第一章 §4 -4.2 一元二次不等式及其解法-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式及其解法，系统覆盖不含参数与含参数不等式解法、三个“二次”关系应用、恒成立与有解问题及分式高次不等式等内容，通过题型递进搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于分层题型设计与易错点专项突破，结合数学思维的严谨性（如含参数不等式分类讨论）和数学语言规范性（解集必用集合区间形式），归纳解题步骤与规律方法，助力学生形成结构化认知，教师可高效教学，提升学生解题能力与逻辑推理素养。

数学 必修第一册 BS 1 §4 §4 一元二次函数与一元二次不等式 2 §4 4.2 一元二次不等式及其解法 刷基础 3 1.［安徽阜阳三中2025高一月考］设，使得不等式 成立的一个充分不必要条 件是( ) C A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 4 解析 由即，解得.对比选项，只有 是 的真子集，可知不等式成立的一个充分不必要条件是 . 故选C. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 5 归纳总结 解一元二次不等式的一般步骤 ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应一元二次方程的判别式； ③求出相应的方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据对应二次函数图象与 轴的位置关系写出不等式的解集． 特别注意 解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 6 2.已知集合，，则 ( ) A A. B. C. D. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 7 解析 由题得，解得，所以 ， 所以 ，故选A. 题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 8 3.关于的不等式的解集是的子集，则实数 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 9 解析 当时，的解集为 ， ，符合条件； 当时，，不等式的解集为 ， 所以，所以得 ; 当时，，不等式的解集为 ， 所以，所以得 . 综上， .故选D. 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 10 4.［广西南宁八中2025高一月考］解下列关于的不等式： . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 11 【解】原不等式化简为 . 当时，，解得，故不等式的解集为 ； 当时，，解原不等式可得，此时原不等式的解集为 ； 当时，，解原不等式可得或 ，此时，原不等式的解集为 或 ； 当时，原不等式即为，解得 ，此时，原不等式的解集为 ； 当时，，解原不等式可得或，此时，原不等式的解集为 或 . 综上所述，当时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集 为；当时，原不等式的解集为或；当 时，原不等式 的解集为；当时，原不等式的解集为 . 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 链接教材 本题是教材第38页例4的同类试题，考查解含参数的一元二次型不等式.解含参数的一 元二次型不等式时要注意: （1）若二次项系数含有参数，则应对二次项系数大于0、小于0和等于0三种情况进行讨论.特别 地，如果不等式说明是一元二次不等式，则二次项系数应分大于0、小于0两种情况讨论. （2）若求对应一元二次方程的根需用求根公式，则应对判别式 进行讨论. （3）若求出的两根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 题型2 含参数的一元二次不等式的解法 13 5.［辽宁辽南协作校2025高一联考］若关于的一元二次不等式 的解集为 或，则关于的不等式 的解集是( ) B A. B. C.或 D.或 题型3 三个“二次”关系的应用 14 解析 因为关于的一元二次不等式的解集为或，所以,为关于 的一元二次方程的两根且 ， 所以 所以,，则不等式,即.因为 ，所以 ，即，解得，所以不等式 的解集是 .故选B. 题型3 三个“二次”关系的应用 15 6.（多选）［江苏苏大附中2025高一期中］已知关于的一元二次不等式 的解集 为或 ，则( ) AC A.且 B. C.不等式的解集为 D.不等式的解集为 题型3 三个“二次”关系的应用 16 解析 依题意可得方程的根为或，且 , 所以即, . 对于A，由可得, ，故A正确； 对于B，易知 ，故B错误； 对于C，不等式，即，可得，所以不等式 的解集为 ，故C正确； 对于D，不等式，即，即 ，所以 ，解得或，即不等式 的解集为 ，故D错误.故选 . 题型3 三个“二次”关系的应用 17 7.［山东泰安一中2025高一月考］关于的不等式 恰有一个整数解， 则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D.或 题型3 三个“二次”关系的应用 18 解析 ，即 ， 令，解得或，且 ， 若，则不等式的解集为，由题意可得 ； 若，则不等式的解集为 ，不合题意； 若，则不等式的解集为，由题意可得，解得 . 综上所述，实数的取值范围是或 .故选B. 题型3 三个“二次”关系的应用 19 8.［江西南昌2025高一期中］已知不等式的解集为空集，则实数 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 20 解析 欲使不等式的解集为空集，即,不等式 恒成立，则 ，,即实数的取值范围是 . 故选A. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 21 9.［湖南长沙雅礼中学2025高一月考］已知命题， 为真命题，则实 数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 22 解析 因为命题，为真命题，所以不等式的解集为 . 若，则不等式可化为，解得，不等式的解集不是 ； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知解得 . 综上可知， ，故选D. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 23 规律方法 一元二次型不等式恒成立的解题方法 （1）不等式对任意实数恒成立等价于或 （2）不等式对任意实数恒成立等价于或 题中若明确说是一元二次不等式,则；若未明确说是一元二次不等式,则要考虑 的情况. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 24 10.［广东广州2025高一月考］已知关于的不等式在上有解，则实数 的取 值范围是( ) A A. B. C.或 D. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 25 解析 因为关于的不等式在 上有解， 即在上有解，只需的图象与 轴有交点，所以 ，即，所以 ， 解得 .故选A. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 26 11.［安徽合肥巢湖二中2025高一期末］若关于的不等式在区间 上有 解，则实数 的最小值为( ) B A.9 B.5 C.6 D. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 27 解析 因为不等式在区间上有解,所以在区间 上有解, 所以 , 又因为,当且仅当,即 时取等号, 所以,所以,即实数 的最小值为5,故选B. 题型4 与一元二次不等式有关的恒成立与有解问题 28 12.已知全集为，集合,，则 ( ) C A. B. C. D. 题型5 分式不等式的解法 29 解析 因为,所以,所以,且,解得 ,故 . 又,即,解得,故 . 又,故 .故选C. 题型5 分式不等式的解法 30 规律方法 分式不等式的解法 先通过移项、通分，整理成标准形式,其中，均为关于 的式子， 再化为整式不等式求解.如果能判断出分母的正负，直接去分母也可. 题型5 分式不等式的解法 31 特别注意 解分式不等式时,若不能确定分母恒正或恒负,则不可将分母直接乘到另外一边,需要将 其转化为二次不等式再解决,同时注意分母不为0. 题型5 分式不等式的解法 32 13.不等式 的解集为( ) A A. B. C. D.或 题型5 分式不等式的解法 33 解析 恒成立, 原不等式 ， 原不等式的解 集为 .故选A. 题型5 分式不等式的解法 34 14.［北京海淀区2025高一期中］若关于的不等式的解集为，则关于 的不 等式 的解集为( ) C A.或 B. C.或 D. 题型5 分式不等式的解法 35 解析 因为关于的不等式的解集为，所以，所以不等式 等 价于，即，解得或.所以关于的不等式 的解集为 或 .故选C. 题型5 分式不等式的解法 36 15.不等式 的解集为( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 题型6 简单高次不等式的解法 37 解析 不等式可化为 ， 即，如图，由“穿针引线法”可得不等式的解集为 或 .故选C. 题型6 简单高次不等式的解法 38 16.使不等式组成立的 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型6 简单高次不等式的解法 39 解析 由可得即解得 综上， .故选A. 题型6 简单高次不等式的解法 40 17.［吉林长春2025高一段考］不等式 的解集为__________________________ ___________. 或或 题型6 简单高次不等式的解法 41 解析 因为 ， 所以 即 令，解得, , ， ， 采用“穿针引线法”，如图所示， 由图可得不等式的解集为或或 . 题型6 简单高次不等式的解法 42 归纳总结 对于高次不等式可利用“穿针引线法”进行求解,求解的步骤如下: （1）对不等式进行移项并分解因式,使得不等式右侧为0且左侧每个因式中 的系数为正,例如本题 中需化为 ； （2）解出不等式对应方程的所有根并在数轴上依次标出； （3）以数轴为标准,从最右根的右上方往左下画线,依据“奇穿偶不穿”的原则依次穿过各根； （4）根据不等号方向选取轴上方或轴下方的部分（注意在 轴上的点的选取）,即可得出不等 式的解集. 题型6 简单高次不等式的解法 43 18.若关于的不等式的解集是或，则实数 的取值范围是______. 解析 ， 即 又 原不等式的解集为或， 结合穿根引线法可知 . 实数的取值范围为 . 题型6 简单高次不等式的解法 44 19.若集合 ，则实数 的取值范围是______. 解析 ①若，则 不成立，此时解集为空集，满足题意； ②若，则解得.综上， . 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 45 20.［四川成都七中2024高一月考］若在上恒成立，则实数 的取值范围是 ______. 解析 ①当时， 恒成立，满足条件； ②当时，则需满足 解得.综上可得实数的取值范围是 . 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 46 易错警示 在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用 判别式法来判断.在处理形如的问题时，要注意对 进行讨论. 易错点1 忽略二次项系数的讨论而致错 47 21.［江西南昌二中2024高一月考］已知一元二次不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是______. 解析 为一元二次不等式， . 不等式的解集为 , 解得 . 实数的取值范围为 . 易错点2 审题不仔细而致错 48 易错警示 题目条件确定不等式类型为一元二次不等式，故二次项系数不为零，即此题中 . 易错点2 审题不仔细而致错 49 22.不等式 的解集是( ) D A. B. C. D. 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 50 解析 原不等式等价于解得 .故选D. 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 51 23.不等式 的解集是_______________________________. 解析 原不等式等价变形为，即 ， 即 ， 即 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 52 等价变形为 如图所示，利用“穿根引线法”可得原不等式的解集为或或 . 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 53 易错警示 解分式不等式时要根据不等号来决定是否考虑限制条件“分母不为零”，进而完成等 价转化. 易错点3 忽略分母的特殊性而致错 54 24.不等式 的解集为( ) A A.或 B. C. D. 易错点4 忽略平方式的特殊性而致错 55 解析 原不等式等价于解得，且 ，故选A. 易错点4 忽略平方式的特殊性而致错 56 25.不等式 的解集是_________________________. 或或 解析 原不等式等价于 ，如图所示，由“穿针引线法”可得原不等式 的解集为或或 . 易错点4 忽略平方式的特殊性而致错 57 易错警示 以上两题易出现的错误是“舍去平方式”，导致错解. 易错点4 忽略平方式的特殊性而致错 58 $$