1.1.3 课时1 交集与并集 导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.1.3 课时1 交集与并集 【学习目标】 1.理解交集、并集的概念.(数学抽象) 2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.(直观想象) 3.会求简单集合的并集和交集.(数学运算) 【自主预习】 1.对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么集合A与集合C是什么关系? 2.如何求子集、真子集的个数? 3.若A是B的子集，求由属于A或属于B的元素构成的集合.该运算称为集合的何种运算? 4.若A是B的子集，求由属于A且属于B的元素构成的集合.该运算称为集合的何种运算? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素.(　　) (2)若A∪B=A，B≠⌀，则B中的每个元素都属于集合A. (　　) (3)并集定义中的“或”能改为“和”. (　　) (4)若A∩B=C∩B，则A=C. (　　) 2.已知集合P={x|x<3}，Q={x|-1≤x≤4}，那么P∪Q=(　　). A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1} 3.已知集合A={-1，0，1，2}，B={-1，0，3}，则A∩B=________.  4.若集合A={x|-3<x<4}，B={x|x>2}，C={x|x≤-3}，则A∩B=________，A∩C=________.  【合作探究】 探究1　交集的运算 　　妈妈去超市买水果，洋洋喜欢吃葡萄、圣女果、苹果、橙子、枇杷，哥哥喜欢吃圣女果、香梨、苹果、樱桃. 问题1：哪种水果妈妈要多买一些? 问题2：若将洋洋喜欢吃的水果构成的集合记为A，哥哥喜欢吃的水果构成的集合记为B，两人都喜欢吃的水果构成的集合记为C，如何表达这三个集合之间的关系? 问题3：如何用Venn图表示上述三个集合的关系? 　　交集的概念 (1)自然语言：由________集合A________集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作________(读作“________”).  (2)符号语言：A∩B=________.  (3)图形语言： (4)交集的运算性质：A∩B=________；A∩A=________；A∩⌀=________；A∩B⊆A，A∩B⊆B.  例1　(1)已知集合A={x|0<x<3}，B={0，1，2，3}，则A∩B=(　　). A.{0，1，2，3} B.{0，1，2} C.{1，2，3} D.{1，2} (2)已知集合M={x|-2≤x<1}，N={x|-1<x≤2}，则M∩N=(　　). A.{x|-2≤x≤2} B.{x|-1<x<1} C.{x|-1≤x≤1} D.{x|-1<x≤1} 【方法总结】求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； (2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于这两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 已知集合A={x|x>1}，B={0，1，2}，则A∩B=(　　). A.{0} B.{2} C.{1，2} D.{0，1，2} 若集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x<-1或x>4}，则集合A∩B=(　　). A.{x|x≤3或x>4} B.{x|-1<x≤3} C.{x|3≤x<4} D.{x|-2≤x<-1} 探究2　并集的运算 　　某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛. 问题1：若没有人两项都报，你能算出高一(1)班参赛的人数吗? 问题2：若两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛的人数吗? 问题3：如何用Venn图表示问题2中的案例? 　　并集的概念 (1)自然语言：由________集合A________集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作________(读作“________”).  (2)符号语言：A∪B=________.  (3)图形语言： (4)并集的运算性质：A∪B=B∪A；A∪A=________；A∪⌀=________；A⊆A∪B，B⊆A∪B.  例2　(1)已知集合M={x∈N*|x<8}，N={-1，4，5，7}，则M∪N=(　　). A.{4，5，7} B.{1，2，3，4，5，6，7} C.{-1，2，3，4，5，6，7} D.{-1，1，2，3，4，5，6，7} (2)已知集合A=，B={x|3>2x-1}，则A∪B=________.  【方法总结】 1.对于元素个数有限的集合并集的运算，多借助定义或Venn图求解. 2.若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解A∪B.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示. 已知集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B=(　　). A.{x|3≤x<4} B.{x|x≥2} C.{x|2≤x<4} D.{x|2≤x≤3} (多选题)满足{1，3}∪A={1，3，5}的集合A可以是(　　). A.{5} B.{1，5} C.{3} D.{1，3} 探究3　交集与并集的综合问题 　　已知集合A，B. 问题1：若A∪B=⌀，则集合A与集合B之间的关系是什么? 问题2：若A∩B=⌀，则集合A与集合B之间的关系是什么? 问题3：若A∪B=A，A∩B=A，则集合A与集合B之间的关系是什么? 1.当题目中含有条件A∩B=A，A∪B=B时，常利用交集、并集的定义将其转化为集合的基本关系，如：A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B. 2.集合运算中的参数问题，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍. 例3　已知集合A={x|-1<x<3}，B={x|k+1<x<3-k}. (1)当k=-1时，求A∩B； (2)若A∪B=A，求实数k的取值范围. 【方法总结】利用集合的交集、并集的性质解题的方法：(1)在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B=A，A∪B=B等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=B⇔A⊆B等，解题时应灵活处理；(2)当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，那么解题时还要考虑B=⌀的情况，切不可漏掉. 设集合A={x|-2≤x≤2}，B={x|2x+a≥0}，若A∩B={x|-1≤x≤2}，则a=(　　). A.-4 B.-2 C.2 D.4 若集合A={x|-3≤x≤5}，B={x|2m-1≤x≤2m+9}，A∪B=B，则实数m的取值范围是________.  【随堂检测】 1.若集合A={x|x是参加北京奥运会比赛的所有运动员}，集合B={x|x是参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={x|x是参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是(　　). A.A⊆B B.B⊆C C.A∩B=C D.B∪C=A 2.设集合M={-1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=(　　). A.{0，1} B.{-1，0，1} C.{0，1，2} D.{-1，0，1，2} 3.已知集合A={x|x>1}，B={x|-1<x<2}，则A∩B=________.  4.已知集合A={x|x≥3}，B={x|1≤x≤7}，C={x|x≥a-1}. (1)求A∩B，A∪B； (2)若C∪A=A，求实数a的取值范围. 参考答案 1.1.3 课时1 交集与并集 自主预习·悟新知 预学忆思 1.A⊆C. 2.含n个元素的集合有2n个子集，(2n-1)个真子集. 3.由属于A或属于B的元素构成的集合为B，该运算为求集合的并集，表示为A∪B=B. 4.由属于A且属于B的元素构成的集合为A，该运算为求集合的交集，表示为A∩B=A. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.C　【解析】在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q={x|x≤4}. 3.{-1，0}　【解析】由A={-1，0，1，2}，B={-1，0，3}，得A∩B={-1，0}. 4.{x|2<x<4}　⌀　【解析】由数轴法可知A∩B={x|2<x<4}，A∩C=⌀. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：两人都喜欢吃的水果是圣女果、苹果，这两种水果要多买一些. 问题2：洋洋喜欢吃的水果构成集合A={葡萄，圣女果，苹果，橙子，枇杷}，哥哥喜欢吃的水果构成集合B={圣女果，香梨，苹果，樱桃}，两人都喜欢吃的水果构成集合C={圣女果，苹果}，则集合C为集合A和集合B的公共部分. 问题3： 新知生成 (1)既属于　又属于　A∩B　A交B　(2){x|x∈A，且x∈B}　(4)B∩A　A　⌀ 新知运用 例1　(1)D　(2)B　【解析】(1)由题意得A∩B={1，2}.故选D. (2)由题意，集合M={x|-2≤x<1}，N={x|-1<x≤2}， 根据集合的交集的概念及运算，可得M∩N={x|-1<x<1}.故选B. 巩固训练1　B　【解析】∵集合A={x|x>1}，B={0，1，2}，∴A∩B={2}.故选B. 巩固训练2　D　【解析】将集合A，B表示在数轴上，如图所示.由数轴可得A∩B={x|-2≤x<-1}.故选D. 探究2　情境设置 问题1：能，高一(1)班参赛的人数为10+12=22. 问题2：能，19人.参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10+12-3=19(人). 问题3： 新知生成 (1)所有属于　或属于　A∪B　A并B　(2){x|x∈A，或x∈B}　(4)A　A 新知运用 例2　(1)D　(2){x|x<3}　【解析】(1)易知M={1，2，3，4，5，6，7}，则M∪N={-1，1，2，3，4，5，6，7}. (2)解不等式组得-2<x<3，则A={x|-2<x<3}. 解不等式3>2x-1，得x<2，则B={x|x<2}. 用数轴表示集合A和B，如图所示， 则A∪B={x|x<3}. 巩固训练1　B　【解析】由题意得B={x|x≥3}，结合数轴(图略)知，A∪B={x|x≥2}，故选B. 巩固训练2　AB　【解析】由{1，3}∪A={1，3，5}知，A⊆{1，3，5}且A中至少有1个元素5，因此满足条件的A有4个，它们分别是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}. 探究3　情境设置 问题1：A∪B=⌀说明A，B均为⌀. 问题2：A∩B=⌀说明集合A，B中没有公共元素. 问题3：A∪B=A⇔B⊆A，A∩B=A⇔A⊆B.所以可得A=B. 新知运用 例3　【解析】(1)当k=-1时，B={x|0<x<4}， 因为集合A={x|-1<x<3}，所以A∩B={x|0<x<3}. (2)因为A∪B=A，所以B⊆A. 当B=⌀时，k+1≥3-k，解得k≥1； 当B≠⌀时，由B⊆A得解得0≤k<1. 综上，实数k的取值范围是{k|k≥0}. 巩固训练1　C　【解析】A={x|-2≤x≤2}，B={x|2x+a≥0}=xx≥-. ∵A∩B={x|-1≤x≤2}，∴-=-1，解得a=2.故选C. 巩固训练2　{m|-2≤m≤-1}　【解析】∵A∪B=B， ∴A⊆B，如图所示， ∴解得-2≤m≤-1. ∴实数m的取值范围为{m|-2≤m≤-1}. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此B∪C=A. 2.D　【解析】M∪N={-1，0，1，2}，故选D. 3.{x|1<x<2}　【解析】∵A={x|x>1}，B={x|-1<x<2}，∴A∩B={x|1<x<2}. 4.【解析】(1)由题意得A∩B={x|3≤x≤7}，A∪B={x|x≥1}. (2)因为C∪A=A，所以C⊆A， 所以a-1≥3，即a≥4.故实数a的取值范围为{a|a≥4}. 学科网（北京）股份有限公司 $