1.4.3 一元二次不等式的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

●047 4.3一元二次不等式的应用 关键能力攻重难 ●题型一 不等式的恒成立问题 归纳提升：求不等式 恒成立问题中参数范 例1.已知不等式m-2x+m-2<0,若对于所有的实数x不等式恒成立， 围的常用方法 1.利用一元二次方程 求m的取值范围. 根的判别式解一元二 [分析]本题的易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使 次不等式在R上的恒 成立问题 不符合题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性 当未说明不等式为一 元二次不等式时，有 (1)不等式ax2+bx +c>0对任意实数 恒成立台 [a=b=0,支a>0 lc>0 △<0 (2)不等式ax2+bx +c<0对任意实数x 恒成立台 [归纳提升] e60,a8 》对点训练1 2.分离自变量和参变 量，利用等价转化思 若关于x的不等式ax2+(a-2)x-2≤0恒成立，求实数a的取值范围. 想将其转化为求函数 的最值问题. 通过等价变形，将参变 量分离出来，转化为 y>a(或<a,或≥a, 或≤a)恒成立问题： (1)若y在定义域内 存在最大值m,则y <a(或y≤a)恒成立 台a>m(或a≥m)； (2)若y在定义域内 存在最小值m,则y >a(或y≥a)恒成立 台a<m(或a≤m). 归纳提升： ●题型二一元二次方程根的分布 方程ax2+bx+c=0(a 例2已和方程8(m-1)x+m-7=0有两实根，如果两实根都大于1， ≠0)的根的分布情况 如下，其中x1,x2为 求实数m的取值范围. 该方程两根： （1)x1,x2一正一负 台x1x2<0. (2)x1>0,x2>0 4≥0， 台x1+x2>0 lx1x2>0. (3)x1<0,x2<0 4≥0， 台x+x2<0 x1x2>0. [归纳提升] 042 】对点训练2 要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1 小，则a的取值范围是 ●题型三一元二次不等式的应用 归纳提升：一元二次 例 3.某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件.若售价降低x 不等式解决实际应用 8 成(1成=10%)，售出商品数量就增加0x成，要求售价不能低于成 问题的步骤 (1)理解题意，搞清 本价 量与量之间的关系. (1)设该商店一天的营业额为y元，试求y与x之间的函数关系式，并 (2)建立相应的不等 写出x的取值范围； 关系，把实际问题抽 (2)若再要求该商品一天营业额至少10260元，求x的范围. 象为数学中的一元二 次不等式（组）问题 (3)解这个一元二次 不等式（组)，得到 实际问题的解 [归纳提升] 】对点训练3 有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此 时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多 少升？ 043 ●易错警示不等式恒成立时忽略首项系数的符号特征 例4，要使函数=+m+(m-1)的值恒为负值，求m的取值范用 [错解]二次函数y=x2+mx+(m-I)的值恒为负，则必须图象开口向下，且与x轴无公 共点 fm<0, m2-4m(m-1)<0→m<0,所求范围为m<0. [辨析]只有一元二次不等式才有相应判别式的研究，本题中的函数由于首项系数含有参 数，因此可能不是一元二次型，因此必须讨论m的取值.解答本题时容易出错的地方是直接 默认函数为一元二次型而采用判别式法处理， [正解] [点评]忽略对疑似二次型问题的首项系数的讨论是二次型问题的常见且典型的错误，因 此要注重对首项系数的讨论。 课堂检测固双基 1.若x∈{x1<x<2}时，不等式x2+mx+4<0:2.国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农 恒成立，求m的取值范围. 产品m吨.按规定，农户向国家纳税为：每收入 100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即 8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政 策.根据市场规律，税率降低x个百分点，收购 量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税 率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划 的78%. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14]1+2=6 (3)原不等式等价于x2-4x+4>0,即(x-2)2>0,所以原不 由根与系数的关系，知 解得∫a1, 等式的解集是{xx≠2. 2 1×2= lb=3 (④因为产-+子=(x-)广≥0，所以原不等式的解集 方法二：把x=1,x=2分别代人方程a2-bx+2=0中，得 为☑ 「a-b+2=0, fa=1. 14a-2b+2=0, 解得 (5)原不等式等价于(x+1)(2x-3)≥0，所以原不等式的解 b=3. 对点训练2：因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为xlx≤-3或x≥ 来是名或≤- 4},所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根， （6因为F-3+4-(:-引+子>0，所以原不等式的解 7 [-3+4=-6 [b=-a, 即 集为R 由根与系数的关系可得 -3×4=a C c=-12a. 2.(1)使y=3x2-6x+2的值等于0的x的取值集合 所以不等式bx2+2ax-c-36≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0，即 是3 x2-2x-15≥0，解得x≤-3或x≥5，故所求不等式的解集为xx 使y=3x2-6x+2的值大于0的x的取值范围是 ≤-3或x≥5}. 例3：对于方程2x2+a+2=0,其判别式4=a2-16=（a+4)(a {<3,或>3使y=32-6+2的值小于0的 3 3 -4). x的值为x ①当a>4或a<-4时，4>0，方程2x2+ax+2=0的两根为 x=（-a-层16=(-a+层-16 (2)令x2+6x+10=0,则方程无解，又由y=x2+6x+10图象 的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0. .原不等式的解集为 (3)令-3x2+12x-12=0,则x=2,又由y=-3x2+12x-12 {<(-a-后-16)或x>(-a+Vg-16)】 图象的开口方向朝下，故x=2时，函数的值等于0，当x≠2 时，函数值小于0. ②当a=4时，4=0，方程有两个相等实根，x1=x2=-1, “原不等式的解集为xx≠-1}. 4.3 一元二次不等式的应用 ③当a=-4时，△=0，方程有两个相等实根，x1=x2=1, 关键能力攻重难 .原不等式的解集为{xx≠1}. 例1：对于所有实数x都有不等式mx2-2x+m-2<0恒成立， ④当-4<a<4时，4<0，方程无实根，故原不等式的解集 为R 即函数y=mx2-2x+m-2的图象全部在x轴下方.当m=0 时，-2x-2<0,显然对任意x不能恒成立： 综上所述，当a>4或a<-4时，不等式解集为{：x<子(-a 1 当m≠0时，由二次函数的图象可知有 fm<0, -后-16)或>子(-a+V后-16)}：当a=4时，不等式 解得m<1-√2 L△=4-4m(m-2)<0, 解集为{xx≠-1}：当a=-4时，不等式解集为xlx≠1}：当 综上可知，m的取值范围是{mlm<1-√2. -4<a<4时，不等式解集为R 对点训练1：若a=0时，原不等式为-2x-2≤0不恒成立，所以 对点训练3：(1)当a=0时不等式为-x>0,所以x<0, a≠0. (2)当a≠0时，方程a-=0的两根为0与日 当a0时，则应有0，即<0， 14≤0,1(a-2)2-4a(-2)≤0， ①当a>0时，>0，所以x>1或x<0: 整理得∫<0， 1(a+2)2≤0， 解得a=-2. ②当a<0时， 1<0,所以1<x<0. a 所以实数a的值为-2. 综上，当a>0,不等式的解集为>。或x<0} 8=m7 例2设方程两根分别为，则x+=m。 8 当a=0时，不等式的解集为xlx<0};当a<0时，不等式的 因为两根均大于1，所以x1-1>0,x2-1>0, 解集为{日<< r4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 故有(x1-1)+(2-1)>0, 课堂检测固双基 (x1-1)(x2-1)>0, 1.