精品解析：安徽省皖江名校联盟2026届高三上学期9月开学考试数学试卷

数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，再利用集合的交集运算可得结果. 【详解】，所以. 故选：D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据虚部的概念即可得到答案． 【详解】由， 则， 所以复数的虚部为2． 故选：B． 3. 已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量 的坐标可以求出，再结合数量积计算公式即可求出，从而得出向量，的夹角. 【详解】由题意， ， 则，向量，的夹角为120°， 故选：C. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对数特性、、初判a、b、c的范围，再对同一范围内的b、c，通过对数运算化为相同的底数后再比较即可． 【详解】由于，即， ，即， ，即， 继续比较，， ， 所以． 故选：B． 5. 已知双曲线过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在双曲线上求得，再确定双曲线参数，应用直接法求离心率. 【详解】由题设，则，故， 所以双曲线离心率为. 故选：D 6. 将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高，所以根据几何体特征，求得底面内切圆的半径为，直径为，小于，故球的最大半径为. 【详解】已知直三棱柱底面为直角三角形，且直角边分别为和， 根据勾股定理，底面三角形的斜边为， 设底面三角形的内切圆半径为，根据三角形面积公式（其中为三角形直角边）， 又三角形面积公式（其中为三角形三边，为内切圆半径）， 所以，即，解得， 所以直径为，小于直三棱柱的高. 因为球要完全包含在直三棱柱内，所以球的直径不能超过底面三角形的内切圆直径，也不能超过三棱柱的高， 所以球的最大半径为. 故选：A 7. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 的图象关于对称 D. 的图象关于对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性定义、判定方法可判断A，B两项；利用函数的对称性判定方法可判断C，D 两项. 【详解】对于A，因 ，即，故函数关于点成中心对称， 故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确； 对于B，因的定义域为，关于原点对称， 且，即是偶函数，故B说法正确； 对于C，设，由， 即，故函数的图象关于对称，故C说法正确； 对于D，设，由， 显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误. 故选：D. 8. 已知内角A，B，C的对边成等比数列，，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由等比中项的性质得，由余弦边角关系及已知化简整理得，进而有，易知为等边三角形，即可求面积. 【详解】由题设，根据余弦边角关系有， 所以，整理得，则， 所以，且，故为等边三角形，面积为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小正周期为π C. 是奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数相邻对称轴与对称中心的距离为周期的，求出周期，再由，求出，根据，求出，从而得到，然后逐项判断即可. 【详解】由可知，，所以的最小值为，所以A正确； 由图可知的最小正周期为，所以B正确； 又，所以，又，所以，所以， 因为，所以，因为，所以， 所以，，为奇函数，所以C正确； ，所以D错误. 故选：ABC 10. 在正三棱台中，D，E分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理判断A项；利用正三棱台的性质证明，再由线面垂直的判定定理即可证得B项；运用反证法思想，假设平面，由线面平行的性质，推出，结合题意此结论不能恒成立，从而否定C项；由线面平行的判定定理易证明D项正确. 【详解】对于A，如图，因为正三棱台，则为正三角形，点是的中点，则， 若平面，因平面，则平面平面， 而正三棱台的底面不与侧面垂直，故平面不成立，即A错误； 对于B，因为正三棱台，则， 由余弦定理易得，故，由A得， 因平面，故平面，即B正确； 对于C，若平面，因平面，而平面平面， 故，而在等腰梯形中，只要， 例如，则，即推不出平行四边形，从而得不到，故C错误； 对于D，因D，E分别为，的中点，则，因平面，平面，故平面，即D正确. 故选：BD. 11. 已知函数在区间内有两个极值点，，且，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可得，求得，即可判断A；判断在上的正负，可判断的单调性，判断B;将代入中，即可判断C; 将代入中,比较大小，可判断D. 【详解】由题意函数在区间内有两个极值点， 则,即，故，所以，A错误； ，， 当，，，所以在区间上单调递减，B选项正确； 又， 所以，C错误； ， 因为，故， 故，D 正确， 故选：BD． 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到一个场馆的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】现将三人分成两组，再将两组人分配到两个场馆，根据分步乘法计数原理即可求出总的分法；再求出小李与小明分到一个场馆的分法数量，最后利用概率计算公式即可求解． 【详解】将小李、小张、小明分为两组，一组一人，另外一组两人，共种分法， 再将两组人分配到A，B两个场馆，共种分法， 根据分步乘法计数原理可知，共种分法； 小李和小明分到一个场馆的分法有种； 故小李与小明分到一个场馆的概率为． 故答案为：． 13. 已知抛物线过点，其焦点为F，则直线的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，进而求出直线的方程. 【详解】由抛物线过点，得，抛物线,即的焦点， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 14. 已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围. 【详解】由函数，，得， 设切点坐标为，，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为， 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，， 设，，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取得极小值，且当时，故， 综上所述，函数的值域为，故实数的取值范围是. 故答案为：. 解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，若，求n的值． 【答案】（1）； （2）15 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，列出方程组，求出参数，写出通项公式即可； （2）根据等差数列和等比数列的前项和公式，写出前项和，列出方程，求出结果即可. 【小问1详解】 由题意得，， 又因为， 则，又 解得，可得， 因此，. 【小问2详解】 由（1）得，， 由，得，即，解得． 16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 （1）求空气质量优良的概率的估计值； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2） 列联表为： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 33 37 70 污染 22 8 30 合计 55 45 100 （3）能 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据利用频率即可估计概率； （2）根据题干表格进行统计即可； （3）计算出，与进行比较即可． 【小问1详解】 由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关． 根据表中数据，得 ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有三个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）在和上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）通过导数讨论函数单调性； （2）因有三个极值点，即有三个不相等的正实根，从而再将问题转换为两函数图象的交点个数，进而确定的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为. ，因此， 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增. 综上，在和上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 函数，定义域为. ，易知时，，若时，， 但是易证在上恒成立，故时，是的一个极小值点. 当，易知是的一个极值点. 所以是的一个极值点. 因为有三个极值点，因此在上有两个不同的根，且.不妨设. 当时，该方程只有1个根，不满足题意，故. 因此方程可等价于. 设，，上述方程有两个不同的根，等价于该两函数的图象有两个交点. 当时，由于，，且单调递增，而单调递减， 故两函数图象在上没有交点，不符合题意，故. 因为，设图象的一条过原点的切线方程为，其中切点为. 故，解得，即该切线方程为. 因此，只有当时，函数与的图象才有两个交点，且. 此时，有三个不等实根，即有三个极值点，因此. 故. 18. 如图，在梯形中，，，为的中点，将沿折起至的位置，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理得到，进而证明出线面垂直，最后直接得到面面垂直； （2）取的中点，的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，分别计算平面与平面的法向量，用向量夹角的余弦值公式计算即可. 【小问1详解】 因为为的中点，，且，所以， 因为，，所以，即， 由，可得四边形是矩形，， 因为沿折起至的位置，所以， 由，，得，所以， 由，可得平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 如图所示，取的中点，的中点，连接， 由是中点，是中点得，由（1）得，则， 因为，是中点，所以， 因为平面平面，平面平面，，面，面， 所以平面，由平面，平面，可得，， 综上，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 易得， 则，，，， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，即，， 令，解得，，因此， 则，即，， 令，解得，，因此， ， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； （3）过点作，垂足为，求的最大值． 【答案】（1）； （2） 由（1）可得， 由题意知均存在且不等于0， 则设直线的方程为：， 则． 设直线方程为： 与椭圆方程联立得：，， 所以，因为， 故，因此． 同理． 斜率为 ， 故. （3）. 【解析】 【分析】（1）代入点坐标并结合离心率公式即可得到方程； （2）设直线的方程为：，联立椭圆方程得到韦达定理式，化简得到，再计算得，同理，最后代入化简即可； （3）求出直线过定点，再根据两点距离即可得到答案. 【小问1详解】 由已知得，即，得， 故， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知：直线的方程为：， 即 ， 所以直线过定点． 因为，由几何意义知：， 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线过点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 将一块直三棱柱形的石料进行切削、打磨、加工成球，经测量其高度为，底面为直角三角形其直角边长分别为和，则该球的最大半径为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 的图象关于对称 D. 的图象关于对称 8. 已知内角A，B，C的对边成等比数列，，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小正周期为π C. 是奇函数 D. 10. 在正三棱台中，D，E分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 11. 已知函数在区间内有两个极值点，，且，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到一个场馆的概率为_____． 13. 已知抛物线过点，其焦点为F，则直线的方程为_______． 14. 已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是________． 解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，若，求n的值． 16. 近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 （1）求空气质量优良的概率的估计值； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有三个极值点，求实数的取值范围． 18. 如图，在梯形中，，，为的中点，将沿折起至的位置，． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； （3）过点作，垂足为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $