第3章《圆的基本性质》复习与检测2025-2026学年浙教版九年级数学上册　

第3章《圆的基本性质》复习与检测2025-2026学年浙教版九年级数学上册（解析版） 1、 选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（    ）    A．50° B．80° C．90° D．100° 【答案】D 【详解】试题分析：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°． 故选D． 2．的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．先求出，再根据点与圆的位置关系求解即可得． 【详解】解：∵圆心在坐标原点上，点的坐标为， ∴， ∵的半径为， ∴点在内， 故选：A． 3． 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧， 图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时， 盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方． 若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】过点作半径于，如图，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 【详解】解：过点作半径于，如图， ∴， 在中， ， ∴， ∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为． 故选：B． 4．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式，是解题的关键．根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的长是． 故选：B． 5 .如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°， 若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（    ）    A．10 B．5 C．10 D．20 【答案】A 【分析】连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=90°，则OA=AB=10，再根据三角形中位线性质得到MN=AC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定MN的最大值． 【详解】连接OA、OB，    ∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴OA=AB=×10=10， ∵点M、N分别是AB、BC的中点， ∴MN=AC， 当AC为直径时，AC的值最大， ∴MN的最大值为10． 故选A． 6．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，由圆内接四边形可得四边形对角互补可得，结合圆周角定理可得，掌握圆内接四边形的性质是，圆周角定理是解题的关键． 根据四边形内接于，得到，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是， ∴， 故选：A ． 7. 如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是， 则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的底面积计算，熟练掌握以上知识点是关键． 设母线长为，底面圆半径为，根据扇形面积计算公式可求出圆锥侧面积，再根据圆锥底面圆周长等于其展开图得到的扇形弧长求出与的关系，进而求出底面积即可得到答案． 【详解】设母线长为，底面圆半径为，则圆锥的侧面积为 ， ∴底面积为， ∴ ∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍， 故选∶B． 8． 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点， 连接BO，BD，则∠OBD的度数是 A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可． 【详解】连接DC， ∵ ∴∠DOC=90°，OD=1，   ∴∠DCO=30°， ∴∠OBD=30°， 故选B． 9． 如图，为的直径，点为圆上一点，， 若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．连接，根据直径所对的圆周角是直角求出和，根据翻折的性质，可知所对的圆周角为，所对的圆周角为，再根据，可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ∴， ∵， ， ． 故选：A． 10． 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，． 已知于点，．下列结论： ①； ②若点为的中点，则． ③若，则； ④； 其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，依次分析判断，即可解决问题． 【详解】解：， ， ， 是的直径， ， ， 故正确，符合题意； 点为的中点， ， 为直径， ， ， ， ， ，， ， ， 故正确，符合题意； 连接， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故正确，符合题意； ， ， 当时，， 故错误，不符合题意； 故选：． 2、 填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11.如图，，，是上的三个点．若，则的大小为_____________ 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，解题关键是熟练掌握圆心角定理． 观察图形可得是弧的圆心角，是弧的圆周角，根据圆周角定理得即可求解． 【详解】解：弧弧， 其中是弧的圆心角，是弧的圆周角， ． 故答案为：． 12. 如图，破残的轮子上，弓形的弦为，高为．这个轮子在没有损坏前， 其圆面的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．设圆的半径是，则，由垂径定理推出 由勾股定理得到，求出，即求出到圆面的面积． 【详解】解：设圆的半径是，则， ∵半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴圆面的面积为． 故答案为：． 13.如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑， 掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，若弧长为米， “弓”所在圆的半径1．2米，则“弓”所对的圆心角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解： 设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是， 则， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点E，B是的中点． 若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，连接，设的半径是R，依题意得，则，，进而得，再根据得，由此可求出，则，然后在中，由勾股定理即可求出半径R的长． 【详解】解：连接，设的半径是R，如图所示： 点B是的中点，是的直径， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， 即的半径为， 故答案为： 15. 如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到， 点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是_______ 【答案】 16． 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径． 小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口， 纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径． 【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于， ∴，， 由矩形的性质可知，， ∴三点共线， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∵， ∴， 解得，， ∴或（舍去）， ∴纸杯的直径是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有6个小题，共52分） 17．如图，为的直径，弦交于点E，，，则的长是多少？    【答案】1 【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理， 先证，，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半及垂径定理得到线段关系，再利用勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴弧弧， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 设的半径为r，则， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， ∴， ∴． 18.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)求该圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，确定圆的条件，坐标与图形性质． （1）连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心； （2）根据勾股定理即可求得半径． 【详解】（1）解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心， 由图可得该圆弧所在圆的圆心坐标， 故答案为：； （2）解：连接，设的中点为D， ，， ， ∴圆的半径为． 19．如图，是的直径，C、D两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 【答案】(1) (2)的半径为5 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，直角三角形性质，掌握圆周角定理及推论是解题的关键． （1）根据圆周角定理可得、，然后根据角的和差即可解答； （2）根据圆周角定理可得，然后根据直角三角形的性质可得，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为5． 