已知x、y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则__________． 三、解答题（共81分） 14. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 如图，已知是矩形的对角线．用没有刻度的直尺和圆规分别在和上找一个点、，使得四边形为一个菱形（不写作法，保留作图痕迹）． 16. 已知：如图，在梯形中，，，，E为中点，求证：四边形是菱形． 17. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE， （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由． 18. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； 19. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 20. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2． 21. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，求折痕的长． 22. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 23. 如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． （1）当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． （2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ （3）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 24. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤？（用含的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 25. 问题：如图（1），正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．试判断和之间的数量关系． 【发现证明】 小聪把绕点顺时针旋转至，从而发现，请你利用图（1）证明上述结论． 【类比引申】 当绕点旋转到如图（2）的位置时，猜想线段和之间的数量关系是_________． 【探究应用】 如图（3），四边形中，，，，点、分别在边、上，，，，求的长度． 九年级数学试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（每题3分，共15分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】10 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 三、解答题（共81分） 【14题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【15题答案】 【答案】如图所示， 【16题答案】 【答案】 证明：∵， ∴是直角三角形， ∵E是的中点， (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形．(四边相等的四边形是菱形)． 【17题答案】 【答案】 （1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四边形AEBD是矩形； （2）当∠BAC=90°时，理由如下： ∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线， ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 【18题答案】 【答案】（1） （2）5 【19题答案】 【答案】 证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【20题答案】 【答案】可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形 【21题答案】 【答案】 【22题答案】 【答案】 （1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． 【23题答案】 【答案】（1） 当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴与相等且互相平分， ∴四边形是矩形； （2） 当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （3） 四边形不会是菱形，理由如下： 如图所示，连接交于G， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为， ∴四边形不会是菱形． 【24题答案】 【答案】（1） （2）张阿姨需将每斤的售价降低1元． 【25题答案】 【答案】 [发现证明]证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转至， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； [类比引申] [探究应用] 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $