1.1.1 集合的概念与表示 学案-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

1.1.1 集合的概念与表示 【学习目标】 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.(数学抽象) 2.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识.(逻辑推理) 3.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法).(数学抽象) 【自主预习】 1.回忆一下初中实数的分类. 2.1是整数吗?是整数吗? 3.π是实数吗?是无理数吗? 4.在生活中，有许多事物给我们以集体的印象，比如，你的家庭，你所在的班级，江西省的所有城市，等等，你还能举出一些这样的例子吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)育才中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合. (　　) (2)只由元素1，2，3组成的集合是有限集. (　　) (3)方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}. (　　) (4)集合{x|4<x<5}不能用列举法表示.(　　) 2.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点，其中正确的是(　　). A.{x|y=3x+1} B.{y|y=3x+1} C.{(x，y)|y=3x+1} D.{y=3x+1} 3.方程x2-1=0与方程x+1=0的所有解组成的集合中共有________个元素.  4.下列元素与集合的关系判断正确的是________.(填序号)  ①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④-1∈Z；⑤∉R. 【合作探究】 探究1　集合的概念 　　9月1日，学校通知：全体高一学生6点钟开始在班级进行开学教育，之后“偶数班”去一楼大厅领取数学教辅书. 问题1：这个通知的对象有哪些? 问题2：这些对象能构成一个集合吗? 问题3：初中我们接触了哪些集合? 1.一般地，我们把指定的某些对象的全体称为________，集合中的每个对象叫作这个集合的________.  2.集合与元素的符号语言：通常用大写英文字母A，B，C，…表示________，用小写英文字母a，b，c，…表示________.  3.常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 记法 ________ ________ ________ ________ ________ ________ 4.集合中元素的三要素 确定性：判断每个对象是否具有确定性是判断其能否组成集合的关键，而判断一个对象是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准. 互异性：集合中的任何两个元素都是不相同的. 无序性：在用列举法表示集合时，元素排列的顺序可以不同.例如，集合{1，2，4}同时也可以写成{4，2，1}和{2，1，4}. 例1　(1)下列元素的全体能组成集合的是(　　). A.著名数学家 B.很大的数 C.聪明的人 D.小于3的实数 (2)判断下列元素的全体能否组成集合： ①不超过20的非负数； ②方程x2-9=0在实数范围内的解； ③某校2024年在校的所有高个子同学； ④的近似值的全体. 【方法总结】判断每个元素是否具有确定性是判断其能否构成集合的关键，而判断一个元素是不是确定的，关键就是要找到一个明确的衡量标准，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. (多选题)下列各组对象能组成集合的是(　　). A.2022年北京冬奥会的5个冰上项目和10个雪上项目 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点 给出下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合N中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正确说法的个数是________.  探究2　集合的表示方法 　　开学第一周学习了集合，这是老师布置的其中一道作业：把所有满足不等式3x-1<2x+9的正整数用集合表示.结果王浩宇、李琦、张瑜、谢芳四位同学的答案如下： 姓名 答案 王浩宇 {1，2，3，4，5，6，7，8，9} 李琦 {x|x≤9，x∈N*} 张瑜 {x≤9，x∈N*} 谢芳 {x∈N*|x≤9} 问题1：王浩宇的答案是否正确?他用了什么方法表示? 问题2：小组讨论李琦、张瑜、谢芳三位同学的答案，哪几位的是正确的? 问题3：任何一个集合是否既能用列举法也能用描述法表示?若不能，举例说明. 　　集合常用的表示法 (1)________：在花括号内把集合的所有元素一一列举出来，特点是________.  (2)________：通过描述元素满足的条件表示集合，其一般形式是________.  一、用列举法表示集合 例2　用列举法表示下列集合： (1)单词“see”中的字母组成的集合； (2)所有正整数组成的集合； (3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合. 【方法总结】用列举法表示集合的步骤及注意点 (1)分清元素：用列举法表示集合，要分清是数集还是点集，或是其他元素组成的集合. (2)书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏. 提醒：二元方程组的解集、函数的图象上的点形成的集合都是点的集合，一定要写成有序实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2，3)，(5，-1)}. 二、用描述法表示集合 例3　用描述法表示下列集合： (1)函数y=-x图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合； (3)不等式x-2<3的解组成的集合. 【方法总结】用描述法表示集合的两个步骤 集合{x|x2-4x+3=0}用列举法表示为(　　). A.{1，3} B.{(1，3)} C.{x2-4x+3=0} D.{x=1，x=3} 方程组的解集不能表示为(　　). A.(x，y) B.(x，y) C.{1，2} D.{(x，y)|x=1，y=2} 探究3　元素与集合的关系 　　把高一年级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班的某位同学，b是高二(7)班的某位同学. 问题1：请问a与A，b与A之间各自有什么关系? 问题2：由2，3，4，5，|-3|构成的集合M中，是不是有5个元素? 问题3：问题2中|-3|在集合M中吗?-3在集合M中吗? 1.元素与集合的关系：如果元素a在集合A中，就说元素a________集合A，记作a∈A；如果元素a不在集合A中，就说元素a________集合A，记作________.  2.含有有限个元素的集合叫作________集；含有无限个元素的集合叫作________集；不含任何元素的集合叫作空集，记作⌀.  例4　(1)下列五个关系中，正确的个数为(　　). ①∈R；②∉N；③π∈Q；④|-3|∉N；⑤-∈Z. A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________.  【方法总结】判断元素与集合关系的两种方法：(1)直接法，若集合中的元素是直接给出的，则只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法，对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 用符号“∈”和“∉”填空： (1)________N；(2)1________Z；(3)-2________R；(4)π________Q；(5)32________N.  集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是(　　). A.∈M B.0∉M C.1∈M D.-∈M 探究4　区间 问题1：区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗? 问题2：“∞”是数吗?如何正确使用“∞”? 　　设a，b是两个实数，且a<b.区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表： 集合表示 名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} 半开半闭区间 [a，+∞) {x|x>a} 开区间 (a，+∞) {x|x≤a} 半开半闭区间 (-∞，a] {x|x<a} 开区间 (-∞，a) R 开区间 (-∞， +∞) 取遍数轴上 所有的点 　　特别提醒：(1)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数，以“-∞”或“+∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号. (2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小右大. 例5　若[a，3a-1]为一确定区间，则实数a的取值范围是________.  用区间表示下列数集： (1){x|x≥1}=________； (2){x|2<x≤4}=________.  【随堂检测】 1.下列各组对象可以组成集合的是(　　). A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.所有小的正数 2.若a，b，c，d为集合A中的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　). A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 3.集合{x|x≤-2}用区间可表示为(　　). A.(-∞，-2] B.(-∞，-2) C.[-2，+∞) D.(-2，+∞) 4.已知集合P中的元素x满足x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a=________.  5.用适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的偶数组成的集合； (2)被3除余1的正整数组成的集合； (3)一次函数y=2x-3图象上所有点组成的集合. 参考答案 1.1.1 集合的概念与表示 自主预习·悟新知 预学忆思 1. 分为有理数和无理数或正数、零和负数. 2. 1是整数；不是整数. 3. π是实数；是无理数. 4.某届冬奥会的比赛项目，东昌湖中的鱼，济南动物园中的老虎，构成英文单词“word”的字母，等等. 自学检测 1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.C　【解析】该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y=3x+1}.故选C. 3.2　【解析】由x2-1=0，得x=±1；由x+1=0，得x=-1.故集合中只有2个元素，分别为1和-1. 4.①④　【解析】N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π∉Q，∉Q，-1∈Z，∈R. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1：高一全体学生；“偶数班”. 问题2：能. 问题3：(1)数集：自然数的集合，有理数的集合，…. (2)点集：圆(同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合)，线段的垂直平分线(同一平面内到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合)，…. 新知生成 1.集合　元素 2.集合　元素 3.N　N*或N+　Z　Q　R　R+ 新知运用 例1　(1)D　【解析】(1)只有选项D有明确的标准，能组成一个集合，故选D. (2)①对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能组成集合； ②能组成集合； ③“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能组成集合； ④“的近似值”没有明确精确到什么程度，因此不能判断一个数是不是它的近似值，所以不能组成集合. 巩固训练1　ACD　【解析】选项A，C，D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合. 巩固训练2　2　【解析】由数集的性质知①③错误，②④正确. 探究2　情境设置 问题1：正确，他是先解不等式，再找出正整数解，最后用列举法表示. 问题2：李琦和谢芳的答案都是正确的，用描述法要注意花括号内用一竖杠分开，竖杠左边的是元素，竖杠右边的是元素满足的条件. 问题3：不一定，一般有有限个元素的集合或有无限个元素且元素之间有明显规律的集合可用列举法表示，而有无限个元素且元素间无规律可循的集合不能用列举法表示，如不等式3x-1≤2x+8的解组成的集合只能用描述法表示为{x|x≤9}. 新知生成 (1)列举法　适用于元素的个数较少的集合　(2)描述法　{x及x的范围|x满足的条件} 新知运用 例2　【解析】(1)单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}. (2)正整数为1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}. (3)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1，1)}. 例3　【解析】(1){(x，y)|y=-x}. (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}. (3)不等式x-2<3的解是x<5，则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}. 巩固训练1　A　【解析】解方程x2-4x+3=0得x=1或x=3，集合用列举法表示为{1，3}. 巩固训练2　C　【解析】二元一次方程组的解是一个有序实数对，故C错误. 探究3　情境设置 问题1：a∈A，b∉A. 问题2：由2，3，4，5，|-3|构成的集合表示为M={2，3，4，5}，只有4个元素. 问题3：因为|-3|=3，所以|-3|在集合M中；集合M中没有-3，所以-3不在集合M中. 新知生成 1.属于　不属于　a∉A 2.有限　无限 新知运用 例4　(1)C　(2)0，1，2　【解析】(1)由于∈R，-∈Z，是无理数，故①②⑤正确；因为π是无理数，|-3|=3是自然数，所以③④错误.故选C. (2)由题意可得x为自然数，所以可以为2，3，6，对应的x的值为0，1，2，因此集合A中的元素为0，1，2. 巩固训练1　(1)∉　(2)∈　(3)∈　(4)∉　(5)∈　【解析】由N，Z，R，Q所表示的集合及元素与集合的关系可得出结论. 巩固训练2　D　【解析】>1，故A错误；-2<0<1，故B错误；1∉M，故C错误；-2<-<1，故D正确.故选D. 探究4　情境设置 问题1：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示. 问题2：“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号. 新知运用 例5　　【解析】由题意得3a-1>a， 解得a>. 巩固训练　(1)[1，+∞)　(2)(2，4] 随堂检测·精评价 1.B　【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，不能构成集合. 2.D　【解析】由集合中的元素具有互异性，可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D. 3.A　【解析】{x|x≤-2}表示小于或等于-2的数组成的集合，即用区间表示为(-∞，-2]. 4.6　【解析】∵x∈N，a∈Z，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴a=6. 5.【解析】(1)用列举法表示为{-2，0，2}. (2)用描述法表示为{m|m=3n+1，n∈N}. (3)用描述法表示为{(x，y)|y=2x-3}. 学科网（北京）股份有限公司 $