20． 如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路， 与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等． 现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点， 与外围栅栏交于点． (1)试说明； (2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径． 【答案】(1)见解析 (2)花园的半径为50米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质求得，根据垂径定理求得，再利用线段的和差计算即可得到； （2）连接，设的半径为r米，利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴，， ∴，即； （2）解：连接， 设的半径为r，则米，米， ∵， ∴米， 在中，， 解得，即花园的半径为50米． 21． “筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶， 如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理， 如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆， 且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度 （即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1) 求该圆的半径． (2) 若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米， 则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 【答案】(1)该圆的半径为米 (2)1米 【分析】此题考查勾股定理，垂径定理． （1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过作于点，交于点，则， ∴（米） 设圆的半径为r米，则米，（米）， 在中，， 即， 解得， ∴该圆的半径为5米； （2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点， ∴（米）， ∵的半径为5米， ∴米 ∴在中，（米）， ∴（米）， ∴水面下盛水桶的最大深度为（米）． 22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1＝∠P；根据圆周角定理可得∠P＝∠C，可得∠1＝∠P，即可解决问题； （2）首先运用勾股定理求出CE的长度，然后运用垂径定理证明CE＝DE，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，∵∠1＝∠C，∠P＝∠C， ∴∠1＝∠P， ∴CB∥PD． （2）解：∵CE⊥BE， ∴CE2＝CB2﹣BE2， ∵CB＝3，BE＝2， ∴CE＝， ∵AB⊥CD，AB为直径， ∴DE＝CE，CD＝2CE＝2． 23. 如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点， 连结，，分别交于点，． (1)求与的数量关系，并说明理由； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用以上知识求解． （1）由垂径定理可得，由三角形中位线定理即可求解； （2）证明，可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 为中点， ， ， ， ； （2）解： 是直径， ， ，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 24．如图，是的外接圆，于点D，直径交于点E． (1) 若，求的度数． (2) 求证：． (3) 若，求长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】对于（1），根据“直径所对的圆周角是直角”得，即可求出，再根据“同弧所对圆周角相等”得出答案； 对于（2），先根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得，再根据“等角的余角相等”可得答案； 对于（3），先根据“等角的余角相等”得，进而得出，根据“等角对等边”得，再设，表示，然后根据勾股定理得，求出解可得，最后根据得出答案． 【详解】（1）∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 所以的长为1． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章《圆的基本性质》复习与检测2025-2026学年浙教版九年级数学上册 1、 选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（    ）    A．50° B．80° C．90° D．100° 2．的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．不能确定 3． 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧， 图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时， 盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方． 若圆被水面截得的弦长为，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 4．如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 5 .如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°， 若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（    ）    A．10 B．5 C．10 D．20 6．如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（    ） A． B． C． D． 7. 如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是， 则该圆锥的侧面积是底面积的多少倍？（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8． 如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点， 连接BO，BD，则∠OBD的度数是 A．15° B．30° C．45° D．60° 9． 如图，为的直径，点为圆上一点，， 若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10． 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，． 已知于点，．下列结论： ①； ②若点为的中点，则． ③若，则； ④； 其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11.如图，，，是上的三个点．若，则的大小为_____________ 12. 如图，破残的轮子上，弓形的弦为，高为．这个轮子在没有损坏前， 其圆面的面积为 ． 13.如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑， 掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，若弧长为米， “弓”所在圆的半径1．2米，则“弓”所对的圆心角的度数为 ． 14. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点E，B是的中点． 若，则的半径为 ． 15. 如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到， 点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是_______ 16． 一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径． 小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口， 纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ． 三、解答题（本大题共有6个小题，共52分） 17．如图，为的直径，弦交于点E，，，则的长是多少？    18.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)求该圆的半径． 19．如图，是的直径，C、D两点在上，若． (1)求的度数； (2)若，求的半径． 20． 如图，有一个圆形花园，圆心处为一观光亭，是一条横穿圆形花园的小路， 与圆形花园的外围栅栏交于、两点，且两端点、与观光亭距离相等． 现在要从观光亭向小路修一条小路，使垂直于，与小路交于点， 与外围栅栏交于点． (1)试说明； (2)若量得花园内的小路长米，米，求花园的半径． 21． “筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶， 如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理， 如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆， 且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度 （即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米． (1) 求该圆的半径． (2) 若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米， 则水面下盛水桶的最大深度为多少米？ 22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C． （1）求证：CB∥PD； （2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长． 23. 如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点， 连结，，分别交于点，． (1)求与的数量关系，并说明理由； (2)若，且，求的长． 24．如图，是的外接圆，于点D，直径交于点E． (1) 若，求的度数． (2) 求证：． (3) 若，求长． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $