专题04 弧长与扇形面积（专项训练）数学浙教版九年级上册

专题04 弧长与扇形面积 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据公式求弧长或已知弧长求其他（常考点） 1 题型二、图形转动、翻滚产生的点的轨迹长（重点） 2 题型三、根据公式或衍生公式求扇形面积（常考点） 4 题型四、求扇形相关的复杂图形的面积（常考点） 5 题型五、图形旋转或折叠所形成图形的面积（重点） 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据公式求弧长或已知弧长求其他 1．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川广安·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，的直径为，则弧的长为 （      ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 7．（2025·福建泉州·模拟预测）若弧长为的扇形的圆心角为，则扇形的半径 ． 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）机械学家“莱洛”发明的“莱洛三角形”是分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形．如图，若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长为 ． 题型二、图形转动、翻滚产生的点的轨迹长 1．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 3．（2022八年级·广东深圳·竞赛）已知如图正方形的边长为4，点E为边上一动点，于F，为等腰直角三角形，．当点E从点B运动到点C时，点G的运动路径长为（   ） A．4 B． C．π D． E． 4．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，已知三角板，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 ．（结果保留） 5．如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留） 6．如图，的边位于直线l上，，，若由现在的位置向右无滑动地翻转，当点第4次落在直线l上时，点所经过的路线的长为 （结果用含π的式子表示）． 7．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出将绕原点逆时针旋转后得到的； (2)点的坐标为________，点的坐标为________； (3)在旋转过程中，求点所经过的路径长． 题型三、根据公式或衍生公式求扇形面积 1．如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南驻马店·三模）如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积为 ． 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个闹钟的时针长是，从上午10点到下午5点，时针扫过的面积是 ．（结果保留） 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ． 6．（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，与交于点，若． (1)求的度数； (2)若，，求扇形的面积． 题型四、求扇形相关的复杂图形的面积 1．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）铅球场地是田赛场地设施之一．如图是某学校操场的铅球场地，其沙盘区域可以看作是扇形的一部分(即如图的阴影部分)． 通过测量， 约为； ， 约为1米， 圆心角约为， 则图中沙盘的面积约为（    ）      A． B． C． D． 3．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，已知圆O的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是 ． 6．如图，已知，，，以AD为直径的经过点C，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 7．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图所示，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起．在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧．则阴影部分的面积是多少？（取3）． 题型五、图形旋转或折叠所形成图形的面积 1．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 3．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为 ． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将绕点A顺时针旋转得到（、分别与B、C对应），画出旋转后的图形； (2)在（1）的条件下，求在旋转过程中所扫过的图形面积（结果保留） 6．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积． 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图是一把折扇示意图，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形．已知，，，则扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·河北·一模）正六边形和的位置如图所示，其中点，在上，且，，将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知一个扇形的面积为，半径为，则它的圆心角度数为 ． 7．（2025·广东深圳·三模）如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ． 8．（2025·广东深圳·三模）如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送 ．（结果保留） 9．（2025·河北衡水·模拟预测）如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 10．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 11．（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 12．（2025九年级上·全国·专题练习）图所示，两个半圆形中，为大半圆形的圆心，长为的弦与直径平行且与小半圆形只有一个交点，那么图中阴影部分的面积等于多少 13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G． (1)若金属杆，，求该圆形零件的直径； (2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 弧长与扇形面积 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据公式求弧长或已知弧长求其他（常考点） 1 题型二、图形转动、翻滚产生的点的轨迹长（重点） 4 题型三、根据公式或衍生公式求扇形面积（常考点） 10 题型四、求扇形相关的复杂图形的面积（常考点） 13 题型五、图形旋转或折叠所形成图形的面积（重点） 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据公式求弧长或已知弧长求其他 1．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出弧长． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．中心线可看做半径为，圆心角为所对的圆弧，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 【详解】解：的长为． 故选：D． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 4．（2023·四川广安·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，，的直径为，则弧的长为 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求弧长，圆周角定理，垂径定理的推论，根据圆周角定理可得，进而可得，根据已知得出，利用垂径定理的推论得出，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵的直径为， ∴， ∵的直径垂直于弦， ∴， ∴弧的长为， 故选：C． 5．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 6．（2025·浙江杭州·模拟预测）在半径为的圆中，长为的弧所对的圆周角的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义． 根据弧长的计算公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数． 【详解】根据弧长的公式， 得到： ， 解得， ∴圆周角为， 故答案为：． 7．（2025·福建泉州·模拟预测）若弧长为的扇形的圆心角为，则扇形的半径 ． 【答案】30 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，利用弧长公式直接将已知数据代入求出即可．熟练掌握弧长公式是解题关键． 【详解】解：弧长为的扇形的圆心角为， 即， 解得：， 则扇形的半径为． 故答案为：30． 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）机械学家“莱洛”发明的“莱洛三角形”是分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形．如图，若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，由图可知“莱洛三角形”的周长等于三段弧长，弧对应的圆心角是等边三角形的顶角为，半径是等边三角形的边长为2，直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：该“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 题型二、图形转动、翻滚产生的点的轨迹长 1．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算，旋转的性质，勾股定理，能得到点运动的路径是圆心角为，半径为5的扇形的弧长是解题的关键． 根据题意和图形，可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据弧长公式计算即可得到的长． 【详解】解：由图可得，， 由旋转可得， 的长为：， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（    ） A．7 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了圆的周长公式以及数轴的认识，关键是理解半圆滚动一周的长度等于半圆的周长．半圆从原点滚动一周，圆心走过的距离是半圆的弧长，等于圆周长的一半，根据圆的周长公式先求出半圆的弧长，除了半圆的弧长，点还经过了一段等于半圆直径的距离，此时半圆的直径为4，所以点对应的数是半圆弧长加上直径即为所求． 【详解】解：由题意知，的长度为半圆的弧长与半圆直径之和， 此时， ∵π取3， ∴， 即点所对应的数是10． 故选：B． 3．（2022八年级·广东深圳·竞赛）已知如图正方形的边长为4，点E为边上一动点，于F，为等腰直角三角形，．当点E从点B运动到点C时，点G的运动路径长为（   ） A．4 B． C．π D． E． 【答案】C 【分析】设、、的中点分别为I、H、J，连接，，，根据， ，点F在以I为圆心，2为半径的圆弧上运动，求出，证明（），得，点G在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，根据G和F对应，得点G的运动路径长与点F的运动路径长相等，即得． 【详解】解：设、、的中点分别为I、H、J，连接，，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以I为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∵点E从点B运动到点C， ∴点F从点B运动到点J， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴点G在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∵G和F对应， ∴点G的运动路径长与点F的运动路径长相等， ∴点G的运动路径长为π， 故选：C． 4．（2025·陕西宝鸡·一模）如图，已知三角板，将三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了轨迹，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式等知识点，首先利用已知求出，解直角三角形求出，求出旋转角，再根据弧长公式求出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵将三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点落在边的起始位置上时即停止转动， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴旋转角， 即， ∴B点转过的路径长为， 故答案为：． 5．如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算、直角三角形的性质．首先可求得，根据直角三角形的性质，即可求得、的长，再由题意可得的度数，最后利用弧长公式即可求解； 【详解】解： ． ，， ， 顶部边缘A处绕点O旋转到处时转过的弧长为． 故答案为：． 6．如图，的边位于直线l上，，，若由现在的位置向右无滑动地翻转，当点第4次落在直线l上时，点所经过的路线的长为 （结果用含π的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式，勾股定理，以及含30度角的直角三角形，理解题意，得到点第4次落在直线l上时，经过4个的长，3个的长是解题关键．根据含30度角的直角三角形，得出，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：在中，，， ，， ， ，， 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点第4次落在直线l上时，经过4个的长，3个的长， 点所经过的路线的长为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）已知的三个顶点的坐标分别为、、． (1)在图中画出将绕原点逆时针旋转后得到的； (2)点的坐标为________，点的坐标为________； (3)在旋转过程中，求点所经过的路径长． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，求解点旋转后的路径长； （1）分别确定绕原点逆时针旋转后得到的对应点，再顺次连接即可； （2）根据图形可得答案； （3）根据弧长公式计算即可. 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可得，，； （3）解：， 在旋转过程中，点B所经过的路径长为. 题型三、根据公式或衍生公式求扇形面积 1．如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了网格的特点，勾股定理，扇形面积，根据网格的特点求得圆心角和半径是解题的关键． 根据题意以及网格的特点求得，圆弧的半径为，进而根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上， ,， 扇形的面积． 故选D． 2．（2025·河南驻马店·三模）如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，圆周角定理，角平分线的定义，由圆周角定理和角平分线的定义可得的度数，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·湖北·模拟预测）如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求得，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】， ， ． 故答案为：． 4．（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个闹钟的时针长是，从上午10点到下午5点，时针扫过的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键． 先求出时针从上午10点到下午5点扫过的角度，再根据扇形面积的计算公式计算即可． 【详解】解：由题知，时针从上午10点到下午5点扫过， 又闹钟的时针长是， 时针扫过的面积是， 故答案为：． 5．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 6．（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，与交于点，若． (1)求的度数； (2)若，，求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形的面积以及勾股定理，注意得到，应用垂径定理是关键． （1）由，，可求得的度数；由是半圆的直径， 根据“直径所对的圆周角是直角”，可求得，又由，证得，然后由“垂径定理”求得，最后根据圆周角定理求得的度数； （2）由“垂径定理”可求得的长，设，则， 在中，根据勾股定理列方程求解即可得到的长，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 是圆的直径， ， ， ，即， ， ； （2）解：，， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即， 扇形的面积为： ． 题型四、求扇形相关的复杂图形的面积 1．（2025·河南周口·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）铅球场地是田赛场地设施之一．如图是某学校操场的铅球场地，其沙盘区域可以看作是扇形的一部分(即如图的阴影部分)． 通过测量， 约为； ， 约为1米， 圆心角约为， 则图中沙盘的面积约为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 再根据，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ， 故选：A． 3．如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以、为直径作两个半圆．向直角扇形内随机取一点，则该点刚好来自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，根据将下面的阴影正好平分两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠，求出阴影部分的面积为：，然后求出概率即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则扇形的面积为，记以、为直径的两个半圆的另一个交点为，    如图，连接，，，， ∵，， ∴， ∵点C在半圆上， ∴， ∴在上，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴将下面的阴影正好平分为两部分，且这两部分绕点C旋转后正好可以与、上方的空白部分重叠， ∴阴影部分的面积为：， ∴在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为：， 故选：A． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 5．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，已知圆O的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】根据圆内接正六边形的性质得出，，，由，得出，根据扇形面积、正三角形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接， 六边形是内接正六边形， ，，， ， ， 故答案为：． 6．如图，已知，，，以AD为直径的经过点C，图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积公式、平行四边形的性质、圆周角定理等知识．连接，求出，，根据即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 7．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图所示，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起．在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧．则阴影部分的面积是多少？（取3）． 【答案】阴影部分面积为 【分析】本题考查了正方形的性质、扇形面积公式，先求出，从而可得，再由扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴，即， ∴ 阴影部分面积． 题型五、图形旋转或折叠所形成图形的面积 1．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 2．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 3．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 4．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴， 故答案为： ． 5．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将绕点A顺时针旋转得到（、分别与B、C对应），画出旋转后的图形； (2)在（1）的条件下，求在旋转过程中所扫过的图形面积（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，求扇形面积，两点距离计算公式，正确根据旋转方式和旋转角度画出是解题的关键． （1）根据网格的特点和所给旋转方式和旋转角度找到B、C对应点、的位置，描出、，再顺次连接A、、即可； （2）由两点距离计算公式得到，由旋转的性质可得，再根据在旋转过程中所扫过的图形面积即为扇形的面积列式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∵在旋转过程中所扫过的图形面积即为扇形的面积， ∴在旋转过程中所扫过的图形面积为． 6．（2025·河南·模拟预测）如图1，直线分别交坐标轴于，两点，的中线交轴于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转到的位置，求线段所扫过的图形的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、三角形中线的性质以及旋转图形面积的计算，解题的关键是利用坐标轴交点和中线性质确定点坐标来求直线方程，通过旋转性质将线段扫过面积转化为扇形面积差计算． （1）先求直线与坐标轴交点得到、坐标，又根据是的中线，得到点的坐标为．设直线的解析式为，再用待定系数法求直线解析式； （2）设以点为圆心，长为半径的圆，分别交，于点，，由旋转性质知，得到扇形与扇形为全等图形，线段所扫过的图形面积即为与弧所围成的圆环的面积，通过计算得结果． 【详解】（1）解： 与轴交于点A，与轴交于点， 点A的坐标为，． 将代入，得，解得． 点的坐标为． 又是的中线， ，点的坐标为． 设直线的解析式为， 将点的坐标为代入上式，得，解得． 直线的解析式为； （2）解：如图，设以点为圆心，长为半径的圆，分别交，于点，， 由旋转的性质，可知， 扇形与扇形为全等图形． 线段所扫过的图形面积即为与弧所围成的圆环的面积． ，， ， 线段所扫过的图形面积为． 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：圆心角所对的弧长． 故选：C． 2．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中扇形面积计算，弧长的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握圆中阴影面积的常见计算方法是解题的关键．连接，，，设半圆的半径为r，先证明和是等边三角形．得出，可得，则， 则，即可求出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，设半圆的半径为r， ∵C，D是以为直径的半圆上的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴和是等边三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长度为， 故选：C． 3．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图是一把折扇示意图，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形．已知，，，则扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．先求出的长度，再利用扇形面积公式计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴扇面的面积为：； 故选：A． 4．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，掌握扇形面积的计算公式．过作于，判定是等边三角形，得到，求出，于是扇形的面积，由等边三角形的性质得到的长，由勾股定理求出，进而求出的面积，根据阴影部分的面积扇形的面积的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过作于， 直径，， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， 故选：D． 5．（2025·河北·一模）正六边形和的位置如图所示，其中点，在上，且，，将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．延长、交于点，连接交于点，连接，由正六边形的性质得，，求得，，则△是等边三角形，所以，则，求得，由，证明是的直径，则经过点，所以，则，可知在旋转过程中，点第一次落在上的点处，旋转角为，所以点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径，且圆心角等于的一段弧，由弧长公式求得点的运动轨迹长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点，连接交于点，连接， 六边形是正六边形，， ，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 是的直径， 经过点， ， ， ， 将正六边形绕点顺时针旋转，则点第一次落在上的点处，旋转角为， 点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径，且圆心角等于的一段弧， 点的运动轨迹长， 故选：A． 6．（24-25九年级上·四川泸州·期末）已知一个扇形的面积为，半径为，则它的圆心角度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积计算公式是解题的关键．设这个扇形的圆心角为，根据扇形面积公式列关于n的方程并求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角为 根据题意，得， 解得， 这个扇形的圆心角为， 故答案为：． 7．（2025·广东深圳·三模）如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及扇形面积公式，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先利用三角形外角性质求出，再由等腰三角形性质得出，进而求出圆心角，最后根据扇形面积公式计算扇形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的扇形面积， 故答案为：． 8．（2025·广东深圳·三模）如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算，根据题意可知传送带上的物品平移的距离是圆心角为的扇形的弧长．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：根据弧长公式可知， 传送带上的物品被传送的距离为∶． 故答案为：． 9．（2025·河北衡水·模拟预测）如下图，等边的边长为2，在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每3次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解∶如图所示， 解：转动一次顶点A至点，旋转，路线长是：， 转动第二次顶点至点，未动，路线长是：0， 转动第三次顶点至点，旋转，路线长是：， 以此类推，每三次循环， 故顶点A转动三次经过的路线长为：， ∵9次旋转重复了（遍）， ∴顶点A转动在整个旋转过程中所经过的路程之和为：． 故答案为 ∶． 10．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算、等边三角形的判定与性质，掌握等边三角形的判定与性质、弧长计算公式是解题的关键； 本题设两圆周相交于点，连接、，再根据等边三角形的判定与性质得到，由弧长公式求出，同理求出，再根据出求出阴影部分的周长即可． 【详解】解：如图，设两圆周相交于点，连接、， ， 是等边三角形， ， ， 同理可得，， 阴影部分的周长为． 故答案为：． 11．（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 【答案】(1)120 (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为和 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式． （1）根据计算即可求解； （2）利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得， ∵点A、B、在同一直线上， ∴， 故答案为：120； （2）解：由（1）知旋转角为， ∴旋转过程中点A所经过的路程为， 旋转过程中点C所经过的路程为． 12．（2025九年级上·全国·专题练习）图所示，两个半圆形中，为大半圆形的圆心，长为的弦与直径平行且与小半圆形只有一个交点，那么图中阴影部分的面积等于多少 【答案】 【分析】本题主要考查了圆环的面积．观察图形可知阴影部分的面积等于大半圆形的面积减去小半圆形的面积，即当小半圆形在大半圆形范围内左右移动时，阴影部分面积不改变，因此我们可以通过平移，使两个半圆形圆心重合，用大半圆形的面积减去小半圆形的面积，即可求解． 【详解】解：将小半圆形向右平移，使两个半圆形的圆心重合，如图，则阴影部分的面积等于半圆环面积．作于点E，则点为与小半圆的交点，连接， ． 阴影部分的面积． 13．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G． (1)若金属杆，，求该圆形零件的直径； (2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、扇形面积、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键． （1）先根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列方程求得r值即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质的带，再根据圆周角定理得，然后根据三角形的内角和定理求得，进而得，则有． 【详解】（1）解：设圆形零件的半径为r， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴，解得， ∴， 则该圆形零件的直径为20； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $