1.4.1一元二次函数（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第一册）

1.4.1　一元二次函数 知识点一 一元二次函数的图象 ★1．一元二次函数的定义 一般地，把形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项．通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． ★2．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 注意： (1)在利用一元二次函数图象解决问题时，应注意以下几点： ①a决定函数图象的开口方向；②判别式Δ决定与x轴是否有交点；③过定点(0，c)；④对称轴的位置． (2)一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． 知识点二 求一元二次函数的解析式 ★1. 一元二次函数的解析式的三种不同形式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． ★2. 求一元二次函数解析式的步骤 知识点三 一元二次函数的性质 函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸 对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k) 在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大 在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小 抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝k 抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝k 注意： 解决一元二次函数的单调性与最值问题时要注意数形结合法的应用 ★2. 一元二次函数最值问题的解法 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合对称轴的位置，根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成． 题型一、求二次函数的解析式 解题技巧提炼 求一元二次函数解析式的方法 求一元二次函数解析式时，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式,利用待定系数法求解. (1)若已知条件是图象上的三个点,则设一般式的形式; (2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值,则设顶点式(其中顶点坐标为,为常数,); (3)若已知图象与轴的两个交点的坐标，则设两根式 1．已知某二次函数的图象与轴交于点，，且过点，求此二次函数的解析式； 【答案】. 【解析】设二次函数的解析式为，将代入即可求解. 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ， 2．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且．求的解析式； 【答案】； 【分析】设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； 【详解】解：设二次函数为， 因为，可得，解得， 所以函数的解析式． 3．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知二次函数的图象的顶点为，且的图象经过原点，求的解析式； 【答案】 【分析】法一利用顶点式设方程即可求解；法二：利用一般式设方程得方程组求解即可 【详解】（方法一）设， 由题意得，得， 所以． （方法二）设， 由题意得，解得 所以． 题型二、二次函数图象的识别 解题技巧提炼 识别一元二次函数图象位置的方法 (1)识别含有参数的一元二次函数图象的位置时，一方面可以对参数进行分类讨论，通过讨论确定一元二次函数图象的对称轴、开口方向、顶点、与坐标轴的交点等情况,进而确定选项;另一方面也可采用排除法或特殊值法,即抓住函数图象的特征或特殊点,排除、筛选或对参数进行赋值,看是否满足题意,进而确定选项 (2)当题目中涉及两个函数图象时，一般先在各选项中假设其中一个函数的图象正确,由此确定变量的取值范围,再由变量的取值范围确定另一个函数图象的位置，从而判断图象的正误. 4．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定二次函数开口向下，对称轴，对比选项得到答案. 【详解】由图可知，故二次函数开口向下，对称轴． 故选： 5．（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案. 【详解】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确. 故选：D 6．（23-24高一上·江苏苏州·开学考试）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果. 【详解】若，则一次函数为增函数， 二次函数的开口向上，故可排除A； 若，则一次函数为减函数， 二次函数的开口向下，故可排除D； 对于选项C，由直线可知，，从而， 而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除C. 故选：B. 题型三、二次函数图象的画法 解题技巧提炼 一元二次函数图象的画法 (1)描点法.利用描点法作图必须遵循列表→描点→连线的步骤.在列表时,可先求得一元二次函数图象的对称轴,在对称轴两侧均匀取值,可减少作图的盲目性. (2)变换法.变换法是利用与作图函数有关联的函数图象,通过图象变换作图的一种方法.利用此法作图时,要注意图象变换的正确性,如平移变换的“左加右减”等 7．在同一坐标系中作出下列函数的图象，并分析如何把的图象变换成的图象． （1）；（2）；（3）. 【答案】答案见解析 【分析】通过列表，描点，连线得相应函数的图象，利用函数图象变换规律得出图象变换过程. 【详解】列表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 7 2 -1 -2 -1 2 7 30 16 6 0 -2 0 6 描点、连线即得相应函数的图象，如下图所示．    . 由到的变化过程如下： 解法一：先把的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象， 然后把的图象向下平移2个单位长度得到的图象， 最后把的图象向右平移1个单位长度得到，即的图象． 解法二：先把的图象向右平移1个单位长度得到的图象， 然后把的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象， 最后把的图象向下平移2个单位长度便可得到，即的图象． 8．画下列函数图象，并求出给定区间的最值． （1）； （2），． 【答案】（1）作图见解析， ，无最大值；（2）作图见解析，，． 【分析】先列表描点连线，作出函数图象，再利用图象即得函数的最值. 【详解】解：（1）函数的对称轴为，顶点为， x … 0 1 2 3 … y … 5 5 … 作出函数的图象： 由图象可知，当时， ，无最大值； （2）函数对称轴为,顶点为， x … 0 1 … y … … 作出函数的图象： 因为，所以由图象可知， 当时， ，当时，． 9．已知二次函数,若. (1)求函数的解析式； (2)画函数的图象； (3)当（）时，求函数的最大值. 【答案】(1) (2)图象见解析 (3)当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为 【分析】（1）利用列方程，通过对比系数求得，由此求得的解析式. （2）结合二次函数图象的知识画出的图象. （3）对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的最大值. 【详解】（1）， ， ， ，所以函数的解析式为：. （2）的图象如下图所示： （3）依题意，，开口向上，对称轴为， ， 结合图象可知： 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为． 题型四、利用数形结合分析字母关系 解题技巧提炼 利用一元二次函数的图象解题时的注意事项： (1)利用一元二次函数的图象解决问题时,要充分考虑其图象特征，如开口方向，顶点,与轴、轴的交点,对称轴等与系数之间的关系,尤其注意轴对称的特征. (2)一元二次函数的图象非常重要要，养成用图的好习惯，充分运用数形结合思想. 10．（多选）（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）如图所示的是一元二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为直线，则以下选项中正确的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，由二次函数的图像与性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】结合图像，当时，，即，故A错误； 因为图像与轴交于两点，所以，即，故B正确； 因为抛物线过点，对称轴为直线，则抛物线与轴另一个交点为，于是有，故C正确； 对称轴为，即，所以， 根据抛物线开口向下，知，则，即，故D正确． 故选：BCD． 11．（多选）已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线.有下列结论；其中，正确结论的是（    ） A． B． C．关于的方程有两个不相等的实数根 D．以上说法均正确 【答案】AC 【分析】根据二次函数的性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为的对称轴为直线， 所以，即，故A正确. 对选项B，设，（，，是常数，）， 因为对称轴为，且经过点， 所以，即，，故B错误. 对选项C，因为经过点，且对称轴为， 所以方程有两个不相等的实数根，即. 对方程，，， 所以方程有两个不相等的实数根，故C正确. 对选项D，根据A，B，C，即可判断D错误. 故选：AC 12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝2．关于下列结论：①ab＜0；②b24ac＞0；③9a3b+c<0；④b4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝4，其中正确的结论有（　　） A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴方程可判断①④，根据抛物线与轴的交点情况可判断②⑤，由时，可判断③. 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵＝2， ∴b＝4a，ab＞0， ∴b4a＝0， ∴①错误，④正确， ∵抛物线与x轴交于4，0处两点， ∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝4， ∴②⑤正确， ∵当x＝3时y＞0，即9a3b+c＞0， ∴③错误， 故正确的有②④⑤． 故选：B． 13．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为，则以下正确的有 . ①   ② ③   ④ ⑤不等式的解集是 【答案】①④⑤ 【解析】利用二次函数的性质，逐个选项进行分析，即可求解 【详解】对于①，从图像可以看出，，故，化简得，①正确； 对于②，对称轴为，所以，对称轴为，所以，，故，②错误； 对于③，令，，③错误； 对于④，由图像得，二次函数图像开口向下，，由，得，所以，，得，所以，；④正确； 对于⑤，对于，从图像可知，时，有两个解，由于对称轴为，故两个解为和，所以，不等式的解集是，⑤正确； 故答案为：①④⑤ 【点睛】本题考查二次函数得图像性质问题，主要考查学生得数形结合能力，属于基础题 题型五、一元二次函数的性质及应用 解题技巧提炼 利用一元二次函数图象的变化趋势解题的思路 由于一元二次函数的图象在和上的变化趋势相反,因此解决此类问题的关键是借助一元二次函数图象的对称轴，正确找出区间之间的包含关系或对称轴与给定区间的相对位置，从而找出变量之间的关系. 14．（23-24高一上·天津·期中）已知函数在时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意知函数开口向上，只需函数的对称轴大于或等于，从而可以求解. 【详解】由题意知函数开口向上，对称轴为：， 又因为当时，随的增大而减小， 所以只需对称轴大于或等于，即：， 所以得的取值范围为：，故选项C正确. 故选：C 15．已知函数在上y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称轴与进行比较，即可求出答案 【详解】因为函数在上y随x的增大而增大 则，解得 所以实数m的取值范围是 故选：A 16．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3 【答案】D 【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式≥0，解得a≥﹣2；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出答案． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点， ∴＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0 解得：a≥﹣2； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上， 且当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴a≤3， ∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 17．已知函数. (1)若函数在区间上y随x增大而增大，求实数a的取值范围； (2)若函数在区间上的最大值为1，求实数a的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数的单调性可得对称轴满足的条件，故可得参数的取值范围； （2）就，及分类讨论后可得实数的值. 【详解】（1）由题设可得函数在上为增函数，而二次函数的对称轴为， 故即. （2）二次函数的对称轴为， 当即时，函数在上为减函数，故最大值为即，符合； 当即时，函数在上递增，在上递减， 故最大值为， 故，解得或，因，故两解均舍； 当即时，此时函数在为增函数， 故最大值为即， 综上，或. 题型六、一元二次函数在闭区间上的最值 解题技巧提炼 求一元二次函数在上的最值的步骤 (1)配方,找对称轴.(2)判断对称轴与区间的关系(3)求最值.若对称轴在区间外,则一元二次函数在的端点处取得最值;若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最大(小)值,最小(大)值在端点处取得最值情况如下: 当时, ①若，在顶点处取得最小值,离对称轴较远点处取得最大值. ②若,在离对称轴较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值. 当时,仍在顶点处或区间端点处取得最大值，最小值需讨论对称与区间的相对位置. 18．函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，，作出函数在区间上的图象，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，作出函数在区间上的图象如下图所示： 由上图可知，当时，函数在区间上的最大值为，最小值为， 故选：A. 19．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值： （1）x≤2；   （2）－2≤x≤1；   （3）0≤x≤3． 【答案】（1）当时，取得最大值为，没有最小值.（2）当时，取得最大值为，当时，取得最小值为.（3）当时，取得最大值为，当时，取得最小值为. 【分析】求得二次函数的对称轴和开口方向.然后根据二次函数的对称轴和开口方向以及的范围，求得的最大值、最小值，以及此时对应的的值. 【详解】二次函数，对称轴为，开口向下. （1）当时，二次函数在上递增，在上递减，故当时，有最大值为，没有最小值. （2）当时，二次函数在上递增，在上递减，且“距离”比“距离”要远.故当时，有最大值为，当时，有最小值为. （3）当时，二次函数在上递减，故当时，有最大值为，当时，有最小值为. 【点睛】本小题主要考查二次函数在给定区间上的最大值、最小值，属于基础题. 20．已知一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，且过点. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据题意设，将点的坐标代入函数解析式，求出的值，即可得出所求二次函数的解析式； （2）分析二次函数在上的单调性，即可得出函数在上的最大值和最小值. 【详解】（1）解：因为一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同， 且图象的对称轴为， 设， 因为函数的图象过点，则有，解得. 所以，函数的解析式为. （2）解：因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取最大值， 当时，；当时，，则. 故函数在上的最大值为，最小值为. 21．已知一元二次函数. （1）写出该函数的顶点坐标；对称轴方程； （2）如果该函数在区间上的最小值为3，求实数a的值. 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为（2）或 【解析】（1）配方后可得顶点坐标和对称轴； （2）分类讨论对称轴与区间的关系，可求得最小值，结合已知最小值可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以该函数的顶点坐标为，对称轴为. （2）当，即时，函数在区间上递增，所以， 由，解得或（舍）， 当，即时，函数在区间上递减，所以，由，解得或（舍）， 当，即时，，由，解得（舍）， 综上所述：或. 【点睛】方法点睛：求含参二次函数的最值的方法是讨论对称轴与区间的三种位置关系，根据二次函数的单调性求解. 22．已知二次函数满足，且． (1)求a , b的值； (2)若，在区间上的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据条件得对称轴，再结合，列方程组解得结果，（2）根据对称轴与定义区间位置关系分类讨论，确定对应最值取法，分别求得的取值范围，最后求并集得结果. 【详解】（1）根据题意得，f(1)=a-4+b=-2， 又因为， 所以二次函数的对称轴为，解得a=1， 所以b=1， (2)由（1）可知， ， 当m>2时， 最小值，最大值， 所以； 当m+1<2<m+2，即0<m<1时， 最小值为，最大值， 所以； 当m≤2<m+1，即1<m≤2， 最小值为，最大值为， 所以； 当m+2≤2时，即m≤0时，最小值为，最大值， 所以； 所以， 函数的图象如下： 观察图象可知，函数的值域为. 【点睛】本题考查二次函数解析式、二次函数最值以及分段函数值域，考查基本分析求解能力，属中档题. 23．已知是二次函数，不等式的解集是（0,5），且在区间[－1,4]上的最大值是12． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最小值． 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）求二次函数解析式常采用待定系数法，设出解析式，由已知条件得到参数值，从而得到解析式；（2）求二次函数最值首先判断其单调性，要分情况讨论区间与对称轴的位置关系. 【详解】（1）因为是二次函数，且的解集是（0，5） 所以可设 所以的对称轴为且开口向上. 所以在区间[-1，4]上的最大值是． 解得：. 所以． （2）由题意，的对称轴为. 所以当时，在区间上单调递增， 此时的最小值为； 当时，有，所以的最小值为； 当时，在区间上单调递减，所以的最小值为； 综上所述： 24．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上最小值为5，求实数的值． 【答案】(1)． (2)或 【分析】（1）由，得，再由待定系数法得出函数的解析式； （2）先由对称轴结合最值得出或，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数的值． 【详解】（1）解：由，得， 由，得， 故，解得， 所以. （2）由（1）得：， 则的图象的对称轴方程为， 最小值，故或（即或） 当时，最小值，解得， 当时，最小值，解得. 综上或. 25．已知二次函数满足条件：，. （1）求； （2）讨论二次函数在闭区间上的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，根据，解得的值，即可求出的解析式； （2）分情况讨论当，，时，分别求出的最小值即可． 【详解】（1）因为，可设， 因为，所以， 即有，解得， 所以； （2）①当时，在上是增函数，所以； ②当，即时，在上是减函数，； ③当时，. 综上，. 题型七、一元二次函数的实际应用 解题技巧提炼 与一元二次函数有关的实际应用题大多涉及最值的求解,如利润最大、用料最省等问题.解题的关键是由题意确定函数解析式，然后借助一元二次函数的性质求出最值,但要注意函数的自变量取值要使实际问题有意义. 26．某桶装水经营部每天的房租､工人工资等固定支出为200元，每桶水的成本价为5元，销售单价与每日销售量的关系如下表，根据表中的数据，回答下列问题： 销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 （1）销售单价与每日销售量之间有什么关系？ （2）单价确定为多少时？可以获得最大利润，并求出最大利润. 【答案】（1）随着单价的提高，日销售量在减少，销售单价每提高1元，日销售量减少40桶，销售单价与日销售量之间为函数关系；（2）单价确定为11.5元，获得最大利润为1490元. 【分析】（1）由销售单价与日销售量的表格可知，销售单价与日销量成函数关系； （2）先求解出日销售量与销售单价的函数关系式，再列出利润关于的解析式，然后确定利润最值及利润最大时销售单价的值. 【详解】（1）随着单价的提高，日销售量在减少，销售单价每提高1元，日销售量减少40桶，销售单价与日销售量之间为函数关系； （2）设销售单价为元，获得的利润为元.设日销售量满足：， 由图表可知，日销售量为：，解得，， 即， 根据题意得， 即 当时，   所以单价确定为11.5元，获得最大利润为1490元. 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，考查学生处理问题分析问题的能力，难度一般.解答时，关键在于列出利润关于销售单价的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解最值. 27．（22-23高一上·甘肃庆阳·阶段练习）将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销量就减少10个，为了争取最大利益，此商品的售价应定为多少元?并求最大利润. 【答案】售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元 【分析】设售价定为元时，每天的销售利润为元，列出函数的解析式，利用二次函数的最值求解即可． 【详解】设售价定为元时，每天的销售利润为元，依题意，得: 当时，取得最大值，且最大值为． 即售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元 28．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元 (2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大 【分析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元， 所以 两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意． 所以甲种灯笼元，乙种灯笼元； （2）①由题意， 故与的函数解析式为 ②由①知，函数开口向下 函数在对称轴处有最大值． 因为销售部门规定其销售单价不高于每对元 所以， 所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大． 29．（22-23高一上·河北唐山·期中）某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为:，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴. (1)当时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润; 如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】(1)故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损 (2)该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【分析】（1）根据题意结合二次函数的性质分析运算；（2）分类讨论和，结合二次函数的性质和基本不等式分析运算. 【详解】（1）当时，该项目的利润， ∵，则，故该项目不能获利， 当时，取到最小值， 故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损. （2）当时，平均处理成本， 当时，平均处理成本取到最小值250； 当时，平均处理成本， 当，即时，平均处理成本取到最小值200； ∵，故该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1　一元二次函数 知识点一 一元二次函数的图象 ★1．一元二次函数的定义 一般地，把形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a，b，c是常数)的函数叫作一元二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项．通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． ★2．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 注意： (1)在利用一元二次函数图象解决问题时，应注意以下几点： ①a决定函数图象的开口方向；②判别式Δ决定与x轴是否有交点；③过定点(0，c)；④对称轴的位置． (2)一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． 知识点二 求一元二次函数的解析式 ★1. 一元二次函数的解析式的三种不同形式： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． ★2. 求一元二次函数解析式的步骤 知识点三 一元二次函数的性质 函数 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸 对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k) 在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大 在区间上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上，函数值y随自变量x的增大而减小 抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值，ymin＝k 抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值，ymax＝k 注意： 解决一元二次函数的单调性与最值问题时要注意数形结合法的应用 ★2. 一元二次函数最值问题的解法 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合对称轴的位置，根据函数的变化趋势及分类讨论的思想即可完成． 题型一、求二次函数的解析式 解题技巧提炼 求一元二次函数解析式的方法 求一元二次函数解析式时，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式,利用待定系数法求解. (1)若已知条件是图象上的三个点,则设一般式的形式; (2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值,则设顶点式(其中顶点坐标为,为常数,); (3)若已知图象与轴的两个交点的坐标，则设两根式 1．已知某二次函数的图象与轴交于点，，且过点，求此二次函数的解析式； 2．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且．求的解析式； 3．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知二次函数的图象的顶点为，且的图象经过原点，求的解析式； 题型二、二次函数图象的识别 解题技巧提炼 识别一元二次函数图象位置的方法 (1)识别含有参数的一元二次函数图象的位置时，一方面可以对参数进行分类讨论，通过讨论确定一元二次函数图象的对称轴、开口方向、顶点、与坐标轴的交点等情况,进而确定选项;另一方面也可采用排除法或特殊值法,即抓住函数图象的特征或特殊点,排除、筛选或对参数进行赋值,看是否满足题意,进而确定选项 (2)当题目中涉及两个函数图象时，一般先在各选项中假设其中一个函数的图象正确,由此确定变量的取值范围,再由变量的取值范围确定另一个函数图象的位置，从而判断图象的正误. 4．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西南昌·开学考试）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏苏州·开学考试）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   题型三、二次函数图象的画法 解题技巧提炼 一元二次函数图象的画法 (1)描点法.利用描点法作图必须遵循列表→描点→连线的步骤.在列表时,可先求得一元二次函数图象的对称轴,在对称轴两侧均匀取值,可减少作图的盲目性. (2)变换法.变换法是利用与作图函数有关联的函数图象,通过图象变换作图的一种方法.利用此法作图时,要注意图象变换的正确性,如平移变换的“左加右减”等 7．在同一坐标系中作出下列函数的图象，并分析如何把的图象变换成的图象． （1）；（2）；（3）. 8．画下列函数图象，并求出给定区间的最值． （1）； （2），． 9．已知二次函数,若. (1)求函数的解析式； (2)画函数的图象； (3)当（）时，求函数的最大值. 题型四、利用数形结合分析字母关系 解题技巧提炼 利用一元二次函数的图象解题时的注意事项： (1)利用一元二次函数的图象解决问题时,要充分考虑其图象特征，如开口方向，顶点,与轴、轴的交点,对称轴等与系数之间的关系,尤其注意轴对称的特征. (2)一元二次函数的图象非常重要要，养成用图的好习惯，充分运用数形结合思想. 10．（多选）（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）如图所示的是一元二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为直线，则以下选项中正确的为（    ）    A． B． C． D． 11．（多选）已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线.有下列结论；其中，正确结论的是（    ） A． B． C．关于的方程有两个不相等的实数根 D．以上说法均正确 12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝2．关于下列结论：①ab＜0；②b24ac＞0；③9a3b+c<0；④b4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝4，其中正确的结论有（　　） A．①③④ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 13．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为，则以下正确的有 . ①   ② ③   ④ ⑤不等式的解集是 题型五、一元二次函数的性质及应用 解题技巧提炼 利用一元二次函数图象的变化趋势解题的思路 由于一元二次函数的图象在和上的变化趋势相反,因此解决此类问题的关键是借助一元二次函数图象的对称轴，正确找出区间之间的包含关系或对称轴与给定区间的相对位置，从而找出变量之间的关系. 14．（23-24高一上·天津·期中）已知函数在时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数在上y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＜3 C．﹣2≤a＜3 D．﹣2≤a≤3 17．已知函数. (1)若函数在区间上y随x增大而增大，求实数a的取值范围； (2)若函数在区间上的最大值为1，求实数a的值. 题型六、一元二次函数在闭区间上的最值 解题技巧提炼 求一元二次函数在上的最值的步骤 (1)配方,找对称轴.(2)判断对称轴与区间的关系(3)求最值.若对称轴在区间外,则一元二次函数在的端点处取得最值;若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最大(小)值,最小(大)值在端点处取得最值情况如下: 当时, ①若，在顶点处取得最小值,离对称轴较远点处取得最大值. ②若,在离对称轴较远端点处取得最大值,较近端点处取得最小值. 当时,仍在顶点处或区间端点处取得最大值，最小值需讨论对称与区间的相对位置. 18．函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值： （1）x≤2；   （2）－2≤x≤1；   （3）0≤x≤3． 20．已知一元二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且图象的对称轴为，且过点. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 21．已知一元二次函数. （1）写出该函数的顶点坐标；对称轴方程； （2）如果该函数在区间上的最小值为3，求实数a的值. 22．已知二次函数满足，且． (1)求a , b的值； (2)若，在区间上的最小值为，最大值为，求的取值范围． 23．已知是二次函数，不等式的解集是（0,5），且在区间[－1,4]上的最大值是12． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最小值． 24．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数，满足，． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上最小值为5，求实数的值． 25．已知二次函数满足条件：，. （1）求； （2）讨论二次函数在闭区间上的最小值． 题型七、一元二次函数的实际应用 解题技巧提炼 与一元二次函数有关的实际应用题大多涉及最值的求解,如利润最大、用料最省等问题.解题的关键是由题意确定函数解析式，然后借助一元二次函数的性质求出最值,但要注意函数的自变量取值要使实际问题有意义. 26．某桶装水经营部每天的房租､工人工资等固定支出为200元，每桶水的成本价为5元，销售单价与每日销售量的关系如下表，根据表中的数据，回答下列问题： 销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 （1）销售单价与每日销售量之间有什么关系？ （2）单价确定为多少时？可以获得最大利润，并求出最大利润. 27．（22-23高一上·甘肃庆阳·阶段练习）将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销量就减少10个，为了争取最大利益，此商品的售价应定为多少元?并求最大利润. 28．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 29．（22-23高一上·河北唐山·期中）某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为:，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴. (1)当时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润; 如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$