1.3.2 课时1 基本不等式的概念及其应用（一）导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.3.2 课时1 基本不等式的概念及其应用(一) 【学习目标】 1.理解基本不等式的内容及几何解释.(逻辑推理) 2.能熟练运用基本不等式求解最值问题.(数学运算) 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.(逻辑推理) 【自主预习】 　　如图1所示，这是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.将图1的“风车”抽象成图2，根据上节的内容我们可得出a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 阅读教材，结合上述情境回答下列问题： 1.若用，分别代替材料中的a，b，可得出什么结论? 2.问题1的结论中，“=”何时成立? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意a，b∈R，a2+b2≥2ab. (　　) (2)当n∈N*时，n+>2. (　　) (3)当x≠0时，x+≥2. (　　) (4)若a≠0，则2a2+的最小值为2. (　　) 2.已知a≠0，则下列不等式正确的是(　　). A.a+≥2 B.(-a)+-≤-2 C.a2+≥2 D.(-a)2+-2≤-2 3.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为________.  4.已知a，b，c都是正数，求证：a+b+c---≥0. 【合作探究】 探究1　基本不等式的概念 如图，AB是半圆O的直径，Q是AB上任意一点，AQ=a，BQ=b，过点Q作AB的垂线，交半圆O于点P，连接AP，PB. 问题1：如何用a，b表示PO，PQ的长度? 问题2：比较PO，PQ的长度，能得出什么结论? 1.重要不等式 ∀x，y∈R，有≥________，当且仅当________时，等号成立.  2.基本不等式 如果a≥0，b≥0，那么用，分别代替上式中的x，y，可得≤，当且仅当________时，等号成立.通常称不等式≤为基本不等式(又称均值不等式)，其中叫作a，b的算术平均值，叫作a，b的几何平均值.  3.变形 ab≤，a+b≥2，其中a≥0，b≥0，当且仅当a=b时，等号成立. 特别提醒：①基本不等式成立的条件为a≥0，b≥0，当且仅当a=b时取等号.若a≥0，b≥0，且a≠b，则≠，即只能有<. ②利用基本不等式解题时，若分母中含有变量，则分母不能为0. 例1　给出下面三个推导过程：①因为a>0，b>0，所以+≥2=2；②因为a∈R，且a≠0，所以+a≥2=4；③因为x，y∈R，xy<0，所以+=--+≤-2=-2. 其中正确的推导过程为(　　). A.①② B.②③ C.② D.①③ 【方法总结】a2+b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面，当a=b时，=；另一方面，当=时，也有a=b. 在不等式a+1≥2(a>0)中，等号成立的条件是(　　). A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2 已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　　). A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 探究2　运用基本不等式求最值 问题1：当两个正数a，b的和a+b为定值时，ab有最小值还是最大值?最值是多少? 问题2：当两个正数a，b的乘积ab为定值时，a+b有最小值还是最大值?最值是多少? 　　已知x，y都是正数. (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y取得最小值2； (2)如果和x+y等于定值S，那么当且仅当x=y时，积xy取得最大值S2. 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则： (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件(a>0，b>0). (2)二定：化不等式的一边为定值. (3)三相等：必须存在取“=”的条件，即“=”成立. 以上三点缺一不可. 一、利用基本不等式求最值 例2　(1)已知0<x<1，则当x(4-3x)取得最大值时x的值为________.  (2)已知x>2，则x+的最小值为________.  【方法总结】若是求和的最小值，通常化积为定值；若是求积的最大值，通常化和为定值.其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式. 二、利用基本不等式证明 例3　已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：++≤a2+b2+c2. 【方法总结】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否同时成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用. (1)已知x>0，y>0，则+的最小值为(　　). A.15 B.12 C.8 D.6 (2)若0<a<2，则的最大值为________.  (1)已知m>0，n>0，且m+n=16，求mn的最大值. (2)已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，证明：++≥9. 【随堂检测】 1.不等式+(x-2)≥6(x>2)中等号成立的条件是(　　). A.x=3 B.x=-3 C.x=5 D.x=-5 2.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　). A.b>>a> B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 3.若把36写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为________.  4.已知a，b为正实数，且a+b=1.求证：+≥4. 参考答案 1.3.2 课时1 基本不等式的概念及其应用(一) 自主预习·悟新知 预学忆思 1.a+b≥2. 2.当且仅当a=b时，“=”成立. 自学检测 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.C　【解析】当a<0时，a+<0，(-a)+->0，故A，B错误. 当a≠0时，由基本不等式的性质可得a2+≥2，(-a)2+-2≥2，故C正确，D错误. 3.x>2y　【解析】因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以x-2y>0，即x>2y. 4.【解析】∵a，b，c都是正数，∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2， ∴a+b+b+c+a+c≥2(++)，∴a+b+c≥++， 即a+b+c---≥0，当且仅当a=b=c时，等号成立. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：PO==.易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，则PQ2=AQ·QB，即PQ=. 问题2：PO的长度大于或等于PQ的长度，通过两者的关系可以得出≤. 新知生成 1.xy　x=y 2.a=b 新知运用 例1　D　【解析】因为a，b∈(0，+∞)，所以>0，>0，符合基本不等式成立的条件，故①正确；因为a∈R，且a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以+a≥2=4是不成立的，故②错误；由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将+看成一个整体提出负号后，-，-均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确.故选D. 巩固训练1　C　【解析】∵a+1-2=(-1)2≥0(a>0)，∴当=1，即a=1时，等号成立. 巩固训练2　D　【解析】对于A，当a=b时，a2+b2=2ab，故A错误； 对于B，C，ab>0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误； 对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以+≥2，当且仅当a=b时，取等号，即+≥2恒成立，故D正确.故选D. 探究2　情境设置 问题1：ab有最大值，当a=b时，ab取得最大值，最大值是. 问题2：a+b有最小值，当a=b时，a+b取得最小值，最小值是2. 新知运用 例2　(1)　(2)6　【解析】(1)∵0<x<1，∴4-3x>0，∴x(4-3x)=×3x·(4-3x)≤2=， 当且仅当3x=4-3x，即x=时等号成立，故x=. (2)∵x>2，∴x-2>0，∴x+=(x-2)++2≥2+2=6， 当且仅当x-2=，即x=4时等号成立. 例3　【解析】因为a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，abc=1，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++，当且仅当a=b=c=1时，等号成立， 所以++≤a2+b2+c2. 巩固训练1　(1)B　(2)1　【解析】(1)由基本不等式可知 +≥2=12， 当且仅当=，即y=2x时，等号成立. 故+的最小值为12. (2)当0<a<2时，2-a>0， 则≤=1， 当且仅当2-a=a，即a=1时，等号成立. 故的最大值为1. 巩固训练2　【解析】(1)∵m>0，n>0且m+n=16， ∴由基本不等式可得mn≤2=2=64， 当且仅当m=n=8时，等号成立，此时mn取得最大值64. (2)++=++=3+++ ≥3+2+2+2=3+2+2+2=9. 当且仅当a=b=c=时，等号成立. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】由基本不等式知等号成立的条件为=x-2，即x=5. 2.C　【解析】∵0<a<b，∴2b>a+b，ab>a2，∴b>>，>a. 故b>>>a. 3.12　【解析】设这两个正数分别为a，b，则ab=36. ∵≥，∴a+b≥12，当且仅当a=b=6时，等号成立. 故这两个正数的和的最小值为12. 4.【解析】∵a，b为正实数，且a+b=1， ∴+=+=1+++1=2++≥2+2=4， 当且仅当a=b=时，等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $