1.1.2 集合的基本关系课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及Venn图等核心知识点。通过“白马非马”故事衔接上节课内容，以“所有的马”与“所有的白马”的关系设问，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生初步感知集合间关系。 其亮点在于以情境讨论（如小明与小李对正方形、菱形集合关系的辨析）培养数学思维中的推理意识，结合Venn图与实例（如例1判断集合关系、练习1分析坐标集合）发展数学眼光中的抽象能力与几何直观。方法小结与易错警示（如空集特殊性）系统梳理知识，助力学生理解概念本质，也为教师提供清晰教学思路。

1.1.2 集合的基本关系 上节课我们了解了“白马非马”的故事. 思考：如果把“所有的马”看成一个集合 A ，“所有的白马”看成另一个集合 B，请你说说集合A与集合B之间存在什么关系？ 知识点1：集合与集合间关系 小明同学与小李同学在讨论集合A={x|x是正方形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是平行四边形}之间的关系. 小明说：所有的正方形都是菱形，所以集合A属于集合B；所有的菱形都是平行四边形，所以集合B属于集合C. 小李说：集合A，B，C的关系只能用图形表示. 思考：小明说的是否正确? 小李说的正确吗? 小明说的不正确，这是两个集合之间的关系，应该是集合A包含于集合B，集合B包含于集合C. 小李说的也不正确，可以用封闭图形来表示，比如： 也可以用符号表示，如A⊆B⊆C. 1.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”).  注意：(1) 子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)； (2) 并不是任意两个集合之间都具有包含关系；例如A={1，2}，B={1，3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集. 3.集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 4.真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A). 2.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 如A⊆B可用Venn图表示为： 例1：(1) 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1，2}，C={x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：A　　　B，A　　　C，{2}　　　C，2　　　C； (2) 已知M={y|y=x2-2x-1，x∈R}，N={x|-2≤x≤4}，判断集合M与N间的关系. 解：(1)由题意得A={1，2}，B={1，2}，C={0，1，2，3，4，5，6，7}， ∴A=B，A⫋C，{2}⫋C，2∈C； (2)∵y=(x-1)2-2≥-2，∴M={y|y≥-2}，∴ N⫋M. = ⫋ ⫋ ∈ 方法小结：处理集合间的关系时，要注意以下三点： (1) A⊆B且B≠⌀隐含着A=B和A⫋B两种关系； (2) 注意空集的特殊性；在解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性； (3) 要注意数形结合思想与分类讨论思想在集合问题中的应用. 练习1：设x，y∈R，A={(x，y)|y=x}，B=，则集合A，B之间的关系是　　　　.  B⫋A 分析：因为B=={(x，y)|y=x，且x≠0}，故B⫋A. 练习2：能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}之间的关系的Venn图是 (　　). B 分析：由x2-x=0得x=1或x=0，故N={0，1}，易得N⫋M，其对应的Venn图如选项B所示. 知识点2：有限集合的子集、真子集 将高一 (1) 班的甲、乙、丙三位同学组成的学习小组记为集合A={甲，乙，丙}，假设数学老师将从该小组内抽取 n 位同学，进行面批作业. 设抽取的同学组成的集合为B. 问题：（1）列出集合B中只有1位同学的集合；集合B中没有同学能否构成集合? {甲}，{乙}，{丙}；构成空集； （2）列出集合B中有2位同学的集合. {甲，乙}，{甲，丙}{乙，丙}； （3）问题1、2中的集合B与集合A是什么关系? 集合A的子集有多少? 问题1、2中的集合B均为集合A的子集； 集合A也是自身的子集，所以集合A的子集有8个. 方法归纳：设集合A中含有n个元素，则有： ① A 的子集的个数为 2n； ② A 的真子集的个数为 2n-1； ③ A 的非空真子集的个数为 2n-2. 例2：(1) 已知集合M={x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则整数m=(　　). A.1 B.2 C.3 D.4 (2) 满足{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合 M 有　　　个.  解：(1)根据题意，集合 M 有4个子集，则 M 中有2个元素，又由 M={x∈Z|1≤x≤m}， 其元素为大于或等于1而小于或等于m的全部整数，所以m=2； (2)由{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}可以确定集合 M 中必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合 M 中的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}； 含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有五个元素：{1，2，3，4，5}；故满足题意的集合M共有7个. B 7 练习3：已知集合 P={x|0<x<4}，且 M⊆P，则 M 可以是(　　). A.{1，2} B.{2，4} C.{-1，2} D.{0，5} 练习4：已知集合M=，则M的非空子集的个数是(　　). A.15 B.16 C.7 D.8 C A 分析：∵1∈{x|0<x<4}，2∈{x|0<x<4}，∴{1，2}⊆{x|0<x<4}，即M⊆P. 分析：由题意知M={1，2，3}，所以 M 的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共7个，故选C. 例3：(1)已知集合A={1，1+d，1+2d}，集合B={1，q，q2}，若A=B，求实数d与q的值. (2)已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m-6≤x≤2m-1}，若B⊆A，求实数m的取值范围. 分析：已知集合的包含关系求相关参数的取值范围时，常采用数形结合与分类讨论的思想，借助数轴解答. 解：(1)由A=B，得 或 解得 或 ； 当 q = 1，d = 0 时，A = B = {1，1，1}，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当 q = - ，d = - 时，A = B = ，符合题意；所以 q = - ，d = - . (2) 已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m-6≤x≤2m-1}，若B⊆A，求实数m的取值范围. 【易错警示】求集合中参数问题时，应先简化每个集合，然后利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来；要特别注意端点值的检验及空集的特殊性，遇到“B⊆A”时，若B为含字母参数的集合，一定要分“B=⌀”和“B≠⌀”两种情形讨论. 解：(2)∵B⊆A，∴当B = ⌀时，m-6 > 2m-1，解得 m < -5； 当B ≠ ⌀时，，解得，故m∈⌀； 综上所述，实数m的取值范围是m<-5. 练习5：已知集合A={2，6}. (1)若集合B={a+1，a2-23}，且A=B，求a的值； (2)若集合C={x|ax2-x+6=0}，A与C有包含关系，求a的取值范围. (2) 因为 A 与 C 有包含关系，所以只能是 C ⊆ A； ① 当C ≠ ⌀时，若6∈C，则a = 0，此时C={6}，满足C ⊆ A； 若2∈C，则4a + 4 = 0，得a = -1，此时C = {-3，2}，A与C没有包含关系. ② 当C = ⌀时，，解得 a > ；综上，a 的取值范围为. 解：(1) 由题意得，当 a + 1 = 2，即 a = 1 时，B = {-22，2}，此时 A ≠ B； 当 a + 1 = 6，即 a = 5 时，B = {2，6}，此时 A = B；故 a 的值为 5. 1.知识框图： 2.常见误区：忽视空集，漏掉自身. $