1.1.2 集合的基本关系 导学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、相等及空集概念，通过自主预习回顾集合元素特性与函数例子，搭建新旧知识联系的学习支架。 以数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养为目标，合作探究结合草原马、学习小组等情境降低抽象难度，例题注重分类讨论与Venn图应用，随堂检测分层设计，助力学生自主学习与思维提升。

1.1.2 集合的基本关系 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(数学抽象) 2.能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力.(逻辑推理) 3.会由集合间的关系求相关参数的取值范围.在具体情境中了解空集的含义.(数学运算) 4.掌握并能使用Venn图表达集合间的关系.(直观想象) 【自主预习】 1.集合中元素的三个特性是什么? 2.常见的数集有哪些? 3.集合的表示方法有哪些? 4.A={x|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A=R，对吗? 5.B={y|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y=x2+1≥1，因此B={y|y≥1}，对吗? 6.集合B={y|y=x2+1}中的元素是否都属于集合A={x|y=x2+1}?集合A和集合B是什么关系? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空集没有子集. (　　) (2)任何集合至少有两个子集. (　　) (3)空集是任何一个集合的真子集. (　　) (4)若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集. (　　) 2.已知集合M={1}，N={1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　). A.M<N B.M∈N C.N⊆M D.M⫋N 3.已知集合A=(-1，2)，B=(0，1)，则(　　). A.B⫋A B.A⫋B C.B<A D.A<B 4.(多选题)下列说法正确的是(　　). A.任何一个集合都是它自身的真子集 B.集合{a，b}共有4个子集 C.集合{x|x=3n+1，n∈Z}={x|x=3n-2，n∈Z} D.集合{x|x=1+a2，a∈N*}={x|x=a2-4a+5，a∈N*} 5.(原创)设a∈R，若集合(2，9)⊆(1-a，9)，则a的取值范围是________.  【合作探究】 探究1　集合与集合间关系的判定 　　草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B. 问题1：集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的? 问题2：集合A与集合B又存在什么关系? 1.子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素________集合B，那么称集合A是集合B的________，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”).  特别提醒：(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系). (2)并不是任意两个集合之间都具有包含关系.例如A={1，2}，B={1，3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集. (3)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. (4)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 2.Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部表示集合，这种图称为Venn图.如A⊆B可用Venn图表示为 3.集合相等 对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A=B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 4.真子集 对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). 例1　(1)能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}间的关系的Venn图是(　　). A　　　 B　　 　C　　　　D (2)已知集合M={y|y=x2-2x-1，x∈R}，N={x|-2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________.  【方法总结】在处理集合间的关系时，要注意以下三点： (1)A⊆B且B≠⌀隐含着A=B和A⫋B两种关系. (2)注意空集的特殊性.在解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性. (3)要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合问题中的应用. 指出下列各组集合之间的关系： (1)A={-1，1}，B={(-1，-1)，(-1，1)，(1，-1)，(1，1)}； (2)A={x|-1<x<4}，B={x|x-5<0}； (3)M={x|x=2n-1，n∈N*}，N={x|x=2n+1，n∈N*}. 探究2　有限集合的子集、真子集的确定 　　我们将高一(1)班的甲、乙、丙三位同学组成的三人学习小组记为集合A={甲，乙，丙}，数学老师将从该小组内抽取n位同学，进行面批作业.设抽取的同学组成的集合为B. 问题1：列出集合B中只有1位同学的集合.集合B中没有同学能否构成集合? 问题2：列出集合B中有2位同学的集合. 问题3：问题1和问题2中的集合B与集合A是什么关系?集合A的子集有多少个? 1.写集合子集的一般方法：先写空集，然后按照集合中元素个数从少到多的顺序写出来，一直到集合本身.写集合真子集时除集合本身外其余的子集都是它的真子集. 2.假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n；②A的真子集的个数为2n-1；③A的非空真子集的个数为2n-2. 例2　(1)已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则整数m=(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 (2)满足{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个.  【方法总结】写有限集合的所有子集时，要注意以下三点： (1)掌握给定集合子集个数的规律.若集合A中含有n个元素，则它子集的个数为2n；真子集的个数为2n-1；非空真子集的个数为2n-2. (2)写子集时要按照一定的顺序，一般可按照集合中元素的个数来分类写出，以防重复或遗漏. (3)不要遗漏两个比较特殊的集合：空集和集合本身. 已知集合P={x|0<x<4}，且M⊆P，则M可以是(　　). A.{1，2} B.{2，4} C.{-1，2} D.{0，5} 已知集合M=，则M的真子集的个数是(　　). A.7 B.8 C.15 D.16 探究3　由集合间的关系求参数的取值范围 　　已知集合A={x|ax=1(a≥0)}，B={x|x≤1}. 问题1：集合A中有几个元素? 问题2：实数a取哪些值时，可以使得A⊆{1}? 问题3：当A⊆B时，怎样求实数a的取值范围? 1.已知集合的包含关系求相关参数的取值范围时，常采用数形结合与分类讨论的思想，借助数轴解答. 2.注意点：不能忽视集合为⌀的情形.当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. 例3　已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若B⫋A，求实数m的取值范围. 【方法总结】求解集合中参数问题时，应先分析、简化每个集合，然后利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来.要特别注意端点值的检验及空集的特殊性，遇到“B⊆A”时，若B为含字母参数的集合，一定要分“B=⌀”和“B≠⌀”两种情况讨论. 已知集合A={x|-2≤x≤5}. (1)若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围； (2)若A⊆B，B={x|m-6≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围. 【随堂检测】 1.已知集合A={a，b}，那么集合A的所有子集为(　　). A.{a}，{b} B.{a，b} C.{a}，{b}，{a，b} D.⌀，{a}，{b}，{a，b} 2.给出下列四个结论： ①⌀={0}； ②“∈”“⊆”的意义是一样的； ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ④空集是任何一个集合的子集. 其中正确的有(　　). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.定义集合P-Q={x|x=p-q，p∈P，q∈Q}，若集合P={4，5，6}，Q={1，2，3}，则集合P-Q的所有真子集的个数为(　　). A.32 B.31 C.16 D.15 4.已知集合A={a，a-1}，B={2，y}，C={x|1<x-1<4}. (1)若A=B，求实数y的值； (2)若A⊆C，求实数a的取值范围. 参考答案 1.1.2 集合的基本关系 自主预习·悟新知 预学忆思 1. 确定性、无序性、互异性. 2. 正整数集、自然数集、整数集、有理数集、正实数集、实数集. 3. 列举法、描述法. 4.正确. 5.正确. 6.是，集合B是集合A的子集. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.D　【解析】∵集合M中的元素都在集合N中，且M≠N，∴M⫋N.故选D. 3.A　【解析】结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示，可知B⫋A. 4.BC　【解析】对于A，任何一个集合都是它自身的子集，故A错误； 对于B，因为集合{a，b}中有2个元素，所以有22=4个子集，故B正确； 对于C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对于D，因为x=a2-4a+5=(a-2)2+1，当a=2时，x=1，所以1∈{x|x=a2-4a+5，a∈N*}，但1∉{x|x=1+a2，a∈N*}，故两个集合不相等，故D错误. 5.[-1，+∞)　【解析】因为(2，9)⊆(1-a，9)， 所以2≥1-a，所以a≥-1. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：集合A中的元素都是集合B中的元素. 问题2：集合A是集合B的子集. 新知生成 1.都属于　子集 新知运用 例1　(1)B　(2)N⫋M　【解析】(1)由x2-x=0得x=1或x=0，故N={0，1}，易得N⫋M，其对应的Venn图如选项B所示. (2)∵y=(x-1)2-2≥-2，∴M={y|y≥-2}， ∴N⫋M. 巩固训练　【解析】(1)集合A中的元素是数，集合B中的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. (2)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，可知A⫋B. (3)由列举法知M={1，3，5，7，…}，N={3，5，7，9，…}，故N⫋M. 探究2　情境设置 问题1：{甲}，{乙}，{丙}；能，构成空集. 问题2：{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}. 问题3：问题1和问题2中的集合B均为集合A的子集，集合A也是自身的子集，所以集合A的子集有8个. 新知运用 例2　(1)B　(2)7　【解析】(1)根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又M={x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于或等于1且小于或等于m的全部整数，m∈Z，所以m=2. (2)由{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}可以确定集合M中必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M中的元素个数分类如下. 含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}. 含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}. 含有五个元素：{1，2，3，4，5}. 故满足题意的集合M共有7个. 巩固训练1　A　【解析】∵1∈{x|0<x<4}，2∈{x|0<x<4}， ∴{1，2}⊆{x|0<x<4}，故选A. 巩固训练2　C　【解析】∵集合M=x>1，x∈N*={1，2，3，4}，集合M中有4个元素， ∴M的真子集的个数是24-1=15. 探究3　情境设置 问题1：当a=0时，A中没有元素；当a≠0时，A中有1个元素. 问题2：当a=0或a=1时，A⊆{1}. 问题3：当a=0时，A=⌀，满足A⊆B； 当a>0时，A=，由A⊆B，得≤1，解得a≥1. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥1或a=0}. 新知运用 例3　【解析】①当B=⌀时，由m+1>2m-1，解得m<2. ②当B≠⌀时，如图所示. ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}. 巩固训练　【解析】(1)因为A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，B⊆A， 所以当B=⌀时，m+1>2m-1，解得m<2； 当B≠⌀时，解得2≤m≤3. 综上所述，实数m的取值范围是{m|m≤3}. (2)因为A⊆B，所以 解得3≤m≤4， 所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}. 随堂检测·精评价 1.D　【解析】由题意得，集合A={a，b}的子集有⌀，{a}，{b}，{a，b}.故选D. 2.B　【解析】对于①，符号⌀表示没有元素的集合，而{0}表示含有一个元素的集合，故①不正确；对于②，“∈”是判断元素与集合的关系时使用的符号，而“⊆”是判断集合与集合的关系时使用的符号，故②不正确；对于③，空集只有一个子集，即本身，故③不正确；④正确.故选B. 3.B　【解析】由题中所给定义，可知P-Q={1，2，3，4，5}，∴P-Q的所有真子集的个数为25-1=31.故选B. 4.【解析】(1)若a=2，则A={1，2}，所以y=1. 若a-1=2，即a=3，则A={2，3}，所以y=3. 综上，实数y的值为1或3. (2)因为C={x|1<x-1<4}={x|2<x<5}，所以解得3<a<5，所以实数a的取值范围为(3，5). 学科网（北京）股份有限公司 $