1.1.3 课时2 全集与补集 导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.1.3 课时2 全集与补集 【学习目标】 1.理解全集、补集的概念.(数学抽象) 2.准确使用补集符号和Venn图.(直观想象) 3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.(数学运算) 【自主预习】 1.已知A={1，3，4，5}，B={2，4，6}，求A∩B，A∪B. 2.设A={x|x是奇数}，B={x|x是偶数}，求A∩B，A∪B. 3.方程(x-2)(x2-3)=0在有理数范围内的解的集合是什么?在实数范围内的解的集合是什么? 4.若A={2}，U={2，，-}，则怎么用集合A，U表示出集合B={，-}? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全集是由任何元素组成的集合. (　　) (2)不同的集合在同一个全集中的补集不同. (　　) (3)集合BC与AC相等. (　　) (4)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素. (　　) 2.已知全集U={0，1，2}，且UA={2}，则A=(　　). A.{0} B.{1} C.⌀ D.{0，1} 3.若全集U={1，2，3，4}，集合M={1，2}，N={2，3}，则U(M∪N)=(　　). A.{1，2，3} B.{2} C.{1，3，4} D.{4} 4.设全集为U，M={1，2}，UM={3}，则U=________.  【合作探究】 探究1　补集的运算 　　观察下列三个集合： S={x|x是高一年级的同学}， A={x|x是高一年级参加军训的同学}， B={x|x是高一年级没有参加军训的同学}. 问题1：如何确定高一年级的同学中谁参加了军训? 问题2：集合S与集合A，B之间有什么关系? 问题3：如何在全集S中研究相关集合A和B之间的关系呢? 1.全集 (1)定义：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集. (2)符号表示：全集通常记作________.  2.补集 (1)文字语言：设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作________.  (2)符号语言：UA={x|________}.  (3)图形语言： (4)性质：①UA⊆U； ②UU=________，U⌀=________；  ③U(UA)=________；  ④A∪(UA)=________，A∩(UA)=________.  例1　设集合A={x|x≤3}，B={x|x≤1}，则AB=(　　). A.{x|1<x≤3} B.{x|1≤x<3} C.{x|1≤x≤3} D.{x|x≤3} 【方法总结】补集的求解步骤及方法 (1)步骤：①确定全集，在进行补集的简单运算时，应首先明确全集；②紧扣定义求解补集. (2)方法：①借助Venn图或数轴求解；②借助补集的性质求解. 设集合U=R，M={x|x>2或x<-2}，则UM=(　　). A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-2<x<2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x≤-2或x≥2} 设集合M={x|-1≤x<2}，N={x|x-k≤0}，若RM⊇RN，则实数k的取值范围是________.  探究2　交、并、补集的综合运算 　　某城镇有1 000户居民，其中819户有彩电，682户有空调，535户两种家电都有.设这1 000户居民组成的集合为全集U，其中有彩电的居民组成的集合为A，有空调的居民组成的集合为B.请用集合表示出下列问题，并回答各有多少户. 问题1：既有彩电又有空调的居民. 问题2：彩电和空调至少有一种的居民. 问题3：有彩电无空调的居民. 问题4：有空调无彩电的居民. 问题5：无空调无彩电的居民. 　　设集合U为全集，集合A，B是集合U的子集，则 (1)U(A∩B)=(UA)∪(UB)； (2)U(A∪B)=(UA)∩(UB). 例2　(1)已知全集U={1，2，3，4，5，6}，P={2，3，4}，Q={4，5，6}，则集合(UP)∪Q=(　　). A.{5，6} B.{1，5，6} C.{1，2，3，4} D.{1，4，5，6} (2)设集合A={x|-1<x≤1}，B={-1，0，1，2，3}，则(RA)∩B=(　　). A.{-1，1，2} B.{1，2，3} C.{-1，2，3} D.{-1，1，2，3} 【方法总结】解决集合的混合运算问题时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限混合运算可借助Venn图求解，与不等式有关的集合运算可借助数轴求解. 若全集U={1，2，3，4}，集合M={1，2}，N={2，3}，则M∪(UN)=(　　). A.{1，2，3} B.{1，3，4} C.{1，2，4} D.{1，2，3，4} 已知集合A={x|x≤1}，B={x|-1<x<2}，则(RA)∩B=(　　). A.{x|1<x<2} B.{x|x>1} C.{x|1≤x<2} D.{x|x≥1} 探究3　由集合的补集运算求解参数问题 　　设全集U=R，集合A={x|a≤x≤b}，UA={x|x<1或x>3}，B={x|m≤x≤m+1}. 问题1：实数a，b的值怎么求? 问题2：若(UA)∩B=⌀，则实数m的取值范围是多少? 　　由集合的补集求解参数问题 (1)可借助补集的定义并结合集合知识求解； (2)可将集合交、并、补运算转化为集合间的关系，再利用数轴分析法或列举法求解. 例3　若集合A={x|-2<x<-1或x>1}，全集U=R. (1)求UA； (2)若B={x|x≤a}，B⊆UA，求实数a的取值范围. 