1.4.3 一元二次不等式的应用 导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.4.3 一元二次不等式的应用 【学习目标】 1.利用一元二次不等式结合二次函数解决实际应用问题.(数学建模) 2.通过本节的学习，培养数学运算、数学建模等核心素养. 【自主预习】 　　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是利用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，并结合车速计算刹车的时间，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒功能，等于危险距离时就自动刹车.某种算法(如图所示)将报警时间(单位：秒)划分为4段，分别为准备时间t0，人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离(单位：米)分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：米/秒)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而发生变化，且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间/秒 t0 t1=0.8 t2=0.2 t3 距离/米 d0=20 d1 d2 d3= 1.请写出报警距离d(单位：米)与车速v(单位：米/秒)之间的函数关系式. 2.若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下?合多少千米/时以下? 1.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　). A.{t|1≤t≤3} B.{t|3≤t≤5} C.{t|2≤t≤4} D.{t|4≤t≤6} 2.现有含盐量为7%的食盐水200克，若生产含盐量在5%以上、6%以下的食盐水，需要加入含盐量为4%的食盐水x克，则x的取值范围是________.  3.某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度电力部门计划将电价降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h)，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本为0.3元/(kW·h). (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%? 注：收益=实际用电量×(实际电价-成本价) 【合作探究】 探究　实际应用 公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰好在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上的抛物线路径如图所示. 为使水流形状漂亮，设计水流在离OA的距离为1米处达到距水面最大高度，最大高度为2.25米. 问题1：如图，如何确定水流在第一象限的轨迹的表达式? 问题2：如果不计其他因素，那么水池半径至少为多少米，才能使喷出的水流不落到池外? 　　利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：(1)选取合适的字母表示题中的未知数；(2)由题中给出的不等关系列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案. 例　近年来，盲盒产品的大热带动我国潮玩经济的快速增长.某盲盒产品生产及销售公司今年年初用98万元购进一批盲盒生产线后，预计每年有50万元的总收入.已知生产此盲盒x(x为正整数)年所需的各种费用总计为(2x2+10x)万元. (1)该公司第几年首次盈利?(总收入超过总支出，今年为第一年) (2)该公司年平均利润的最大值是多少? 【方法总结】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的实际含义. 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(0<x<10)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出税收y(单位：万元)关于x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围. 【随堂检测】 1.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天的利润在320元以上，每件售价应为(　　). A.12元 B.16元 C.12元到16元 D.10元到14元 2.某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件.为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是________元.(结果用区间表示)  3.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(单位：件)与售价P(单位：元/件)之间的关系式为P=160-2x，生产x件的成本R=500+30x. (1)当该厂的月销售量为多少时，月利润不少于1 300元? (2)当该厂的月销售量为多少时，可获得最大利润?最大利润是多少元? 参考答案 1.4.3 一元二次不等式的应用 自主预习·悟新知 预学忆思 1.根据题意，得d=d0+d1+d2+d3=20+0.8v+0.2v+=20+v+， 所以所求的函数关系式为d=20+v+. 2.因为要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，所以路况最糟糕时也需满足条件，当k=0.5时，d=20+v+<80，即v2+10v-600<0，解得0≤v<20. 因为20米/秒=72千米/时， 所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/时以下. 自学检测 1.B　【解析】由题意，可得20-t×2 400×≥900，整理得t2-8t+15≤0，解得3≤t≤5，故t的取值范围是{t|3≤t≤5}. 2.{x|100<x<400}　【解析】由题意得5%<<6%，解得x的取值范围是{x|100<x<400}. 3.【解析】(1)设下调后的电价为x 元/(kW·h)， 依题意知用电量增至+a，电力部门的收益为y=. (2)由题意得 整理得解得0.6≤x≤0.75. 故当电价最低定为0.6元/(kW·h)时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%. 合作探究·提素养 探究　情境设置 问题1：由题意可知，本题可借助抛物线这一数学模型求解，则水流所呈现的抛物线的方程为y=a(x-1)2+2.25. 由题意，知点A的坐标为(0，1.25)，把x=0，y=1.25代入方程，解得a=-1， 于是抛物线方程为y=-(x-1)2+2.25. 问题2：结合问题1，令y=0，得-(x-1)2+2.25=0，解得x1=2.5，x2=-0.5(不符合题意，舍去)，所以水池半径至少为2.5米，才能使水流不落到池外. 新知运用 例　【解析】(1)设利润为y万元，则y=50x-(98+2x2+10x)=-2x2+40x-98(x∈N*)， 由-2x2+40x-98>0，整理得x2-20x+49<0， 解得10-<x<10+， 因为x∈N*，所以x∈{x∈N*|3≤x≤17}，所以该公司第3年首次盈利. (2)由(1)得x∈{x∈N*|3≤x≤17}， 年平均利润=-2x++40≤-2×2+40=12， 当且仅当x=，即x=7时，等号成立， 所以该公司年平均利润的最大值为12万元. 巩固训练　【解析】(1)依题意，降低税率后的税率为(10-x)%， 农产品的收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%)万元， 则税收y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)·(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a×10%=20a(万元). 依题意，得a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%，化简得x2+40x-84≤0，解得-42≤x≤2. 又∵0<x<10，∴0<x≤2，∴x的取值范围是0<x≤2. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】设售价为每件x元，利润为y，则y=(x-8)[100-10(x-10)](x>10)， 依题意得(x-8)[100-10(x-10)]>320，即x2-28x+192<0，解得12<x<16， 所以每件售价应为12元到16元. 2.[45，65]　【解析】设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为(40+x)元， 故每天出售衬衫的净收入为y=(40+x-30)(40-x)=-(x-15)2+625. 由题可知，-(x-15)2+625≥525，整理得(x-25)(x-5)≤0，解得5≤x≤25， ∴45≤40+x≤65， ∴每件衬衫的售价的取值范围是[45，65]元. 3.【解析】(1)设该厂的月利润为y元，依题意得y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500， 由y≥1 300知-2x2+130x-500≥1 300，∴x2-65x+900≤0， ∴(x-20)(x-45)≤0，解得20≤x≤45， ∴当该厂的月销售量在20至45件之间时，月利润不少于1 300元. (2)由(1)知y=-2x2+130x-500=-2(x-32.5)2+1 612.5. ∵x为正整数，∴当x=32或x=33时，y取得最大值，最大值为1 612， ∴当该厂的月销售量为32件或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元. 学科网（北京）股份有限公司 $