（1)(x+2)(x-3)=0的两根为x1=-2,32=3 (m-1)2-32(m-7)≥0， 所以原不等式的解集为xlx>3或x<-2}. (2)原不等式等价于(x+1)(3x-10)≤0，所以原不等式的解 m-1-2>0, 即 集是{-1≤≤} m-7_m-l+1>0, 88 —287 rm≥25或m≤9， 依题意，得y≥2400m×8%×78%, 解得m>17, 即-)2m(x+42x-400)≥2400m×8%×78% Lm∈R, 所以m≥25. 整理，得x2+42-88≤0，解得-44≤x≤2. 故实数m的取值范围是{mlm≥25}. 根据x的实际意义，知0<x≤8， 对点训练2：al-2<a<1}设两根为x1>1,x2<1,则x1-1 所以x的范围为0<x≤2. >0,x2-1<0 -1)-1)<0. 章末知识梳理 4>0, 要点专项突破 即6-(+)+1<0， 例1：1当a+2=1时，a=-1,此时(a+1)2=0,a2+3a+3= 4=(a2-1)2-4(a-2)>0, 1,不满足集合中元素的互异性，故不成立； 即0-2+(a-1)+1<0, 当(a+1)2=1时，a=0或a=-2.当a=-2时，a2+3a+3= 解得-2<a<1, 1(a2-1)2-4(a-2)>0, 1舍去，经验证知a=0符合题意： 当a2+3a+3=1时，a=-1或a=-2,经验证知均不符合题 例3：(1)依题意得=10(1-奇)×100(1+0，又因售价 意，故a=0,所以2024“=1. 不能低于成本价。 例2：(1)因为A二B,所以集合A可以分为A=☑或A≠☑两种 情况来讨论： 所以1001-)-80≥0，解得0≤≤2， 当A=☑时，2a-3≥3a+1,解得a≤-4， 所以y=20(10-x)(50+8x),x的取值范围为[0,2]. 2a-3≥-5， (2)由题意20(10-x)(50+8x)≥10260，化简得8x2-30x+ 当A≠☑时，得3a+1≤4， 解得-1≤a≤1. 1B≤0.解得)≤≤号又因为05€2.所以75≤2，所以 1 12a-3<3a+1, 4 : 综上，实数a的取值范围是ala≤-4或-1≤a≤1}. x的取值范围为[宁，2 (2)若存在实数a,使A=B, r2a-3=-5, 「a=-1, 对点训练3：设桶的容积为x升，显然x>8. 则必有 即 无解 l3a+1=4,la=1, 依题意，得(x-8)-4(x-8）≤28%·x 1 故不存在实数a,使得A=B. 由于x>8,因而原不等式化简为9x2-150x+400≤0， 例3：B因M=1,2},N=2,3},则MUN={1,2,3},而U= 即(3.x-10)(3x-40)≤0 1,2,3,4},所以C(MUW)=4}. 因t号≤号从而8< 例4：A因为M=(x,y)y=2x-1,y≤0}，N={(x,y)ly=x2-4}, 3 「y=2x-1,y≤0,1 所以M∩N (x,y) Iy=x-4 =),所以M∩N中的元 故桶的容积最大为智升， 素个数为0. 易错警示 例5：①③⑥②④⑤对①，易知由p能得g,但是，若a>0, 例4：函数y=mx2+mx+(m-1)的值恒为负值，即不等式mx2+ 则由g不能得p,故p是q的充分不必要条件： mx+(m-1)<0对一切实数x恒成立，于是 对②，根据三角形全等定理可知，P是q的充要条件； ①当m=0时，-1<0恒成立： 对③，由p能得到g,但是，若a=-b,则由g不能得p,故p是 ②当m≠0时，要使其恒成立，则有 9的充分不必要条件： 「m<0, 解得m<0. 对④，易知p是q的充要条件； l4=m2-4m(m-1）<0, 对⑤，由直线平行定理可知，P是9的充要条件； 综上，m的取值范围为mm≤0. 对⑥，由三角形全等定理可知，由p不能得q,但由q可以得p, 课堂检测固双基 故p是q的必要不充分条件 1.设y=x2+mx+4图象开口向上，因为当xex1<x<2}时， 例6：(1)因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成 不等式x2+m.x+4<0恒成立，所以需满足x=1与x=2时的 立，所以当∠BAC>∠ABC时，有BC>AC;当BC>AC时，有 函数值同时小于或等于0， ∠BAC>∠ABC,所以P是q的充要条件. 即，+ms0, 解得m≤-5. (2)由a2<1,得-1<a<1,则a<2一定成立；而当a<2时， 8+2m≤0， 如a=-2,则a2<1不成立，所以p是g的充分不必要条件 ∴.m的取值范围为mlm≤-5} 2.设税率调低后，税收总收入为y元. (3)由么<1，得当a>0时，b<a,当a<0时，6>a;而当b<a y=2400m(1+2x%)·(8-x)% 时，若a>0,则。<1，若a<0,则么>1，所以p是g的既不充 e-23m(+42x-400)(0<x≤8 : 分又不必要条件 -288