1.3.1 不等式的性质 导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.3.1 不等式的性质 【学习目标】 1.了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(数学抽象) 2.初步学会用作差法比较两个实数的大小或证明不等式.(数学运算) 3.掌握不等式的性质，能运用不等式的性质解决问题.(数学运算) 4.能利用不等式的性质证明或判断.(逻辑推理) 【自主预习】 1.如果a=b，那么ac=bc成立吗? 2.如果a=b，那么an=bn(n∈N*，n≥2)成立吗? 3.如果a>b，c>d，那么a+c>b+d成立吗?a-c>b-d呢? 4.如果a>b，c>d，那么ac>bd成立吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a与b的差是非负实数，可表示为a-b>0. (　　) (2)实数m不大于-2，用不等式表示为m≥-2. (　　) (3)>1⇒a>b. (　　) (4)⇔a+c>b+d. (　　) 2.已知a>b>c>d，则下列选项正确的是(　　). A.a+d>b+c B.a+c>b+d C.ad>bc D.ac>bd 3.某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车、货物和人的总质量T(单位：吨)满足条件________.  4.设M=x2，N=2x-1，则M与N的大小关系是________.  【合作探究】 探究1　用不等式(组)表示不等关系 问题1：限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示? 问题2：不等关系与不等式有何区别? 　　我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接________或________，以表示它们之间的不等关系.含有这些________的式子叫作不等式.  特别提醒： (1)不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的. (2)不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于， 高于， 超过 小于， 低于， 少于 大于或等于， 至少，不低于 小于或等于， 至多，不多于， 不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ 例1　某种杂志以每本3元的价格销售，可以售出1万本.若单价每提高0.5元，销售量就可能相应减少1 000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于2万元呢? 【方法总结】在数学的学习中，需具备的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，要注意以下几点： (1)先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系； (3)用不等式表示不等关系. 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系. 探究2　比较大小 　　在日常生活中，有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再添加m(m>0)克糖(假设全部溶解). 问题1：你能将糖水变甜这一事实用一个不等式表示吗? 问题2：如何从理论上比较与的大小? 　　比较两个实数a，b大小的依据 文字语言 符号表示 如果a-b是正数，那么a>b； 如果a-b是负数，那么a<b； 如果a-b等于0，那么a=b. 反之亦然 a>b⇔a-b>0； a<b⇔a-b<0； a=b⇔a-b=0 特别提醒： (1)上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出. (2)“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小，二者结合起来表示的是实数的运算性质与实数的大小之间的关系. 例2　已知a，b均为正实数，试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小. 【方法总结】比较两个实数的大小时，可以先求出它们的差的符号.作差法比较实数的大小的一般步骤：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的和的形式或一些易判断符号的因式的积的形式. 已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小. 探究3　不等式的基本性质 问题1：若a>b，b>c，则a>c正确吗?为什么? 问题2：若a>b，则a+c>b+c正确吗?为什么? 问题3：若a>b，则ac>bc正确吗?试举例说明. 　　不等式的性质 (1)a>b⇔b________a(对称性)；  (2)a>b，b>c⇒a________c(传递性)；  (3)a>b⇔a+c________b+c(可加性)；  (4)a>b，c>0⇒ac________bc，a>b，c<0⇒ac________bc；  (5)a>b，c>d⇒a+c________b+d；  (6)a>b>0，c>d>0⇒ac________bd；  (7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒an________bn；  (8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒________. 一、利用不等式的性质判断或证明 例3　(1)给出下列结论： ①若a>b，c>d，则a-c>b-d； ②对于正数a，b，m，若a<b，则<. 其中正确的结论是________.(填序号)  (2)已知a>b>0，c<d<0.求证：<. 【方法总结】 (1)注意不等式成立的条件，在解选择题时，可利用特值法进行排除.取值要求：一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算. (2)应用不等式的性质证明时，应注意不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导. 二、利用不等式的性质求范围 例4　已知-1<2a+b<2，3<a-b<4，求5a+b的取值范围. 【方法总结】不等式具有可加性(需同向)与可乘性(需同正且同向)，但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形. 有下列四个不等式： ①|a|>|b|；②a<b；③a+b<ab；④a3>b3. 若<<0，则不正确的不等式的个数是(　　). A.0 B.1 C.2 D.3 已知0<a+b<2，-1<b-a<1，则2a-b的取值范围是________.  【随堂检测】 1.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是(　　). A. B. C. D. 2.若m=x2-1，n=2(x+1)2-4(x+1)+1，则m与n的大小关系是(　　). A.m<n B.m>n C.m≥n D.m≤n 3.已知-1≤x≤4，2≤y≤3，则z=2x-3y的取值范围是________.  4.已知a>b>0，c<d<0，|b|>|c|，求证： (1)b+c>0； (2)<. 参考答案 1.3.1 不等式的性质 自主预习·悟新知 预学忆思 1. 成立. 2. 成立. 3. a+c>b+d成立，a-c>b-d不一定成立，但a-d>b-c成立. 4. 不一定成立. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.B　【解析】∵3>2>1>0，但3+0=2+1，3×0<2×1，∴A，C错误. ∵a>b>c>d，∴a>b，c>d，∴a+c>b+d，B正确. 30>2>-1>-2，但30×(-1)<2×(-2)，D错误.故选B. 3.T≤40　【解析】“限重40吨”是不超过40吨的意思. 4.M≥N　【解析】因为M-N=x2-2x+1=(x-1)2≥0，所以M≥N(当且仅当x=1时取等号). 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：v≤40. 问题2：不等关系强调的是量与量之间的关系，而不等式则是用来表示不等关系的式子.不等关系是通过不等式来表示的. 新知生成 两个数　代数式　不等号 新知运用 例1　【解析】提价后销售的总收入为x万元， 则不等关系“销售的总收入仍不低于2万元”可以表示为不等式x≥2. 巩固训练　【解析】因为墙长为18 m，所以0<x≤18， 菜园的另一条边长为=m. 因此菜园面积S=x·，依题意有S≥110， 即x≥110， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 探究2　情境设置 问题1：能，<(a>b>0，m>0). 问题2：作差比较大小.-==，因为a>b>0，所以b-a<0，又m>0，所以<0，所以<. 新知运用 例2　【解析】a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). 当a=b时，a-b=0，此时a3+b3=a2b+ab2； 当a≠b时，(a-b)2>0，a+b>0，此时a3+b3>a2b+ab2. 综上所述，a3+b3≥a2b+ab2(当且仅当a=b时，等号成立). 巩固训练　【解析】3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). ∵x≤1，∴x-1≤0，又3x2+1>0， ∴(3x2+1)(x-1)≤0，∴3x3≤3x2-x+1. 探究3　情境设置 问题1：正确.∵a>b，b>c，∴a-b>0，b-c>0，∴(a-b)+(b-c)>0，即a-c>0，∴a>c. 问题2：正确.∵a>b，∴a-b>0，∴a+c-b-c>0，即a+c>b+c. 问题3：不一定正确，若a=2，b=1，则当c=2时正确，当c=-2时不正确. 新知生成 (1)<　(2)>　(3)>　(4)>　<　(5)>　(6)>　(7)>　(8)> 新知运用 例3　(1)②　【解析】(1)对于①，若a=7，b=6，c=0，d=-10，则7-0<6-(-10)，①错误； 对于②，对于正数a，b，m，若a<b，则am<bm，所以am+ab<bm+ab， 所以0<a(b+m)<b(a+m)， 又>0，所以<，②正确. 综上，正确结论的序号是②. (2)因为c<d<0，所以-c>-d>0，所以0<-<-. 又因为a>b>0，所以->->0，所以>，即->-，所以< . 例4　【解析】令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b， 则解得 ∴5a+b=2(2a+b)+(a-b). ∵-1<2a+b<2，∴-2<2(2a+b)<4. 又3<a-b<4，∴1<2(2a+b)+(a-b)<8. 故1<5a+b<8. 巩固训练1　C　【解析】由<<0可得b<a<0，所以|a|<|b|，a3>b3，①②均不正确，④正确；因为a+b<0，ab>0，所以a+b<ab成立，③正确.故不正确的不等式的个数为2. 巩固训练2　-，　【解析】因为0<a+b<2，-1<-a+b<1， 且2a-b=(a+b)-(-a+b)，所以结合不等式的性质可得-<2a-b<. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， 故x≥95，y>380，z>45. 2.D　【解析】∵n-m=x2≥0，∴n≥m. 3.[-11，2]　【解析】∵-1≤x≤4，2≤y≤3， ∴-2≤2x≤8，-9≤-3y≤-6， ∴-11≤2x-3y≤2，∴-11≤z≤2. 4.【解析】(1)∵|b|>|c|且b>0，c<0，∴b>-c，即b+c>0. (2)∵c<d<0，∴-c>-d>0. 又a>b>0，∴a-c>b-d>0，∴>>0，∴<. 学科网（北京）股份有限公司 $