1.2.1 课时2 充要条件 导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.2.1 课时2 充要条件 【学习目标】 1.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义.(数学抽象) 2.会判断和证明充要条件，会求某些简单问题的充要条件.(逻辑推理) 3.理解数学定义与充要条件的关系.(直观想象) 【自主预习】 1.在初中我们学过“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”，则“两直线平行”是“同位角相等”的什么条件? 2.我们知道“a=b=1”能够推出“a+b=2”，那么“a+b=2”是否也能推出“a=b=1”?为什么? 3.通过阅读教材内容，我们可以知道“a=b=1”是“a+b=2”的什么条件?“a+b=2”又是“a=b=1”的什么条件? 4.你还能找出生活中或我们初中学过的充分不必要条件或必要不充分条件的例子吗? 1.“a，b中至少有一个不为零”的充要条件是(　　). A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 2. “x>2”是“x>”的(　　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.“函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称”的充要条件是________.  4.求证：“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1”的充要条件是“a+b+c=0”. 【合作探究】 探究1　充要条件的判断 　　老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.老张愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去. 问题1：张三为什么走了? 问题2：李四为什么走了? 问题3：若p是q的充要条件，则p和q相互等价，这种说法对吗? 问题4：“p是q的充分条件”与“p的充分条件是q”的区别在哪里? 　　充要条件 (1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分且必要条件，简称充要条件. (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 特别提醒：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 (1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)若p⇔q，则p是q的充要条件. (3)若p⇒q，且q⇒ / p，则称p是q的充分不必要条件. (4)若p⇒ / q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)若p⇒ /q，且q⇒/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件. 例1　下列各题中，试判断p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答) (1)p：m<-2或m>6，q：关于x的方程mx2+2x+1=0有两个不同的实数根； (2)已知A⊆U，B⊆U，p：A∩B=A，q：UB⊆UA. 【方法总结】 1.在利用定义法判别条件时，若问题具有一般性，则可以使用特殊值法验证是否符合定义，特别是举反例. 2.设集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，从集合的观点看，若A=B，则p是q的充要条件. 从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空： (1)“a-1>0”是“a>1”的________；  (2)“a>0，b>0”是“a+b>1”的________；  (3)“两个角是对顶角”是“两个角相等”的________.  探究2　利用充要条件确定参数的取值范围 　　已知条件p：4x+m<0，条件q：x>2或x<-1. 问题1：是否存在实数m，使得p是q的充分条件?如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由. 问题2：是否存在实数m，使得p是q的必要条件?如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由. 问题3：设p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，则满足A⊆B时，实数m的取值范围与问题1中实数m的取值范围是否相同?是否存在实数m，使得B⊆A? 1.设p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现. A=B⇔p是q的充要条件. A⫋B⇔p是q的充分不必要条件. A⫌B⇔p是q的必要不充分条件. A⊈B，B⊈A⇔p是q的既不充分也不必要条件. 2.已知命题间的关系，求参数的取值范围，应用转化的思想把命题间的关系正确地转化为集合间的关系，建立关于参数的不等式(组)求解. 例2　已知条件p：1≤x≤a(a≥1)，条件q：1≤x≤2，当a为何值时， (1)p是q的充分不必要条件? (2)p是q的必要不充分条件? (3)p是q的充要条件? 【方法总结】利用条件的充要性求解参数问题，关键是观察条件属性，找出适当的解题思路，如数集类问题，一般是将条件属性转化为集合间的包含关系，借助数轴列出不等式(组)，从而求解. 设n∈N*，则一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.  探究3　充要条件的证明 　　已知“关于x的方程x2+mx+1=0有两个负实根”的充要条件是“m≥2”. 问题1：由m≥2得到方程x2+mx+1=0有两个负实根，这个过程是“充分性”还是“必要性”? 问题2：由方程x2+mx+1=0有两个负实根得到m≥2，这个过程是“充分性”还是“必要性”? 问题3：互为充要条件是指条件和结论是相对的，在充要条件问题的证明中，条件是确定的吗? 　　充要条件的证明一般分为两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面.解题时要避免将充分性当作必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若“条件”⇒“结论”，则是证明充分性，若“结论”⇒“条件”，则是证明必要性. 例3　证明：“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件是“ac<0”. 【方法总结】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性. 已知ab≠0，求证：“a+b=1”的充要条件是“(a+b-1)(a2+b2-ab)=0”. 【随堂检测】 1.若a∈R，则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的(　　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 2.设p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　). A. B. C. D. 3.