1.4.1 一元二次函数 导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学导学案聚焦一元二次函数，引导学生理解定义域、值域、单调性、对称性等概念，通过自主预习回顾初中从y=x²到一般式的学习历程，搭建新旧知识桥梁，为后续图象变换及性质探究奠定基础。 以问题链驱动学习，合作探究中通过错误图象辨析培养直观想象，结合实际成本问题渗透模型意识，分层练习兼顾基础与提升，助力学生用数学思维分析问题，提升数学运算能力，便于教师实施素养导向教学。

1.4.1 一元二次函数 【学习目标】 1.理解二次函数的定义域、值域、单调性、对称性.(数学抽象) 2.能利用配方法或图象法掌握二次函数的重要性质.(直观想象) 3.会求二次函数在给定闭区间上的最大值与最小值.(数学运算) 【自主预习】 　　在初中，我们学习了一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，认识这个函数的过程是从y=x2开始的，是由简到繁的. 1.一元二次函数是由y=x2怎样变化得到的? 2.什么是抛物线? 3.一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点是什么? 1.关于二次函数y=-2(x-2)2+1的图象，下列叙述不正确的是(　　). A.对称轴为直线x=2 B.顶点坐标为(-2，1) C.开口向下 D.与x轴有两个交点 2.(多选题)如图，这是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点(x1，0)，-3<x1<-2，对称轴为直线x=-1，则下列结论错误的有(　　). A.abc>0 B.2a+b=0 C.b2>4ac D.3b+2c>0 3.写出一个满足“当x>2时，y随x的增大而减小”的二次函数解析式：_____.  4.如图，在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线y=ax2-4ax+3(a是常数，a>0)交y轴于点B，BC∥x轴交抛物线于另一点C. (1)求该抛物线的对称轴及点C的坐标； (2)直线y=kx-1(k是常数，k>0)经过A， C两点，求a，k的值. 【合作探究】 探究1　二次函数图象的变换规律 　　小明、小磊、小阳、小军画出的函数y=2x·(3-x)的图象如下： 问题1：你能说出谁画的图象正确吗? 问题2：画二次函数的图象时，要重点体现抛物线的哪些图象特征? 　　二次函数的图象变换及参数a，b，c，h，k对其图象的影响 (1)函数y=x2和函数y=ax2(a≠0)的图象之间的关系 二次函数y=ax2(a≠0)的图象可由y=x2的图象上各点的纵坐标变为原来的a倍得到.参数a的取值不同，函数及其图象也有区别，a决定了图象的开口方向和开口大小.当a>0时，二次函数y=ax2的图象开口向上，当a<0时，图象开口向下.而且，当a>0时，a的值越大，函数y=ax2的图象开口越小，a的值越小，函数y=ax2的图象开口越大；当a<0时，a的值越小，函数y=ax2的图象开口越小，a的值越大，函数y=ax2的图象开口越大.也就是说，|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小，抛物线的开口越大. (2)函数y=ax2和函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象之间的关系 函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象可以由函数y=ax2(a≠0)的图象向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度得到.h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.可简记为“左加右减，上加下减”.由于只进行了图象的平移变换，所以函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象与函数y=ax2(a≠0)的图象形状相同，只是位置不同. 例1　二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数y=x2-2x+1的图象，则b=________，c=________.  【方法总结】平移变换不改变图象的形状，只改变图象在坐标系中的位置. ①在x轴上平移，即把x换成(x±h)(h>0，左加右减)； ②在y轴上平移，即在原解析式的基础上加(减)k(k>0，上加下减). 如何由函数y=x2-6x+6的图象得到函数y=x2的图象. 探究2　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质 　　某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元. 问题：该单位每月能否获利?如果获利，求出最大利润；如果不获利，那么需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损? 　　一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质 (1)函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x=h. (2)当a>0时，抛物线开口向上，在区间(-∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小，在区间[h，+∞)上，函数值y随自变量x的增大而增大，函数在x=h处有最小值，记作ymin=k. 当a<0时，抛物线开口向下，在区间(-∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[h，+∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小，函数在x=h处有最大值，记作ymax=k. 例2　求函数y=x2-2ax+2，x∈[-1，1]的最小值. 【方法总结】求解二次函数最值问题的关键是与图象相结合，讨论对称轴在区间左侧、在区间内、在区间右侧这三种情况.对于已给出最值的问题，求解的关键是借助增减性确定最值点. 函数y=x2-4x+5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是(　　). A.[2，+∞) B.[0，2] C.(-∞，2] D.[2，4] 【随堂检测】 1.二次函数y=-x2+2x-5有(　　). A.最大值-5 B.最小值-5 C.最大值-4 D.最小值-4 2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法错误的是(　　). A.y的最小值为1 B.顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2 C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 3.函数y=x2-2x，x∈[0，3]的最大值是________，最小值是________.  4.求二次函数y=x2+4x+5的最小值，并求出对应的x的值. 参考答案 1.4.1 一元二次函数 自主预习·悟新知 预学忆思 1. 2.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线. 3.因为原函数可化为y=a+(a≠0)，所以顶点为. 自学检测 1.B　【解析】由二次函数y=-2(x-2)2+1可知 a=-2<0， 所以图象开口向下，顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2，二次函数的图象与x轴有两个交点，故A，C，D正确，B不正确，故选 B. 2.BD　【解析】对于A，由抛物线开口向下知a<0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，知c>0， ∵对称轴为直线x=-=-1，∴2a=b，∴a，b同号，即b<0，∴abc>0，故本选项正确，不符合题意； 对于B，由A知2a=b，∴2a+b=4a，且a≠0， ∴2a+b≠0，故本选项错误，符合题意； 对于C，从图象知，该函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴根的判别式Δ=b2-4ac>0，即b2>4ac，故本选项正确，不符合题意； 对于D，∵-3<x1<-2， ∴根据二次函数图象的对称性知，当x=1时，y<0， ∴a+b+c<0，又由A知2a=b， ∴b+b+c<0，即3b+2c<0， 故本选项错误，符合题意.故选BD. 3.y=-(x-2)2(答案不唯一)　【解析】设抛物线的解析式为y=a(x-2)2， ∵在抛物线对称轴的右边，y 随x的增大而减小， ∴a<0，符合上述条件的二次函数均可， 可取a=-1，则y=-(x-2)2 . 4.【解析】(1)∵抛物线y=ax2-4ax+3=a(x-2)2+3-4a， ∴该抛物线的对称轴是直线x=2，点A的坐标为(2，3-4a)，当x=0时，y=3，即点B的坐标是(0，3)， ∵BC∥x轴交抛物线于另一点C，∴点B，C关于直线x=2对称，∴点C的坐标为(4，3). (2)∵直线y=kx-1(k是常数，k>0)经过A(2，3-4a)，C(4，3)两点， ∴解得 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：由2x(3-x)=0得x=0或x=3，可知图象与x轴的交点为(0，0)，(3，0)，说明小明、小阳画的图象不正确.又y=2x(3-x)=-2x2+6x，所以图象开口向下，说明小军画的图象不正确.综上，小磊画的图象正确. 问题2：重点体现抛物线的特征——“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更准确. 新知运用 例1　-6　6　【解析】因为y=x2-2x+1=(x-1)2， 所以抛物线y=x2-2x+1的顶点为(1，0). 根据题意把此抛物线反向平移，得抛物线y=x2+bx+c的图象. 则点(1，0)点(3，-3)， 所以抛物线y=x2+bx+c的顶点为(3，-3)， 所以y=x2+bx+c=(x-3)2-3=x2-6x+6. 所以b=-6，c=6. 巩固训练　【解析】y=x2-6x+6=(x-3)2-3，其图象向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，即可得到y=x2的图象. 探究2　情境设置 问题：设该单位每月获利S元，则S=100x-y=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000，x∈[200，500]， 当x=300时，S最大，Smax=-35 000. 所以该单位每月不能获利，需要国家每月至少补贴35 000元才能不亏损. 新知运用 例2　【解析】y=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上，且对称轴为直线x=a. 当a≥1时，函数图象如图①所示，在区间[-1，1]上函数值y随x的增大而减小，最小值在x=1处取得，为3-2a； 当-1<a<1时，函数图象如图②所示，在区间[-1，1]上函数值y随x的增大而先减后增，最小值在x=a处取得，为2-a2； 当a≤-1时，函数图象如图③所示，在区间[-1，1]上函数值y随x的增大而增大，最小值在x=-1处取得，为3+2a. 综上，当a≥1时，ymin=3-2a； 当-1<a<1时，ymin=2-a2； 当a≤-1时，ymin=3+2a. 巩固训练　D　【解析】函数y=x2-4x+5=(x-2)2+1在[0，+∞)上的图象如图所示， 由题意得2≤m≤4. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】将函数解析式化为y=-(x-1)2-4，所以当x=1时，y最大，ymax=-4. 2.C　【解析】∵二次函数y=(x-2)2+1，a=1>0， ∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点为(2，1)，当x=2时，y有最小值1，当x>2时，y的值随x值的增大而增大，当x<2时，y的值随x值的增大而减小， 故选项A，B的说法正确，C的说法错误； 根据平移的规律，y=x2的图象向右平移2个单位长度，得到y=(x-2)2的图象，再向上平移1个单位长度，得到y=(x-2)2+1的图象，故选项D的说法正确. 3.3　-1　【解析】∵y=x2-2x=(x-1)2-1，∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1. ∵0≤x≤3，∴当x=1时，y最小，ymin=-1，当x=3时，y最大，ymax=3. 4.【解析】因为y=x2+4x+5=(x+2)2+1，所以二次函数y=x2+4x+5的最小值是1，对应的x的值为-2. 学科网（北京）股份有限公司 $