已知全集U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若UA={1，2}，则实数m=________.  已知集合A={x|2a-2<x<a}，B={x|1<x<2}，且A⫋RB，则实数a的取值范围是________.  【随堂检测】 1.设集合A={x∈N*|x≤6}，B={2，4}，则AB=(　　). A.{2，4}　 B.{0，1，3，5} C.{1，3，5，6} D.{x∈N*|x≤6} 2.已知集合U，A，B及集合间的关系如图所示，则(UB)∩A=(　　). A.{3} B.{0，1，2，4，7，8} C.{1，2} D.{1，2，3} 3.已知全集U={0，1，3，5，6，8}，集合A={1，5，8}，B={2}，则集合(UA)∪B=(　　). A.{0，2，3，6} B.{0，3，6} C.{1，2，5，8} D.⌀ 4.已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}. (1)若(UA)∩B=B，求实数m的取值范围； (2)若(UA)∪B=B，求实数m的取值范围. 参考答案 1.1.3 课时2 全集与补集 自主预习·悟新知 预学忆思 1.A∩B={4}，A∪B={1，2，3，4，5，6}. 2.A∩B=⌀，A∪B={x|x是整数}. 3.在有理数范围内的解的集合是{2}，在实数范围内的解的集合是{2，，-}. 4.UA=B. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　 2.D　【解析】根据补集的定义可知D正确. 3.D　【解析】∵集合M={1，2}，N={2，3}，∴M∪N={1，2，3}，又全集U={1，2，3，4}，∴U(M∪N)={4}.故选D. 4.{1，2，3}　【解析】U=M∪(UM)={1，2}∪{3}={1，2，3}. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：如果我们直接去统计张三、李四、王五等人谁参加了军训，这样做可就麻烦多了.若确定出没有参加军训的同学，则剩下的同学都参加了军训，问题可就简单多了. 问题2：A∪B=S. 问题3：由所有属于集合S但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B. 新知生成 1.(2)U 2.(1)UA　(2)x∈U，且x∉A　(4)②⌀　U　③A　④U　⌀ 新知运用 例1　A　【解析】因为集合A={x|x≤3}，B={x|x≤1}，所以借助数轴可知AB={x|1<x≤3}. 巩固训练1　A　【解析】如图，在数轴上表示出集合M，可知UM={x|-2≤x≤2}. 巩固训练2　{k|k≥2}　【解析】由RM⊇RN可知，M⊆N，则实数k的取值范围为{k|k≥2}. 探究2　情境设置 问题1：既有彩电又有空调的居民组成的集合为A∩B，有535户. 问题2：彩电和空调至少有一种的居民组成的集合为A∪B，有819+682-535=966(户). 问题3：有彩电无空调的居民组成的集合为A(A∩B)，有819-535=284(户). 问题4：有空调无彩电的居民组成的集合为B(A∩B)，有682-535=147(户). 问题5：无空调无彩电的居民组成的集合为U(A∪B)，有1 000-966=34(户). 用Venn图表示如下： 新知运用 例2　(1)D　(2)C　【解析】(1)UP={1，5，6}，(UP)∪Q={1，4，5，6}.故选D. (2)因为A={x|-1<x≤1}，所以RA={x|x≤-1或x>1}. 因为B={-1，0，1，2，3}，所以(RA)∩B={-1，2，3}，故选C. 巩固训练1　C　【解析】∵全集U={1，2，3，4}，N={2，3}， ∴UN={1，4}，又M={1，2}，∴M∪(UN)={1，2，4}.故选C. 巩固训练2　A　【解析】因为集合A={x|x≤1}，所以RA={x|x>1}，所以(RA)∩B={x|1<x<2}. 探究3　情境设置 问题1：因为A={x|a≤x≤b}，所以UA={x|x<a或x>b}，又UA={x|x<1或x>3}，所以a=1，b=3. 问题2：条件(UA)∩B=⌀说明两个非空集合UA和B没有公共元素，则集合B是集合A的子集，所以1≤m≤2. 新知运用 例3　【解析】(1)∵A={x|-2<x<-1或x>1}，U=R，∴UA={x|x≤-2或-1≤x≤1}. (2)根据题意画出数轴，如图所示. 要使B⊆UA，则a≤-2. 故实数a的取值范围为{a|a≤-2}. 巩固训练1　-3　【解析】∵UA={1，2}，∴A={0，3}，∴0，3是关于x的方程x2+mx=0的两个根，∴m=-3. 巩固训练2　{a|a≤1或a≥2}　【解析】易得RB={x|x≤1或x≥2}， ∵A⫋RB，∴若A=⌀，则有2a-2≥a，解得a≥2； 若A≠⌀，则有或解得a≤1. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤1或a≥2}. 随堂检测·精评价 1.C　【解析】因为A={x∈N*|x≤6}={1，2，3，4，5，6}，B={2，4}， 所以AB={1，3，5，6}.故选C. 2.C　【解析】易得U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={3，5，6}，故(UB)∩A={1，2}. 3.A　【解析】因为UA={0，3，6}，所以(UA)∪B={0，2，3，6}. 4.【解析】(1)因为A={x|x≤-2或x≥3}， 所以UA={x|-2<x<3}. 因为(UA)∩B=B，所以B⊆UA. 当B=⌀时，2m+1≥m+7，解得m≥6， 所以当m≥6时，满足(UA)∩B=B. 当B≠⌀时，要使B⊆UA，则无解. 故实数m的取值范围是{m|m≥6}. (2)因为(UA)∪B=B，所以(UA)⊆B， 所以解得-4≤m≤-， 故实数m的取值范围为m-4≤m≤-. 学科网（北京）股份有限公司 $