已知p：-1<x<3，q：-1<x<m+1，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.  4.(改编)求证：“a2+b2+c2=ab+ac+bc”是“△ABC为等边三角形”的充要条件.(这里的a，b，c是△ABC的三边边长) 参考答案 1.2.1 课时2 充要条件 自主预习·悟新知 预学忆思 1.充分且必要条件(简称为充要条件). 2.不能.因为当a+b=2时，a，b的值有无数组.例如：a=0，b=2；a=-1，b=3；a=2 024，b=-2 022等. 3.充分不必要条件，必要不充分条件. 4.能.例如：①“若两个角是对顶角，则它们相等”，“两个角是对顶角”是“它们相等”的充分不必要条件； ②“若小李是北京人，则他是中国人”，“小李是中国人”是“小李是北京人”的必要不充分条件. 自学检测 1.D　【解析】若a2+b2>0，则a，b不同时为零；若a，b中至少有一个不为零，则a2+b2>0.故选D. 2.B　【解析】∵2<，∴“x>2”是“x>”的必要不充分条件.故选B. 3.m=-2　【解析】若函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-=1，即m=-2；反之，若m=-2，则函数y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称. 4.【解析】设p：方程ax2+bx+c=0有一个根是1，q：a+b+c=0. ①必要性： ∵x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴a·12+b·1+c=0，即a+b+c=0. ②充分性： 由a+b+c=0，得c=-a-b. ∵ax2+bx+c=0，∴ax2+bx-a-b=0，∴a(x2-1)+b(x-1)=0，即(x-1)(ax+a+b)=0， ∴x=1是方程的一个根. 故“关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1”的充要条件是“a+b+c=0”. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：“该来的没有来”的等价命题是“来了的都不该来”，张三觉得自己是不该来的. 问题2：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的. 问题3：正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. 问题4：“p是q的充分条件”说明p是条件，q是结论；“p的充分条件是q”说明q是条件，p是结论. 新知运用 例1　【解析】(1)关于x的方程mx2+2x+1=0有两个不同的实数根⇔⇔m<1，且m≠0， ∴p是q的既不充分也不必要条件. (2)A∩B=A⇔A⊆B⇔UB⊆UA，∴p是q的充要条件. 巩固训练　(1)充要条件　(2)既不充分也不必要条件　(3)充分不必要条件 【解析】(1)若a-1>0，则a>1，充分性成立； 若a>1，则a-1>0，必要性成立. 故“a-1>0”是“a>1”的充要条件. (2)当a=0.1，b=0.2时，满足a>0，b>0，但a+b=0.3<1，所以充分性不成立； 当a=3，b=-1时，满足a+b=2>1，但此时b<0，即a+b>1推不出a>0，b>0，则必要性不成立. 故“a>0，b>0”是“a+b>1”的既不充分也不必要条件. (3)若两个角是对顶角，则两个角必然相等，充分性成立； 当两个角相等时，两个角不一定是对顶角，必要性不成立. 故“两个角是对顶角”是“两个角相等”的充分不必要条件. 探究2　情境设置 问题1：存在.由4x+m<0得x<-.由题意知当x<-时，x>2或x<-1成立，则-≤-1，解得m≥4.故存在实数m，使得“4x+m<0”是“x>2或x<-1”的充分条件，此时m的取值范围为m≥4. 问题2：不存在，理由如下：若p是q的必要条件，即q是p的充分条件，则q⇒p，而q：x>2或x<-1，p：x<-. ∵{x|x>2或x<-1}⊈，∴不存在符合条件的实数m. 问题3：相同；不存在. 新知运用 例2　【解析】设集合A={x|1≤x≤a(a≥1)}，B={x|1≤x≤2}. (1)因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B.而当a=1时，A={1}，显然成立；当a>1时，A={x|1≤x≤a}，需1<a<2.综上可知，当1≤a<2时，p是q的充分不必要条件. (2)因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A，故a>2，所以当a>2时，p是q的必要不充分条件. (3)因为p是q的充要条件，所以A=B，故a=2. 巩固训练　3或4　【解析】由Δ=16-4n≥0，得n≤4.又n∈N*，则n=1，2，3，4.当n=1，2时，方程没有整数根；当n=3时，方程有整数根1，3；当n=4时，方程有整数根2.综上可知，n=3或n=4. 探究3　情境设置 问题1：充分性；m≥2是条件，方程x2+mx+1=0有两个负实根是结论. 问题2：必要性. 问题3：互为充要条件中，条件和结论是相对的，在充要条件问题的证明中，条件是确定的. 新知运用 例3　【解析】充分性：∵ac<0，∴Δ=b2-4ac>0，<0. ∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根. 设方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1，x2， 则x1·x2=<0， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根. 必要性：∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根，∴x1·x2=<0， ∴ac<0. 故“一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件是“ac<0”. 巩固训练　【解析】充分性：(a+b-1)(a2+b2-ab)=(a+b-1)=0. ∵ab≠0，∴+b2>0，∴a+b=1. 必要性：∵a+b=1，∴(a+b-1)(a2+b2-ab)=0. ∴“a+b=1”的充要条件是“(a+b-1)(a2+b2-ab)=0”. 随堂检测·精评价 1.A　【解析】因为a=2⇒(a-1)(a-2)=0，而(a-1)·(a-2)=0⇒ / a=2，所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分不必要条件，故选A. 2.B　【解析】∵p是q的充分不必要条件， ∴或解得0≤a≤. 3.{m|m>2}　【解析】由p：-1<x<3，q：-1<x<m+1，q是p的必要不充分条件，得{x|-1<x<3}⫋{x|-1<x<m+1}，则有m+1>3，即m>2，故实数m的取值范围为{m|m>2}. 4.【解析】先证明充分性： 由a2+b2+c2=ab+ac+bc， 得2(a2+b2+c2)=2ab+2ac+2bc， 整理得(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0， 所以a=b=c，即△ABC是等边三角形. 然后证明必要性： 由△ABC是等边三角形，得a=b=c， 所以a2+b2+c2=ab+ac+bc. 综上所述，“a2+b2+c2=ab+ac+bc”是“△ABC为等边三角形”的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $