1.3.2 课时2 基本不等式的概念及其应用（二）导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.3.2 课时2 基本不等式的概念及其应用(二) 【学习目标】 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.(数据分析) 2.会用基本不等式解决条件最值问题.(数学运算) 3.能运用基本不等式求解含参问题.(逻辑推理) 【自主预习】 1.基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗? 2.x+的最小值是2吗? 3.利用基本不等式求最值的常用不等式有哪些? 1.已知实数x，y满足x>0，y>0，且+=1，则x+2y的最小值为(　　). A.2 B.4 C.6 D.8 2.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________.  3.设x>0，y>0，且2x+8y=xy，求x+y的最小值. 【合作探究】 探究1　利用基本不等式比较大小 问题1：式子≥(-3)×(-4)及≥都成立吗?说明了什么? 问题2：对于任意实数a，b，都有≤成立吗? 常见的基本不等式的变形 (1)x+≥2(x>0)，x+≤-2(x<0)； (2)+≥2(a，b同号)，+≤-2(a，b异号)； (3)a+b≥2(a，b≥0)，≥ab； (4)ab≤，≤，当且仅当a=b时取等号. 例1　已知m=a+(a>2)，n=4-b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　). A.m>n B.m<n C.m=n D.不确定 【方法总结】利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小时，要注意观察式子的形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质进行判断. (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 已知实数a，b，c满足a>b>c且a+b+c=0，abc>0，则++的值(　　). A.一定是正数 B.一定是负数 C.可能是0 D.正负不确定 探究2　利用基本不等式求条件最值 已知正数x，y满足+=1. 问题1：能直接利用“1”的代换求x+y的最小值吗?为什么? 问题2：怎样变形才能利用“1”的代换求最值? 问题3：你能根据问题2中的方法，求x+y的最小值吗? 1.利用基本不等式，通过恒等变形，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数的最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可. 2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件. 例2　已知x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值. 【变式探究】本例条件变为“x>0，y>0，x+y=1”，试求+的最小值. 【方法总结】 1.用常值代换法求解条件最值问题的步骤： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值. 2.若常值代换法不适用于求条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值. 已知m>0，n>0，且2m+n=2，则+的最小值是________.  【随堂检测】 1.已知a>0，b>0，且2a+=1，则+b的最小值为(　　). A.2 B.3 C.8 D.9 2.(多选题)已知a>0，b>0，a+b=2，则对于+，下列说法正确的是(　　). A.取最值时，a= B.最大值是5 C.取最值时，b= D.最小值是 3.已知正数a，b满足a+2b=3，则+的最小值为(　　). A. B. C.2 D.3 4.已知a>b>c，则与的大小关系是________.  参考答案 1.3.2 课时2 基本不等式的概念及其应用(二) 自主预习·悟新知 预学忆思 1.a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 2.当x>0时，x+的最小值是2；当x<0时，x+没有最小值. 3.(1)若a+b为定值，则ab≤2； (2)若a，b为正且ab为定值，则a+b≥2. 等号成立的条件均是a=b. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大. 自学检测 1.D　【解析】∵x>0，y>0，且+=1， ∴x+2y=(x+2y)+=4++≥4+2=8，当且仅当=，+=1，即x=4，y=2时，等号成立，故x+2y的最小值为8. 2.20　【解析】总运费与总存储费用之和y=4x+·4=4x+≥2=160， 当且仅当4x=，即x=20时取等号. 3.【解析】(法一)由2x+8y-xy=0，得y(x-8)=2x. ∵x>0，y>0，∴x-8>0，y=， ∴x+y=x+=x+=(x-8)++10≥2+10=18， 当且仅当x-8=，即x=12时，等号成立，∴x+y的最小值是18. (法二)由2x+8y=xy及x>0，y>0，得+=1， ∴x+y=(x+y)=++10≥2+10=18，当且仅当=， 即x=2y=12时，等号成立，∴x+y的最小值是18. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：前者成立，后者不成立，说明了≥ab与≥成立的条件不同. 问题2：不一定，当a，b都为正数时，不等式才成立. 新知运用 例1　A　【解析】因为a>2，所以a-2>0，所以m=a+=(a-2)++2≥2+2=4，当且仅当a=3时取等号.由b≠0，得b2>0，所以n=4-b2<4.综上可知m>n. 巩固训练　B　【解析】因为a>b>c且a+b+c=0，abc>0， 所以a>0，b<0，c<0，且a=-(b+c)，所以++=-++. 因为b<0，c<0，所以b+c≤-2，当且仅当b=c时，等号成立，所以-≤. 又+≤-2，当且仅当b=c时，等号成立， 所以-++≤-2=-<0，即++<0. 探究2　情境设置 问题1：不能，因为相乘后，不能利用基本不等式求最值. 问题2：已知条件无法变换，把x+y变形，即x+y=x+(y+1)-1，再利用“1”的代换求最值. 问题3：因为x>0，y>0，+=1， 所以x+y=x+(y+1)-1=[x+(y+1)]+-1=1+4++-1≥4+2=8， 当且仅当=，即x=3，y=5时，等号成立，所以x+y的最小值为8. 新知运用 例2　【解析】∵x>0，y>0，+=1，∴x+y=+(x+y)=++10≥2+10=16，当且仅当=，+=1，即x=4，y=12时，等号成立，∴x+y的最小值为16. 变式探究　【解析】+=(x+y)+=10++≥10+2=16，当且仅当=，即x=，y=时，等号成立，∴+的最小值为16. 巩固训练　9　【解析】因为m>0，n>0，且2m+n=2， 所以+=(2m+n) =≥=9， 当且仅当=且2m+n=2，即m=，n=时取等号， 所以+的最小值为9. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】+b=+b·2a+=5++2ab≥5+2=9， 当且仅当即时，等号成立，所以+b的最小值为9. 2.AD　【解析】因为a+b=2，所以+=+=+++2≥+2=，当且仅当=，且a+b=2，即a=，b=时，等号成立. 3.B　【解析】由a+2b=3，得(a+1)+2b=4， 于是+=+·=1+4++≥5+2=， 当且仅当=，即a=，b=时，等号成立， 所以+的最小值为. 故选B. 4.≤　【解析】因为a>b>c，所以a-b>0，b-c>0， 所以=≥，当且仅当a-b=b-c时，等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $